Файл: Григоришин, И. Л. Моделирование электроннооптических систем на сетках сопротивлений.pdf

превышение которой приводит к появлению виртуаль­ ного катода [76]. Глубина образующегося при этом ми­ нимума и его положение определяются из выражений

где d ClC, — расстояние между сетками. Интегрирование уравнения Пуассона в этом случае дает следующие вы­ ражения для распределения потенциала между сетками:

заряд, установлен равным 50 В. При выбранном начале

приближениях. Точки на теоретической кривой Т соот­ ветствуют последнему приближению, которое отличает­ ся от теоретического не более чем на ± 2 % . Из рисун­ ка наглядно видно, что процесс последовательных приближений сходится с одной стороны и заданная точность достигается после выполнения довольно боль­ шого количества приближений. Несколько ускорить сходимость можно путем увеличения потенциала источ­ ника для задания токов в узловые точки, по крайней мере при выполнении первых нескольких приближений. Для «сшивания» полученного на модели решения с ре­

100

шением для предшествующей области необходимо «поднять» распределение потенциала на рис. 3,6 на 50 В.

Заметим, что решение задач с известной плотностью тока на входе методами моделирования может получать­ ся неустойчивым. Это зачастую имеет место в тех случа­ ях, когда изменение потенциала внутри области за счет пространственного заряда не приводит к заметному изменению плотности электронного тока как на входе, так и в междуэлектродном пространстве. Тогда незна­ чительные ошибки в токе, моделирующем пространст­ венный заряд, приводят к уменьшению потенциала до возникновения виртуального катода. Характерным при­ знаком такой ошибки в некоторых практических случа­ ях служит резкое снижение потенциала в процессе вы­ полнения последовательных приближений после того, как распределение потенциала, близкое к истинному, уже достигнуто.

§4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

СУЧЕТОМ МАКСВЕЛЛОВСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ПО ЗНАЧЕНИЯМ НАЧАЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ

Экспериментальными исследованиями установлено, что вылетающие из накаленного катода электроны об­ ладают начальными тепловыми скоростями, распределе­ ние которых можно приближенно описать статисти­ ческим законом Максвелла [81, 102]. Свидетельствомэтого является уменьшение по экспоненциальному зако­ ну анодного тока в диоде при увеличении отрицатель­ ного потенциала анода. Очевидно, что при наличии у электронов тепловых начальных скоростей условие ра­ венства нулю поля на катоде в отличие от рассмотрен­ ного выше случая нулевых начальных скоростей не име­ ет места, так как это означало бы, что все электроны должны были бы попасть на анод при любом сколь угод­ но малом положительном потенциале, т. е. ток анода равнялся бы току насыщения катода. В действительно­ сти анодный ток значительно меньше тока насыщения катода. Предельно большую плотность тока с катода практически возможно отбирать только при высоком потенциале на аноде. Вызвано это тем, что облако за­ ряда благодаря наличию начальных скоростей создает на некотором расстоянии от катода потенциальный

101

барьер или минимум потенциала, через который могут пройти электроны с начальными скоростями, достаточ­ ными для его преодоления. Глубина минимума потен­ циала определяет величину тока анода.

Известно, что тепловые скорости электронов оказы­ вают дефокусирующее действие на протяженные элек­ тронные пучки, вызывают аберрационные эффекты в электроинооптических системах для получения изобра­ жений, приводят к нарушению ламинарности потоков и т. д. Существенно также влияние их на характеристи­ ки и параметры электронных ламп для генерирования и усиления электромагнитных колебаний. Анализ пока­ зывает, что в миниатюрных приемноуенлительных лам­ пах с малыми междуэлектродными расстояниями и низкими напряжениями питания поле между катодом и

с узкими электронными пучками, а также микроприбо­ ров, составляющих основу вакуумной микроэлектрони­ ки, настоятельно выдвигает потребность расчета потока электронов с учетом тепловых скоростей. Такой расчет

достаточно просто выполним лишь для простых диодных систем [11, 92, 95].

Моделирование как универсальный метод расчета электроинооптических систем позволяет решить задачу о самосогласованном поле с учетом теплового распре­ деления эмиттируемых электронов в произвольной двухнли трехмерной системе, хотя трудоемкость решения этих задач по сравнению с задачами без учета тепло­ вых скоростей существенно возрастает. Основная тру­ доемкость обусловлена сложностью определения прост­ ранственного заряда.

Рассмотрим системы с плоскопараллельной симмет­ рией, содержащие термоэлектронные катоды с извест­ ными плотностью тока насыщения js, температурой Т. Простейшей из этих систем является плоский диод. Ис­ пользование некоторых закономерностей в нем позволя­ ет упростить процесс моделирования пространственного заряда в двумерных системах.

В зависимости от условий работы катода в диоде можно выделить три характерных режима (рис. 3.7):

102

вблизи катода распределены по закону Максвелла, то число электронов dNoiX, скорости которых лежат в интервале [и0,А-> vo.x -I- dv0lX], равно

="• ] / (-■ т )

Эти электроны создают на поверхности катода элемент плотности тока [15]

ная тепловая скорость электрона. Так как в области на­ чальных токов только часть электронов попадает на анод, плотность пространственного заряда в диоде может быть записана в виде суммы двух интегралов:

1/2

V т0 }

первый из которых учитывает плотность заряда, обуслов­ ленного электронами, не достигающими анода и, таким образом, проходящими данную точку с потенциалом (—ф) дважды, а второй — плотность заряда, образо­ ванного электронами, оседающими на аноде. Скорость электрона определяется на основе закона сохранения энергии

Подставляя эту скорость в выражение (3.14) и выполняя интегрирование, получаем

104

где ii = —— — ; Фг = ■’nf T \ erf({/rj) — интеграл вероят­

ности.

Врежиме ограничения тока пространственным зарядом

сналичием минимума потенциала анодный ток обусловлен электронами, скорость которых достаточна для преодоления тормозящего поля между катодом и минимумом потенциала

v >

чальную скорость в этом тормозящем поле и возвращается на катод.

Следуя [15], назовем области катод — минимум по­ тенциала и минимум потенциала — анод соответственно а- и р-диодами. Легко видеть, что распределение потен­ циала в а-диоде представляет собой предельный случай начальных токов, когда ф тт=«а- Поэтому для плотности пространственного заряда в а-диоде справедливо выра­ жение (3.15). За минимумом потенциала, т. е. в р-диоде, плотность заряда определяется из выражения

(3.16)

где — — 5ш1д_. Таким образом, выражение для плот-

Фг

ности заряда в диоде в режиме ограничения тока простран­ ственным зарядом имеет вид

105

Тогда выражение (3.16) преобразуем к виду

_ Ф _

is ехР

Фт

Р р —

или при

Фт1п ^

iа = is exp

Фг )

получим

Pp =

2e

m- ( ф — Фтш)

Из последнего выражения следует, что на некотором уда­ лении от минимума потенциала к аноду, где имеет место

Таким образом, при моделировании диода с учетом распределения начальных тепловых скоростей в узловые точки сетки сопротивлений необходимо ввести токи

При наличии у электронов тепловых начальных скоростей возможно существование пространственного заряда в областях междуэлектродного пространства с отрицательным потенциалом. Поэтому для задания то­ ков по (3.18) необходимо использовать источник с потен­

106

циалом м„<фт1и; сопротивления, через которые задаются токи в узловые точки, рассчитываются по формуле

у'п AV, [1 ± erf (}/г7)1 exp ( i V m. )

\фг /

Моделирование пространственного заряда в диоде с помощью сетки сопротивлений осуществляется методом

Рис. 3.8. Результат моделирования распре­ деления потенциала в плоскопараллельном диоде с учетом тепловых начальных скоро­ стей

последовательных приближений. Значение плотности тока катода в первом приближении, когда отсутствует минимум потенциала, может быть принято равным /s. Из практических соображений представляется целесооб­ разным выбирать источник с потенциалом, ненамного отличающимся от cpmin. В этом случае «вилка» значений потенциала в первых приближениях будет сравнительно узкой, что способствует быстрой сходимости процесса последовательных приближений.

В качестве примера на рис. 3.8 приведены результа­ ты моделирования диода при /s= 0 ,l А/см2, Гк=11бО°К,

107

aK. а= 5-10_3 см, un = 0,064 В. Кривые / и II соответству­ ют распределению потенциала в первом и втором при­ ближениях, а точки на теоретической кривой Т — резуль­ тат третьего, последнего, приближения. Для задания па сетке сопротивлений токов, пропорциональных простран­ ственному заряду, использовался источник с потенциа­ лом, равным 1,5 фт1п-

В плоской двумерной системе статистическое распре­ деление электронов по значениям начальных скоростей может быть учтено путем разбиения всего диапазона на-

JX

чальных скоростей (0^ Н о < °°) и углов вылета (------ ^

JT

;0 < — ) на конечные интервалы [31, 55]. Выходящий

с катода поток электронов в этом случае представляется совокупностью отдельных групп, в каждой из которых содержатся электроны с начальными скоростями и на­ правлениями вылета в интервалах [оо, n0-\-dv0], [0, 0+с?0]. Если эти интервалы достаточно узкие, то каж­ дой группе электронов можно приписать некоторую среднюю начальную скорость и средний угол вылета. В соответствии с этим расчет пространственного заряда имеет следующие особенности:

а) начальные условия для расчета траекторий элек­ тронов многозначны, т. е. из каждой точки катода необ­ ходимо выводить множество траекторий при всех соче­ таниях средних начальных скоростей и углов вылета;

б) скорость электрона в произвольной точке поля есть функция не только потенциала, но и средней началь­ ной скорости рассматриваемой группы;

в) плотность пространственного заряда в некотором элементарном объеме складывается из суммы плотно­ стей, образованных различными группами электронов.

В рассматриваемом поле с плоскопараллельной сим­ метрией неизменной остается только компонента v0iZ на­ чальной скорости. В связи с этим распределение Макс­

Плотность тока, составленного электронами, скорости кото­

108