Файл: Григоришин, И. Л. Моделирование электроннооптических систем на сетках сопротивлений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.10.2024

Просмотров: 55

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

движение электрона в меридианной плоскости г, z, враща-

d9

ющеися относительно оси z с угловой скоростью ■— , и dx* ’

вводя эффективный потенциал (2.25), представим уравнения движения электрона в виде

dV

a

ф

 

V % - * + c >

dx*2

dr

 

' - M - b

drz

_a_

 

1

(2.29)

,.2

l / ¥ ^ c‘)

dx*2

dz

4л

 

 

 

 

Данная система уравнений аналогична системе (2.2). Следовательно, она описывает движение электрона в не­ котором потенциальном поле, характеризуемом эквива­ лентным потенциалом

ф* = Ф*

(2.30)

Если распределение потенциала ф в дискретных точ­ ках области известно, то по (2.30) может быть вычислено распределение эквивалентного потенциала Ф* для каж­ дой траектории. В отличие от рассмотренных ранее слу­ чаев градиент эквивалентного потенциала в элементарной ячейке ABCD (рис. 2.5) может оказаться слишком боль­ шим, так как он растет с увеличением магнитного поля. Поэтому предположение о постоянстве компонент напря­ женности поля эквивалентного потенциала в квадрате ABCD может привести к грубым ошибкам. Чтобы избе­ жать их, поступим следующим образом. Разложим коор­ динату г траектории в ряд по степеням Дz, ограничиваясь членами второго порядка,

где Az — z — zp. В

исходной точке

Р (рис.

2.5) значения

dr

d2r

Zp), ty{rp, zp), а

также

истинный по-

-----,

--------- , cp (rp,

dz

dz2

 

 

 

тенциал в узловых точках сетки предполагаются известны­ ми. Если А2 и соответствующее приращение координаты г малы, то можно считать, что на интервале Да величины

5. За к. 596

65

dr

dh

постоянны. Следовательно, координату гРг

dz

dz1

точки Р,

можно определить по (2.31).

Для

расчета коор-

динаты гр найдем величину

(

dr

\

 

 

 

 

\

-----

jpt

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

dr

 

dr_

 

 

d1r

 

(zp,

zp)

(2.32)

 

dz p,

dz ; p

 

~~df

 

 

 

 

 

/ p

 

 

 

 

 

I

r'\

U

 

!v,

 

I

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

i

 

 

I

 

 

 

 

I

A

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ь,п

 

jlа ,«‘/

\Ук,п*г

 

 

 

 

 

г,1 —•» " га " t “

"

 

 

 

 

 

I

р'Т>. Ъ рг.

 

I

 

 

- +

 

 

 

 

■— ч

—

L-------------

 

 

 

 

|

 

I

c

'

 

t,nrl

 

 

 

 

 

 

[fh-l.n

!'A

 

 

 

 

 

l

 

I

 

I

 

 

 

 

 

 

 

I

 

I

 

I

 

 

 

 

 

a ~

Рис. 2.5. К выводу формул расчета траектории

релятивистского электрона в комбинированном

 

 

 

 

осесимметричном поле

и величину

(

^ Г

\

, для чего воспользуемся уравнением

\

-------

 

 

dz-

/я,

траектории в общем виде

ч‘г _

,+ Ы )

 

 

(2МД33) Л

dz2

2Ф*

{

dr

dz dz I

где Ф* определяется по (2.30).

Рассмотрим, каким обра-

'зом можно определить величину эквивалентного потен­ циала Ф* в произвольной точке элементарного квадрата ABCD. Предположим, что компоненты градиента потен-

G6

циала ср в данном квадрате постоянны и определяются по (2.1). Тогда для потенциала в произвольной точке квад­ рата можно записать

ср(Л г)

известен

С р = ф { Г р ,

Подставив

Ф/r+i.n Фа-1,

Фа,п+1

Фа,п—1 z -j-C0, (2.34)

Ш

 

2А

 

 

/’г>’ 2d ~-координаты

точки

 

константа С0 определяется

 

Vр> z p )

потенциал

ср (гр, <

Z p)~

 

1-1,71

Фй,П+1

2А

r p

2h

 

 

(2.35)

в (2.34),

получим

 

,

, Фл+1,П

Фа—1,71 ,

.

Ф (г, z ) = ---------------—{Г—Гр) X

Ф/1,П-1

Zp

(2.35)

,

Фа,7i+i

Фа,тг-1

.

. ,

,

,

/Г1

Ч------

2-----

2 /Г ^ ------

(z — Zp) +

ф {Гр'

Zp)■

(2'36)

С учетом (2.25), (2.30) и (2.36) запишем выражение для эквивалентного потенциала в произвольной точке квадрата

Ф* (г,

г) =

Фа +1,71

Фа-1,77 {г — гр) -г

 

 

 

2А

Фа,?1+1

Фа, 71-1

(z

Z p ) * ; (р (Гру Z p) X

 

2!г

 

 

 

Х 11+

ео

Ф&+1»71

Ф/1-1,71 {Г — Гр) +

 

 

 

2Ь

Фа,77+1

Фа,77-i

(г — Zp) + ф (Гр,

 

2А

 

 

 

 

1

 

2е„

 

 

4я /

mn

Ф (/•. z) + Сг

67

Из этого выражения определяются компоненты градиента

эквивалентного

потенциала

 

 

 

 

 

 

 

ЭФ*

Фа+1,п

Ф;1- 1,77

|, ,

ео

Фа. 1,71

 

Ф/|-1,71

v

дг

 

2h

 

 

1^ ‘ т0с2

 

 

2h

 

 

 

 

 

 

,

Ф/ ,77+1

Ф/7,71-1

 

 

 

 

 

 

х

(/- -

" 1 Р) ' Г ~

*

2к

 

-(Z -~ Zp) 'I '

 

 

 

 

1)

2

Г

1

/

2еп

 

 

 

 

 

 

*Г ф('>> z p )

Л ■7 г _ 4л |/

 

то- Ф (г,

z) -j-Cx X

 

 

 

 

1/

~еп

 

 

д\|>

 

 

 

 

 

 

\ 4л

[ф ('">

z) — r а г

г С ,},

 

 

 

то

 

 

 

,ф*

 

Ф/|,71+1

Ф/1,,1-1

| .

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

2h

 

\ '

тпс2

 

 

 

X

Ф л + 1,77

Ф/<— 1,71

(г — гр)

Ф/<,7! I-1

‘ Ф/1 ,71 - 1

(z — Zp)

 

 

 

2/г

 

 

 

р> 1

 

2/г

 

 

 

 

4" Ф

{ Г р > Z p )

 

 

 

2ё7 ^

Г 1

 

 

 

 

 

2лг2 |/

т0

dz

|4я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя в (2.33) значения

dr

Ф*,

дФ*

дФ*

dz

dr

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

найденные в точке

Р1 (г = rp ,

z — zp )

при

известных

\|),

<Эгр>

dil)

 

„

 

 

'

 

/

d1/-

\

по (2.31)

 

—— , — в той же точке, получаем ------- и

 

dr

dz

 

 

 

 

 

 

\

dz1

j Pi

 

 

определяем координату траектории в точке Р2.

Расчет

ко­

ординат точек

Р3,

Р4

и

т. д.

выполняется

аналогичным

образом. Для расчета траектории в следующей ячейке

предварительно по (2.36)

определяется

потенциал ср(л, г) в

точке Q, и процесс расчета

координат траектории при но­

вых исходных данных повторяется.

 

В заключение кратко рассмотрим расчет траекторий не­

релятивистских электронов,

движущихся в однородном маг­

нитном поле с нулевыми начальными

скоростями. В этом

случае 0О= О, С1 = —

1

у r w -фк,

я|) = лг2В и система

уравнений движения (2.29)

принимает вид

68.

 

dV

 

 

a

 

gpfi2

( r - r ^ f

 

dx2

 

 

5r

 

 

 

 

Ф — 8m0r2

 

d2z

 

 

_5_

 

e B°-

 

 

dx2

 

 

52

Cp------ (r2 _ r2)2

 

 

 

 

8m/~

где т

/

2ё^

Эквивалентный потенциал в любой точке

1/'

—

=

/»п

 

 

 

 

 

ячейки ABCD в данном случае определяется по формуле

 

Ф (г,

г)

= Ф/.+1.П

Фй-1,п

(г — гр) +

 

 

 

 

 

2h

 

 

 

Фл,Т!+1

Ф*,П-1

(2 — 2p) +

q>(/>, 2 )

 

 

 

2h

 

 

 

 

 

 

 

gpfi2

 

(2.37)

 

 

 

 

8m0r2

 

 

 

 

 

 

 

откуда

находятся производные

 

 

 

5Ф

 

Фй+1.П— фй-1,п

,

{ r l - r %

 

дг

 

 

2/i

 

 

 

 

 

 

4tu0r3

 

5Ф

 

фй,/г-{-1

фк,п—'

 

(2.38)

 

 

 

 

 

5г

 

 

2/i

 

 

 

необходимые для расчета траектории.

Подчеркнем еще раз, что при расчете траекторий изло­ женным способом интервал Az необходимо выбирать ма­ лым. Если в процессе расчета окажется, что при некото­ ром отклонении электрона в радиальном направлении эквивалентный потенциал получается отрицательным, то это свидетельствует о большой величине интервала Az.

§5. РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ ЭЛЕКТРОНОВ

ВНЕСТАЦИОНАРНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Задача расчета траекторий электронов в переменных во времени полях связана с рядом затруднений. Извест­ ные способы ее решения основаны на использовании ме­ тода электролитической ванны с автоматическим траектографом, представляющим собой динамическую модель

(59

Смотрите также файлы