Файл: Григоришин, И. Л. Моделирование электроннооптических систем на сетках сопротивлений.pdf

л

Рис. 2.3. Траектории электронов в системе с прямоугольно-изогнутым катодом

перболы при наличии перпендикулярного к плоскости рисунка магнитного поля с индукцией

Влияние пространственного заряда не учитывалось. Шаг разностной сетки h —0,002 м. На этом же рисунке сплош­ ными линиями показаны траектории электронов при от­ сутствии магнитного поля, рассчитанные аналитическим способом [76]; точки на траекториях соответствуют ре­ зультатам расчета по формулам (2.3), (2.5).

§3. РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ

Впредыдущих параграфах изложены методы расчета траекторий нерелятивистских электронов. Покажем, что эти методы могут быть распространены на случай реля­ тивистских электронов.

59

Дифференциальные уравнения движения электронов в электростатическом поле при скоростях, близких к ско­ рости света, учитывают изменение массы

Как показано в [10, 68], траектории релятивистских электронов с массой m = ain0 в поле потенциала ср совпа­ дают с траекториями иерелятивистских электронов с мас­ сой /«о в поле с эффективным потенциалом

Действительно, если в узловых точках создать распреде­ ление эффективного потенциала (2.25), то траектория релятивистского электрона может быть рассчитана так же, как и перелятпвистского. При этом следует иметь в виду, что эффективный потенциал ср* не является гармо­ нической функцией и, следовательно, невозможно полу­ чить его распределение внутри области, задавая его зна­ чение лишь па границе. Помимо задания потенциала и* на границе для получения с помощью сетки сопротивле­ ний распределения эффективного потенциала, необходи­ мо в каждую узловую точку задать дополнительные токи для получения равенства (2.25). Но эта операция доволь­ но трудоемкая и в ней пет необходимости при расчете траекторий релятивистских электронов. Достаточно на сетке сопротивлений получить распределение истинного потенциала ср и перевести его в эффективные значения по

(2.25) [70].

Введем понятие эффективной напряженности поля

Е* = — grad ср*,

60

компоненты которой по аналогии с (2.1) будут:

стского электрона преобразуются к виду

сРх а дф

dx*“ 2 дх

(2.27)

dhy а дф

dx*2 2 ду

Система уравнений (2.27) по своему виду аналогична (2.2). Решение ее в элементарном квадрате ABCD (см. рис. 2.1) при условии, что компоненты эффективной на­ пряженности в этом квадрате постоянны и определяются по (2.26), записывается в виде, аналогичном (2.3), (2.5) с заменой__истинного потенциала ф на эффективный ф*,

причем 'j/ф* соответствует начальной скорости в поле эф­ фективного потенциала и связан с ней соотношением

Траектория релятивистского электрона может быть вычислена также путем решения уравнения траектории в общем виде (2.13) с использованием распределения по­ тенциала (2.6) в прямоугольнике ABCD (см. рис. 2.2) при замене в (2.6) и (2.13) ф на ф* и выражения (2.14). Одна­ ко, чтобы снизить погрешность в определении эффектив­ ного потенциала внутри прямоугольника, возникающую из-за допущения о линейном изменении ф* на его сторо­ нах, целесообразно это допущение оставить для истинно­ го потенциала, а значение эффективного потенциала в прямоугольнике вычислять по (2.25), учитывая (2.6), т. е.

61

Ф* (*. У) = (X— хх) (у — y j К + (X — Xj) М + (у—ух) F +ср4+

-г - 6° . [(^ — JCi) (У — Уг) К -г (х — хг) М + {у—Уг) /Ч ср4]2.

2т0с2

На рис. 2.4 приведем пример численного расчета тра­ ектории релятивистского электрона (кривая 2) в уско­ ряющем однородном поле; точки на ней соответствуют значениям, полученным по теоретической формуле [68].

Рис. 2.4. Траектории электронов в однородном ускоряющем поле: 1 — нерелятнвнстского, 2 — релятивистского при потенциале в начальной точке 100 кВ, £ = 4 0 кВ/А, угол входа у=75°

Для сравнения показана траектория нерелятнвнстского электрона (кривая /).

Используя метод эффективного потенциала, можно рассчитать траектории релятивистских электронов в скрещенном электрическом и магнитном полях. Вводя

обозначение х'*~~^~^> приведем систему уравнений дви-

атп

жения (2.15) для случая релятивистских электронов к виду

Эта система аналогична (2.15), и решение ее записывает­ ся в виде, аналогичном (2.17) — (2.20).

62

Таким образом, процессы расчета траектории нереля­ тивистских и релятивистских электронов принципиально не отличаются, если известно распределение эффектив­ ного потенциала. Последний может быть рассчитан по значениям истинного потенциала, причем только в тех точках, которые необходимы для расчета траекторий.

§4. РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ ЭЛЕКТРОНОВ

БКОМБИНИРОВАННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЕ

СОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ

Электроннооптнческие системы, в которых поля и потоки заряженных частиц симметричны относительно некоторой оси, получили наибольшее практическое при­ менение. С их помощью оказалось наиболее просто со­ здать электрические и магнитные линзы для фокусировки электронных пучков в электронных микроскопах, элек­ троннооптических преобразователях, электроннолуче­ вых трубках и т. д. Электромагнитные поля с осевой сим­ метрией широко применяются для формирования интен­ сивных высокоэиергетических электронных пучков в СВЧ-приборах, в электроннолучевых технологических установках для сварки, фрезерования, плавления и испа­ рения металлов и т. п. Для компенсации расталкивающих сил кулоновского взаимодействия между электронами потока с большой плотностью заряда часто применяется осесимметричное магнитное поле. Возникающее при этом азимутальное движение электронов, обусловленное как радиальной В г, так и осевой Bz компонентами магнитной индукции, при их определенном соотношении компенси­ рует расталкивающее действие пространственного заряда и центробежную силу.

Поведение электрона в комбинированном поле, сим­ метричном относительно оси г, описывается системой уравнений [21]

&_ At

( 2.28)

63

Трудность решения такой системы в элементарных функ­ циях очевидна. Обычно для этой цели используются мето­ ды экспериментального определения траекторий на элек­ тролитической ванне [9] или численные методы.

При дальнейшем рассмотрении этого вопроса будем исходить из того, что распределение потенциала электри­ ческого осесимметричного поля найдено с помощью осе­ симметричной сетки сопротивлений в дискретных точках на плоскости г, z, а созданное системой внешних источни­ ков магнитное поле по крайней мере в этих точках задано [29]. Рассмотрим общий релятивистский случай движения электрона в комбинированном поле. Вводя новую пере­ менную

и используя известные соотношения между компонентами вектора магнитной индукции и магнитным потоком ф [2 1 ]

Постоянная Сг для данной траектории определяется из на­

0* — приведенная угловая скорость электрона. Рассматривая

64