Файл: Григоришин, И. Л. Моделирование электроннооптических систем на сетках сопротивлений.pdf

Отсюда следует важный вывод о том, что в прина­ родной области электроннооптической системы, которая наиболее подвержена влиянию пространственного заря­ да, сопротивления стоков не зависят от потенциала и остаются постоянными для каждого из последователь­ ных приближений. Таким образам, на основе метода со­ противлений стоков можно построить автоматическую модель диода со стандартным набором сопротивлений стоков, на которой будет получаться распределение по­ тенциала, соответствующее решению уравнения Пуассо­ на, при любых потенциалах на аноде. Например, для модели плоскопараллельного диода, подставляя в (3.8) dll, m =kh, где /г = 1, 2,... — порядковый номер узла при отсчете от катода, получаем

Ro — значение номинала сопротивлений, из которых по­ строена плоская квадратная сетка.

Эта особенность метода сопротивлений стоков в прикатодной области также способствует ускорению сходи­ мости процесса последовательных приближений.

Дискретность моделирующей среды сетки сопротив­ лений обусловливает необходимость усреднения плотно­ сти пространственного заряда в элементарной ячейке разностной сетки. Такое усреднение не вызывает боль­ ших погрешностей, если изменение потенциала в ячей­ ке относительно его значения в узловой точке неболь­ шое. В прикатодной же области это условие ие выпол­ няется. Следовательно, усреднение плотности заряда в ячейках, близко расположенных к катоду, приводит к значительным погрешностям в определении как потен­ циала, так и плотности тока на катоде. Для снижения этой погрешности применим искусственный прием. Определим, какими должны быть сопротивления стоков в прикатодной области для того, чтобы потенциал из­ менялся по закону

(ЗЛО)

где фа — потенциал некоторой эквипотенциали, ограни­ чивающей выбранный фиктивный диод; dK,a — расстоя­ ние от катода до эквипотенциали фа. Запишем уравне­

93

ние Кирхгофа для сетки с произвольным шагом при под­ ключенных сопротивлениях стоков

Для удовлетворения условию (3.10) сопротивления сто­ ков должны быть вычислены по формуле

Сравним теперь, как изменятся величины сопротивле­ ний стоков для диодной области на примере модели плоского диода с квадратной сеткой, Полагая du= kh, преобразуем (3.11) к виду

Результаты расчета сопротивлений стоков по форму­ лам (3.9) и (3.12) представлены в табл. 3.1.

94

Как видно, усреднение плотности заряда в элемен­ тарных ячейках разностной сетки в прикатодпой обла­ сти действительно может привести к сравнительно боль­ шим ошибкам. На расстоянии четырех шагов от катода различие в определении сопротивлений стоков по фор­ мулам (3.9) и (3.12) уже менее 1,%.

Проведем теперь сравнительную оценку точности, достигаемой при моделировании пространственного за-

о

Ц

Т

6

Рис. 3.5. Цепочка сопротивлении с источником для задания тока в узловую точку (а) и с сопротивлением стока (б)

ряда сопротивлениями стоков и путем задания токов от высоковольтных источников через регулируемые сопро­ тивления R*. Не ограничивая общности, рассмотрим по­ грешности методов на простых одномерных цепочках сопротивлений, показанных на рис. 3.5. Учтем только тот потенциал в узловых точках, который обусловлен протеканием по цепочке сопротивлений тока h , модели­ рующего пространственный заряд, т. е. для случая, изо­ браженного на рис. 3.5, а, решаем задачу с известным значением пространственного заряда и с нулевыми по­ тенциалами в граничных точках. Вследствие линейности

95

8q>&.

Для метода сопротивлений стоков (рис. 3.5, б) паде­

ется сопротивлением R*, причем как R*, так и сопротив­ ление стока Rh (рис. 3.5, б) задаются с одинаковой точ­ ностью. Чтобы сравнить погрешности от неточного задания тока в первом методе при нулевых граничных условиях и во втором — при отличных от нуля граничных

циала всегда меньше погрешности задания сопротивле­ ния стока, вследствие проявления «демпфирующего» действия потенциала в узле. Погрешность от неточного задания сопротивлений будет менее сказываться при удалении от контура области. В рассматриваемом од­ номерном случае при Ro/Rh— const минимальная по­ грешность при прочих равных условиях будет, как следу­ ет из (3.13), при k = n)2. По этой же причине влияние погрешностей сопротивлений стоков на точность получае­ мого результата для двумерной сетки будет меньше, чем для одномерной.

96

§3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

СЗАДАННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ВХОДЕ

ВРАССМАТРИВАЕМУЮ ОБЛАСТЬ

Вряде практических случаев удобно разбить элекгр'онно’оптинескую систему на отдельные области (фор­ мирования, ускорения, дрейфа и т. д.) и решать задачу

опотоке заряженных частиц последовательно в каждой из них. Затем полученные для каждой области решения «сшиваются». Иногда разбиение системы на составные части не только создает предпосылки для упрощения решения задачи, но и вообще может явиться единствен­ ной практической возможностью моделирования этой системы. Так, например, возникают большие затрудне­

ния при определении с удовлетворительной точностью потенциала в прнкатодной области и в области дрейфа, где потенциал может быть во много раз выше, чем вблизи катода. В некоторых случаях для моделирова­

Рассмотрим некоторые практические вопросы моде­ лирования пространственного заряда в областях, куда электронный поток входит уже сформированным и ускоренным, и предположим, что параметры потока (плотность тока, скорости частиц и т. д.) на поверх­ ности входа в данную область известны. Как правило, эти параметры определяются по результатам модели­ рования предшествующей области. Таким образом, речь идет о решении упомянутых выше задач первого типа.

Примем потенциал какого-либо из электродов рас­ сматриваемой части электроннооптической системы за начало отсчета, т. е. зададим на нем потенциал, равный

/ 2е,

где у —°- ф0= v0—начальная скорость электрона, ф0 /ИпО

потенциал электрода, который в данной области принят за начало отсчета относительно катода системы, эмигриру­ ющего электроны с нулевыми скоростями. Таким образом,

поверхность входа потока в рассматриваемую область мож­ но рассматривать как источник, эмиттирующий электроны с отличными от нуля начальными скоростями при заданном распределении плотности тока. Эта поверхность может быть и неэквипотенциальной, а поэтому поток электронов на входе будет разноскоростным.

Расчет пространственного распределения заряда осу­ ществляется способом, аналогичным рассмотренному выше. Так как исходное распределение потенциала не­ известно, то моделирование пространственного заряда осуществляется методом последовательных приближе­ ний. Если построены широкие трубки тока, то модели­ рующий пространственный заряд ток на плоской сетке определяется из йыражения

Эти токи могут быть заданы от дополнительного, обще­

го для всех узловых точек источника с потенциалом ии через сопротивления

Как следует из этого выражения, выбор величины по­ тенциала источника определяется условием ыи<<рл, m для всех узлов в области существования потока. При выборе ии = — фо получаем для Rh, т выражение, анало­ гичное (3.5):

RqЕ0 (ф&,т ~Г Фо)3/2

R k . m —

/I2 jo.l^Q.i

li(k, т)

Приведем один из наиболее простых примеров задач этого типа — движение электронов между двумя пло­

98

скопараллельными идеальными сетками с потенциалами

Сг перпендикулярно к ее поверхности. Сетку С\ можно рассматривать как фиктивный катод, эмнттирующий

дача о распределении потенциала между сетками с уче-

Рис. 3.6. Распределение потенциала между идеальными плоскопараллельными сетками при наличии пространственного заряда

том пространственного заряда имеет точное решение [15, 54, 76]. Без пространственного заряда распределе­

в область между сетками, прогиб кривой распределе­ ния потенциала меняется, и при некотором значении то­ ка появляется минимум потенциала. Существует неко­ торая предельная величина плотности тока