Файл: Григоришин, И. Л. Моделирование электроннооптических систем на сетках сопротивлений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.10.2024

Просмотров: 52

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

м

1

К

J ~ - ( ф,,р -г I Ф„.р)Х

 

 

~ Т

X sin

(2.9)

 

м_

У

Y

 

F

 

К

1

 

(Ур — Ui) ± (Хр— Х,)

= “ (> Ч .Р

л_

2

X sh

 

' М

 

 

 

-!■ (УР — &) н- (хР— *i) —

 

F

 

 

1

 

 

~К

 

 

(|/ф„.Р -ь V Фл.,р) X

 

 

 

 

м

(2. 10)

 

 

 

X sin l / :

x)=F ~к

 

 

 

 

где т, Уфа. р,

Уф р определяются по (2.4). Верхние и ниж­

ние

знаки

±

и + относятся

соответственно

к случаям

К >

0 и К < 0,

а К в выражениях (2.9), (2.10)

берется по

абсолютной величине. В пределах рассматриваемого пря­ моугольника координаты точек Р ь Яг, •••, Q на траектории могут быть рассчитаны по (2.9) и (2.10) при подстановке соответствующих значений приведенного времени тр,, тр,, ..., tq. В отличие от предыдущего в этом методе значе­

ния тр,, тр2, ..., tq определяются путем подбора, так как из (2.9) и (2.10) выразить т через координаты рассматри­ ваемой точки на траектории не удается. Скорость в точке Q является начальной при расчете траектории в сле­ дующем прямоугольнике и определяется путем диф­ ференцирования выражений (2.9) и (2.10). Если диф­ ференцирование по истинному времени заменить диффе­ ренцированием по приведенному времени т, то получим

53

необходимые для подстановки в (2.9) и (2.10) значения

ТФ-Х-, Q И Уфу,

Q-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

____

1

 

(

K_

 

 

 

(xP— xx

 

 

 

=

 

 

 

 

=

~2

1

2

 

 

К

 

 

dx j q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' K~p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

sh

/ X

 

. /1 r —

, „ —

,

 

± (t j p —

U i )

b

X

| /

~ 2 T r Q

~]' { ] / i p x.P

± V

V v .p ) X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

/

 

К

 

 

 

 

i / A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X ch 1 /

 

 

 

 

 

 

±

 

'У (X p — X j) + ( У р — У г) -

 

 

 

 

T<3

 

V

 

2

 

 

V 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TQ

’

К

sin

| /

 

t

X

 

+

( V v x . p

+

V

ф y ,p )cos

] /

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

M

 

 

( 2 . 11)

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К

 

 

 

 

 

 

dx Jq~

1 ^.Q

~

2

Ц/

2

 

 

j^

~ i ' (Уp

У1)

 

 

_Г (Xp

 

Xj)

 

 

F

sh

 

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

V ! -

( : Ф у , р ± У ч х , р )

•<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

УИ

 

 

_

 

 

Xch

/

 

2

T<3

] /

2

i

 

■г (l/p

У1) “t-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T7

 

 

К

 

 

 

 

 

 

 

 

:i: (.vP — *l)

 

X

sin

 

2

TQ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-!-()/ Ф„,Р rr V % 'P) cos j / " X TQ| .

(2.12)

При K-+0

выражения (2.9) — (2.12)

преобразуются

к

виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

 

Хр

-|-

х f ] / чрх р

-|-

- j - M x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У — Ур "г т К ф р -I-

 

 

-

 

 

 

 

dx

= 1

Ф,, р -Ь — Л4т,

 

 

= V<pu, р +

1

F t ,

 

 

—

 

 

у

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

54

что соответствует рассмотренному выше случаю однород­ ного поля в элементарной ячейке. Благодаря более пол­ ному учету характера изменения поля в прямоугольнике данный метод обеспечивает более высокую точность рас­ чета траекторий, чем предыдущий.

Представляет интерес метод численного расчета траекторий заряженных частиц, основанный иа выраже­ нии (2.6) для потенциала в прямоугольнике и уравнении траектории в общем виде [69],

и

/ * ' . ' ! 2

! dcp

dy

дф \

 

\ dx !

dx2

2ф

V ду

dx

(2.13)

дх )

Это уравнение может быть решено приближенным спосо­ бом, суть которого заключается в следующем. Разложим координату у траектории заряженной частицы по степе­ ням Дх = х —Х р , ограничиваясь членами второго порядка,

У — Уг.

' А а \

д* +

±

\

dx2

(Ах)2.

(2.14)

 

dx Jр

2

 

 

Предположим, что в исходной

точке Р

(см. рис.

2.2) за-

даны начальные значения

/ dy \

,

I

d2y

. Тогда по (2.14)

——

— —

 

 

\ dx j р

\

dx2

 

 

при заданном интервале Ах = хр — хр можно определить ко­

ординату ур . Для расчета координаты ур необходимо опреде­

лить значения ( —

Ip,

\ dx2

. Если

интервал Ах до-

 

V dx

)Pl

 

 

 

 

статочно мал,

то

можно

предположить,

что

величины

dy

d2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

и — - - иа данном интервале постоянны и изменяются

dx2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скачком только

на

его

конце.

Первую

из

этих

величин

в точке Рх найдем, продифференцировав (2.14) по х,

 

ЛУ \

_ ( Л у \

,

( d?y \

( Х г _

Х' У

 

dx

я,

\

dx

 

dx2

 

 

 

 

Для

определения

d2y

 

 

воспользуемся

 

уравнением

dx2

'я,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.13), подставив в

него значения производных

dx

ду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

полученных из (2.6). С учетом (2.8) имеем

55

(

I' (Ур, — y J F - i Ф41

при заданном интервале Ах,

можно найти координату траектории ур^ Способом прира­

щения проекций траектория вычисляется во всем прямо­ угольнике ABCD до точки выхода Q. В следующих прямо­ угольниках цикл расчета повторяется аналогичным образом при других значениях потенциала в вершинах.

Этот метод удобен для расчета траекторий па ЭЦВМ и обеспечивает высокую точность результата при сравни­ тельно небольших затратах машинного времени.

§2. РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ ЭЛЕКТРОНОВ

ВПЛОСКОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И СКРЕЩЕННОМ

СНИМ МАГНИТНОМ ПОЛЯХ

При одновременном действии на электрон электриче­ ского и магнитного полей траектория его движения ус­ ложняется. Рассмотрим здесь наиболее важный случай скрещенных полей. Пусть на плоскости х, у задано дву­ мерное распределение потенциала в дискретном виде (см. рис. 2.1), а вектор постоянной магнитной индукции В направлен перпендикулярно плоскости рисунка (от нас). Как и ранее, полагаем, что сетка достаточно «густая» и составляющие градиента потенциала в элементарном квадрате тюстшттпд 'я отфеделтаэтта та wriip^VivevAWi (2..Ц .

Уравнения движения электрона в этом случае име­ ют вид

(2.15)

56

Зададим координаты электрона комплексным числом w = x+iy . Умножая второе уравнение системы (2.15) на Г н складывая с первым, получим

d?w

_Д_

СЕ х +

iE,j) + iB

dw

~dF

dt

тп

 

 

 

Это уравнение при начальных условиях

 

w 1= 0

 

wр’

dw

= wn

 

dt

 

 

 

t—о

 

имеет решение [23]

w = wp -\------t -1- a

где

a = i■ eoB mn

—

(wp — — ) [1 — exp(— a*)], (2.16>

a

\

a

 

c =

- ^ ( E x + iEy).

 

 

mn

enB

Введем обозначение т' = —- t и запишем выражение (2.16)*

т0

в координатах X, Y

X = — £ > ' -|- (Bv Р — Е х)( 1 — c o s t ' )

(Bvx р -\-Еу) s i n x ' , .

 

 

 

 

(2.17)

Y = Е хх' — (Bvx р -\-Еу){\ — cost') -I-

(Bv

р — Е х) sinx',

 

 

 

 

{2Л8)

где Х = -

^

( * - * „ ) , Y = - ^ - { y - y py,

vxP , v -

 

т0

т0

 

 

компоненты начальной скорости электрона в точке Р.

Расчет

координат точки Q выхода электрона из рас­

сматриваемого квадрата ABCD может быть выполнен

подбором

. Весь процесс вычисления траектории полно­

стью аналогичен изложенному в предыдущем параграфе. Начальная скорость для расчета в следующем квадратенаходится дифференцированием (2.17) и (2.18) по вре­ мени. Если эти выражения продифференцировать по до­

получим необходимые для подстановки в (2.17)

и (2.18)

величины Bvvл,

Bv

 

•

 

 

Х ,Ц

УIЧ

 

 

 

{ ~ Г ) т, =

B v X, Q = “

Е У + (B v ,j.p — Е х) Sin \

+

 

+

( B V x,P

+ Е у) C0S TQ-

(2Л9)

57‘

dY

E .x— (Bvx,p

£';,)sinTo

Bv! / . Q

dr' ' Q

 

 

I* ( B v ,,.P ~ E .x) C O S T 0 .

(2. 20)

При расчете траекторий на малых ЭЦВМ формулами (2.17)— (2.20) не всегда удобно пользоваться, так как тригономет­ рические функции на них рассчитываются сравнительно

долго.

Данные

выражения

можно

 

упростить,

заменяя

/

/

}

 

 

 

 

. При этом оговоримся, что

s in x '^ x ', cos х' ^ 1 ------ ——

для достижения требуемой

точности

при такой

замене т'

не должно превосходить

наперед заданной величины. Тогда

формулы (2.17) — (2.20)

примут вид

 

 

 

 

X : ; х'

Bv

„

-- —Г )

(Bv

 

Е х ) х '

( 2. 21)

 

 

 

 

х . Р

 

 

v

у,

 

 

 

 

7 - х '

Bv)/.Р

 

г,

( В '°х,Р

 

Е у) Т

(2.22)

 

Bv

п — Bv

„

•

х'

 

( D v „,P

— Е х )

 

 

 

Л- Q;

 

Л-, Р

Qj

 

 

 

 

 

~Z~(Bvx,P

 

Е !'

Qi

 

(.2.23)

 

Bv

„

Bv

„ — x’

 

(B^x,P

Е у} К

 

 

l/.Qj

 

u.P

 

Q-,

 

 

 

 

 

 

( B v , , P —

E X) To,

 

(2.24)

Отметим, что при вычислении траектории по формулам

(2.21) — (2.24) в отличие от (2.17) — (2.20) компоненты скорости рассчитываются не только для точки выхода Q, по и для всех точек Q;, находящихся внутри рассматри­ ваемого квадрата ABCD.

На рис. 2.3 представлены траектории (1, 2, 3) электро­ нов в электрическом поле системы с прямоугольно-изо­ гнутым катодом (К) и анодом (.4). в виде равнобокой ги-

58

Смотрите также файлы