Файл: Григоришин, И. Л. Моделирование электроннооптических систем на сетках сопротивлений.pdf

приближений [55], суть которого в данном случае за­ ключается в следующем. Сначала с помощью моделиро­ вания при заданных граничных условиях определяется исходное распределение потенциала, например решает­ ся уравнение Лапласа; затем в этом поле рассчитыва­ ются траектории и вычисляется пространственный заряд, который моделируется на сетке сопротивлений то­ ками, вводимыми в узловые точки сетки. Эти токи «воз­ мущают» исходное распределение, что адекватно вли­ янию пространственного заряда в исследуемой элект­ роннооптической системе. Полученное распределение потенциала может рассматриваться как исходное для уточнения конфигурации электронного потока и плотно­ сти заряда в следующем приближении и т. д. Процесс последовательных приближений продолжается до тех пор, пока результаты п и л+1-го приближений не сов­ падут с точностью до наперед заданной величины. При этом результат в силу единственности решения задачи о потенциале совпадает в пределах заданной погрешно­ сти с самосогласованным полем. В качестве критерия сходимости процесса последовательных приближений можно принять равенство в пределах заданной точно­ сти в п и /I—|—1 -м приближениях, например, потенциалов в узловых точках сетки, снимаемой с катода плотности тока или совпадение траекторий заряженных частиц. Строго говоря, каждый из этих критериев имеет одина­ ковую силу и предпочтение тому или иному из них да­ ется, в зависимости от того, какой из параметров важ­ но получить с максимально возможной точностью. Отсюда видно, что моделирование поля с учетом влия­ ния пространственного заряда является довольно трудо­ емкой задачей в связи с необходимостью использова­ ния метода последовательных приближений, предпо­ лагающего многократное повторение этапов расчета траекторий, вычисления и моделирования пространствен­ ного заряда и определения потенциала.

Результаты вычисления траекторий в каждом при­ ближении позволяют определить область существова­ ния пространственного заряда и выполнить в этой обла­

(1.6), вообще говоря, может быть решено численно ме­ тодом конечных разностей, но поскольку на данном

80

этапе расчета мы располагаем достаточно полным се­ мейством траекторий, целесообразно удовлетворить условию непрерывности другим способом, используя трубки тока. Построение трубок тока есть условное раз­ биение потока заряженных частиц на отдельные эле­ менты, несущие некоторые малые доли тока. В двумер­ ном плоском поле трубка тока ограничена двумя цилин­ дрическими поверхностями, дающими в сечении z = const траектории с начальными координатами А'0,ь г/о,! и х0<2, 1/о,2- В осесимметричных системах трубки тока

представляют собой тела вращения, которые в сечении плоскостью 0 = const дают линии, являющиеся траекто­ риями заряженных частиц на этой плоскости. С торцов трубка тока ограничена поверхностями входа в рассмат­ риваемый объем и выхода из него. Так как в двумерных плоских и осесимметричных системах в силу плоскопа­ раллельной и осевой симметрии все процессы можно изучать на плоскости х, у или г, z при фиксированных произвольных z0 или 0о, то трубка тока в этих случаях ограничена двумя соседними траекториями и контуром рассматриваемой области. Подразумевается, что труб­ ка тока заключает в себе множество других траекто­ рий, не выходящих за ее пределы. Из способа построе­ ния трубки тока следует, что в любом ее сечении вели­ чина электронного тока остается постоянной. Если известны величина тока в трубке и распределение по­ тенциала вдоль нее, то тем или иным способом можно найти распределение зарядов.

Рассмотрим метод трубок тока в приложении к вы­ числению пространственного заряда в электрсинооптических системах с плоскопараллельной или осевой сим­ метрией.

Разобьем электронный поток на поверхности входа в рассматриваемое пространство на «узкие» трубки то­ ка. Под «узкой» будем понимать такую трубку тока, по­ перечное сечение которой значительно меньше шага раз­ ностной сетки Д/г<С/г (рис. 3.1). Сосредоточим в началь­ ный момент времени в центре этой трубки весь заряд, пересекающий участок Д/г за единицу времени. Этот заряд может рассматриваться как «большая частица» [45, 47], уравнение движения которой совпадает с урав­ нением движения элементарной частицы, а трубка тока ввиду малости участков Д/г— как траектория этой «боль­

шой частицы». Если ток AU в трубке известен, то заряд на отрезке трубки тока длиной di в элементарном квад­ рате разностной сетки в окрестности узловой точки (Хк, ут) будет равен

hqi = M iti,

Рис. 3.1. Представление потока заряженных частиц сис­ темой «узких» трубок тока

тарной ячейке разностной сетки, равен сумме зарядов, внесенных всеми трубками тока, проходящими через данную ячейку,

вычислено и время движения частицы в элементарной ячейке разностной сетки. Таким образом, зная величину тока в трубке, легко вычислить величину заряда в каж­ дом элементарном объеме в окрестности данной узло­ вой точки в процессе расчета электронных траекторий,

82

а также рассчитать токи, моделирующие пространствен­ ный заряд в узловых точках сетки сопротивлении:

N

2 Д'А

Метод узких трубок тока прост и удобен, однако практически применим лишь при использовании боль­

ших ЭЦВМ, так как для вычисления заряда в ячейке разностной сетки с приемлемой точностью он предпола­ гает расчет большого числа траекторий.

Метод, не требующий расчета очень большого коли­ чества траекторий, основан на использовании так назы­ ваемых «широких» трубок тока. В отличие от «узкой» назовем «широкой» такую трубку тока, сечение которой соизмеримо с шагом сетки (рис. 3.2). Понятие «широ­ кой» трубки должно быть ограничено наряду с посто­ янством электронного тока также и требованием одно­ родной плотности тока в любом сечении трубки. Естест­ венно, что практически это требование может быть выдержано Лишь с той или иной степенью приближения. Вообще говоря, допустимая неоднородность плотности тока в сечениях трубок и предопределяет количество трубок тока, на которые разбивается поток заряженных

различно. Поскольку величина тока остается неизмен­

ты произвольного сечения трубки тока. Допуская воз­

ГО,it0,i

it (Г> Z) = /О,£

ri[i(r> z)

Если в произвольном сечении трубки известна скорость частицы, то, используя (1.8), можно определить плот­ ность заряда

где v — скорость частиц в данной точке.

Полученные выражения определяют дифференци­ альную плотность заряда. В пределах погрешности ко­ нечно-разностного метода допустимо предположение о том, что определенная таким образом плотность прост­ ранственного заряда есть средняя величина для элемен­ тарного объема, связанного с рассматриваемой узловой

84

точкой. Тогда величина заряда в этом объеме для плоской и осесимметричной квадратных сеток соответ­ ственно на единицу длины по г и на единицу угла в на­ правлении 0 определяется следующим образом:

Если происходит наложение трубок тока, то общий заряд в элементарном объеме равен сумме зарядов, вно­ симых каждой трубкой тока,

При моделировании полей электровакуумных прибо­ ров с учетом влияния пространственного заряда встре­ чаются два типа задач: с известной и неизвестной плот­ ностью тока на поверхности входа в исследуемое прост­ ранство или на катоде. Задачи первого типа чаще всего встречаются в тех случаях, когда отдельно рас­ сматривается область, в которую электронный поток входит уже предварительно сформированным, причем параметры потока (распределение плотности тока по поверхности входа, скорость частиц и т. д.) известны из решения задачи для области формирования. Так как область существования заряда, а также плотность его в исследуемом пространстве неизвестны, то моделиро­ вание выполняется методом последовательных прибли­ жений. При решении таких задач, как показал опыт, процесс последовательных приближений к искомому потенциалу сходится чаще всего с одной стороны, т. е. значение потенциала в узлах после каждого приближе­ ния, например, уменьшается, стремясь к искомому, но не переходит за его значение. Хотя с ростом количества приближений интервал изменения потенциала между двумя соседними приближениями уменьшается, но про­ цесс приближений сходится медленно.

В задачах второго типа предполагается наличие ис­ точников электронов с заданными условиями эмиссии. Как известно, для термоэмиттеров, работающих в ре­

85