Файл: Приц, А. К. Принцип стационарных состояний открытых систем и динамика популяций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 50
Скачиваний: 0
Для фиксированных моментов времени видно в .соответствии с рис. 2, что одному значению /1 или /2 соответствуют два зна чения /2 или fs. соответственно. Задание начальных условий /Д0) при фиксированных значениях коэффициентов ai и а2 предопре деляет развитие компонент во времени, траектория которых представляет замкнутую кривую в пространстве /у и /г-
Таким образом, рассматривая численность рыбных популя ций и численность рыбодобывающего флота как две компонен ты, взаимодействующие между собой по уравнениям Вольтерра (1—9— 1), (1—9—2), найдена связь между этими компонентами. При этом показан колебательный характер численности популя ций и рыбодобывающего флота.
Набор значений /ДО) и /2(0) находится решением уравнений (1—9—3) (при фиксированных си и а2).
Точки, лежащие на замкнутой кривой, определяются во вре мени с помощью интегрирования
( 1 - 9 —23)
При этом /2 является функцией Д. С помощью (1—9—23) можно найти период полного колебания компоненты Д.
(Например, для популяции пикши этот период обычно равен
5годам).
§10. Среднее значение по времени численности компонент, теорема Лиувилля и распределение Гиббса
Проинтегрируем уравнение (1—9—3) по времени t от t= 0 до t = T и разделим результат этого интегрирования на Т. Получим:
2
j= 1 о
2 |
Т |
Pi lmNi(T)—Pi 1 п Л Д (0 ) = / Д р гГ -)- |
1 W jdf, |
2 |
T |
30
Устремим Т к |
Имеем: |
|
|
Рг Пт |
In Ni(T) |
Pi lim |
ln^i(O) |
Т -Н -со |
Т |
Т -Н "00 |
Т |
|
г |
|
т |
= ^ P t + |
2 aii |
lim |
4 r J Nj-d/. |
(1— 10—1) |
j= |
i |
T^ + “ |
1 о |
|
Условие (1—9— 12), утверждающее существование «интегра ла движения» (в сущности, первого интеграла системы (1—9-—3), утверждает также и ограниченность функций Ni(T). Кроме того, lim Ni(T)=£0, так как сама постановка задачи предполагает,
Т -Н -со
что' при рыбном промысле ни численность рыбной популяции, ни численность рыбопромысловых судов не должны с течением вре мени обратиться в нуль. Поэтому левая часть соотношения (1— 10— 1) стремится к нулю при Г->—f~;oo.
Но тогда из (1— 10— 1) получим:
2 |
т |
|
|
i=i |
lim 4 - 1 |
N j i t = 0 . |
(1— 10—2) |
т-'+“ 1 о |
|
|
|
Введем обозначение |
т |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
т-н-°° 1 0 |
|
|
|
Тогда (1— 10—2) запишется в виде |
|
|
|
|
2 |
|
|
£ < p i + 2 ai# i = |
0- |
(1— 10—3) |
|
__ |
j=i |
|
|
Учесть значение Nj, усредненное по интервалу времени (0, + оо). Независимо от того имеет или не имеет место соотношение
lim ЫгФО, можно обе части выражения (1— 10—3) |
умножить |
на N{. Получим |
|
2 |
|
^ ( л * Р < + 2 м 0 = ° . |
(1— 10—4) |
j=l |
|
Сравним (1— 10—3) и (1— 10—4) с соотношениями (1—9—8) |
|
и (1—9—7). Видим, что усредненные по времени в интервале (0, +оо) численности компонент .системы удовлетворяют тем же уравнениям, что и стационарные значения gy и g2 тех же числен
ностей Ni и Nz. Поэтому |
|
N i = g i . |
(1— 10—5) |
31
Найдем также усредненные по времени некоторые функции от
AN-
Nt и — -—для системы (1—9—3). dr
Введем новые переменные
Ni—g i— Yi. |
(1— 10—6) |
Тогда, согласно (1—9—9)
Yi^^gi (ev< 1) . |
(1— 10—6а) |
Из '(1—9— 10) имеем
dui = P r Ig2ai2(et’2—1). d£
Отсюда, согласно (1— 10—ба),
dui
= Pi
di
Далее, из (1—9— 10) имеем
do2
= P2-1^ifl2i(eu>— 1).
Отсюда, согласно (1— 10—6а),
dt>2
df — Рг
Но, согласно (1— 10—5) и (1— 10—6),
.(1 -1 0 —8)
(1— 10—9)
|
Т 1= Т 2= |
0 . |
|
(1— 10— 10) |
|
Из (1—9—3) |
имеем |
|
|
|
|
|
AN, |
, — |
|
|
(1— 10—9а) |
|
— — ^iA^i+Pi ia\zN\N2. |
||||
Но, согласно (1— 10—5), |
|
|
|
|
|
! |
|
AN, |
0. |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
df |
|
|
(1- - Ю - 5 ), |
Следовательно |
(1— 10—9а) |
примет вид, |
согласно |
||
i |
&igl+Pl ldl2^iN2 — 0. |
|
|||
Отсюда, в силу (1—'10—5) |
|
|
|
|
|
|
a^NiNz— — |
, — |
h^igi. |
(1— 10— 11) |
|
32
Значит, |
^iPi |
|
77-77 |
(1— 10— 12) |
|
NiNa— — |
------- g i- |
|
|
aiZ |
|
Но, согласно (1—9—3), |
|
|
^i^i+Pi_lai2g'i^2=:0, |
|
|
t . e. |
|
|
£ip i+ ai2gi = 0, |
— — = |
—gz- |
|
a 12 |
|
Поэтому (1— 10— 12) примет вид |
|
|
NiNz= gigz. |
(1— 10— 12a) |
|
Для подсчета Nt2 умножим уравнения (1—9—3) соответственно
на [3,1 и |32 и затем сложим получившиеся произведения, |
восполь |
||||||
зовавшись соотношением аг1 — —а&. Получим |
|
|
|||||
Pi— |
— = &lPlN1+^12^1^2. |
|
|
||||
|
dNo |
|
%—ciizNiNz. |
|
|
||
Р2— |
= |
|
|
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
Pi |
+ P 2 |
^ - =ki^iN^-\-kz^zN2. |
|
|
|||
В частности, для стационарного состояния |
|
|
|||||
Следовательно, |
0= ^lPlg'l-f-^2p2g'2- |
|
(1 |
Ю 126) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi d.,1- +P2—77“ =^iPi(^i —gi) +^2Рг(Л^2—gz) ■ |
|||||||
й |
|
|
|
|
|
( 1 — 1 0 — 1 2 b ) |
|
Но из (1— 10—6) вытекает, что |
|
|
|
|
|||
dNi |
|
dYi |
dN2 |
dY2 |
|
|
|
d£ |
|
di |
’ |
dt |
d£ |
|
|
Поэтому, после применения |
(1— 10—6) |
также и к правой части |
|||||
(1— 10— 126), это отношение примет вид: |
|
|
|||||
P l 4 ^ + P 2 4 |
^ = |
W l + 62P2Y2. |
(1 - 1 0 - 1 3 ) |
||||
dr |
|
|
dt |
|
|
|
|
Умножим обе части |
(1— 10— 13) |
на 2 (Р1У1+ Р 2У2) |
(это выраже |
||||
ние не может обратиться в нуль в силу определения Yi и У2). По лучим:
з Зак. 13241 |
33 |
2 (PiУ1+ ^2^2) |
^ (РЛ+РгУг) — |
||||||
= |
2 (PiУi—(—Рг^г) (kifiiYi-^-kzfizYo) , |
||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
—г г ( Р 1 У 1+ Р 2 У 2 ) 2 —2 ((3i У 1—)—Рг^2) |
{k$\Y i-\-k2$2Y2) . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1 — 10— 14) |
Но, согласно (1— 10—6), |
|
|
|
|
|
||
Y J 2= {Ni—gi) (N2—g2) = (gi—gi) (g2—gz) = 0 . |
|||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У Л = 0 . |
|
|
(1— 10— 15) |
|
Усредним по времени обе части соотношения |
(1— 10— 14), учи |
||||||
тывая (1— 10— 15). Имеем: |
|
|
|
|
|||
2 ( W i + m |
(^р^с+йгРг^г) — |
||||||
—2 (Pi2^i ИI3—|—PiPa^iУiУ2—f-PiРг^гУiУг-1- *Рг2^2И22) = |
|||||||
— 2 (Pia^i |
i2-)—PiPa^iИ1У2—f—PiРг^зУiИг-f- Рг2^2 И22) = |
||||||
Далее, |
= 2 (p 12 № + p 22№ |
) . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
____________________ |
|
|
т |
|
|
|
|
^ ( Р Л + Р 2 У 2 )2= |
Г1 Ш ^ | - j j - |
(Р .^ + Р ^ ) 2^ |
|||||
= |
Him |
1- |
(р1У1( Г ) + р2У2(7’ ) ) |
= 0, |
|||
|
T-v+oo |
i |
|
|
|
|
|
так как, согласно (1— 10—6) |
УДУ) ограничены при У-»—|-со. Сле |
||||||
довательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р12Й1УД+р2%2К 2= 0 . |
(1— 10— 16) |
|||||
Отсюда в силу (1— 10— 126), |
|
|
|
|
|||
|
fifk iK 2- |
- PlP*felgl |
Y ? = 0 , |
|
|||
|
|
|
|
g2 |
|
|
|
|
|
Pi |
УД |
У2 2 |
= |
0. |
|
|
|
gl |
fPa |
|
|
|
|
34
Итак, |
|
|
|
|
|
У12 |
„ |
Уг2 |
2= Const. |
(1— 10— 17) |
|
P i ^ - = P : |
2 |
= 0 |
|||
gi |
|
g2 |
|
|
|
Из (1— 10— 17) имеем |
|
|
|
|
|
У!2= |
-^ -© 2 |
] |
|
||
|
|
|
Pi |
[ |
|
y22= - f - 02. j |
|
||||
|
|
|
P2 |
|
|
Из (1 — 10—6) и (1— 10— 10) получим |
|
|
|||
Ni = |
Yi-{-gi, |
|
|
||
Ni2= |
Yi2-\-QgiYi-\-giz, |
|
|||
Y f+ g ? .
Но усредненное значение постоянной величины равно самой этой
величине, так |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
gi2= |
lim - ^ - J ^ 2d t= |
|
lim |
^ - g i2T = g i2. |
|
||||
|
T^~l-oo 1 |
- |
T-*-+oo |
1 |
|
|
|||
Поэтому, согласно (1— 10— 17), |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ni*= gi2+ |
~ |
L Q2. |
|
(1— 10— 18) |
|||
|
|
|
|
|
Pi |
|
|
doi do2 |
|
Подсчитаем усредненные по времени значения vu о2, |
|||||||||
и |
|||||||||
Из (1— 10—8) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
d |
doi |
|
2oia12y2 |
|
(1— 10— 19) |
||
|
---------V |
2,1) |• |
= |
---------------------- |
|
||||
|
|
d£ |
d£ |
|
|
(3i |
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a 12 |
|
,(1— 10— 19а) |
||||
|
|
|
■V i2 = |
|
О1У2. |
||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||
Но, согласно |
(1—9—9) |
|
|
|
|
|
|
||
»i2= |
lim |
-4 r-J-4 -t» iad f= |
lim |
(vlz{T )—vl2(0)) = |
|||||
dt |
T“H-со T 0nJ |
dt |
T-H -CO |
|
|
||||
5* |
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|