Файл: Григоришин, И. Л. Моделирование электроннооптических систем на сетках сопротивлений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.10.2024
Просмотров: 51
Скачиваний: 0
вдоль линий сетки потенциал между двумя соседними узловыми точками изменяется линейно. Если на границе, например в точке 4 (рис. 1.8, а), задано значение потен циала U4, а граничным контуром стандартный шаг сетки делится в отношении С/D, то, чтобы обеспечить потен циал 1Ц в точке 4, необходимо задать в точке 4' потен
циал Ш’ '■
uv = «4 + — («4— q>4»): |
(1 •51) |
Поскольку вначале значение потенциала ср4» во внутрен ней узловой точке неизвестно, значение потенциала щ> может быть найдено методом последовательных прибли жений, суть которого в данном случае заключается в том,
Рис. 1.8. Реализация граничного контура на сетке сопротивлений
а* |
85 |
что сначала в точке 4' задается известный потенциал 1Ц,
а затем, после измерения потенциала ф4" , по (1.51) вы числяется значение потенциала ыц . Процесс повторяется до тех пор, пока в п и п + 1-м приближениях значения 1Ц>
не совпадут с заданной точностью.
Другой, практически более удобный метод предусмат ривает «смещение» внешних узловых точек 4' и 5' сет ки сопротивлений соответственно в точки 4 и 5, лежа щие на пересечении контура с линиями сетки. Очевид
но, что для сохранения |
расстояния между точками 4" |
||||||
и 4 |
сопротивление между узлами |
сетки 4" и 4' долж |
|||||
но быть установлено |
С |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ri — Ro С -! |
D |
|
|
|
Это |
достигается |
шунтированием |
стандартного |
сопро- |
|||
тивлення сетки R0 сопротивлением |
С |
|
|||||
Rm = Ro — , как пока |
|||||||
зано |
на рпс. 1.8, б. Последний метод позволяет зада |
||||||
вать |
на сетке |
сопротивлений |
любой криволинейный |
||||
контур |
моделируемой |
электроннооптической |
системы |
||||
простыми техническими средствами. |
|
||||||
При |
моделировании |
полей |
электронных вакуумных |
||||
приборов граничными условиями могут быть: |
|
||||||
1) заданное |
распределение |
потенциала на электро |
|||||
дах (контуре) электроннооптнческой системы (I краевая задача):
ф|Гр = ил (/> = 1 , 2 , 3 ............л);
2) заданное на контуре значение нормальной произ водной потенциала (II краевая задача):
дер
= ^ (Н ;
дп
3) заданная линейная комбинация потенциальной функции и ее нормальной производной (III краевая за дача) :
U p + ^2 (Г) |
Rз (П> |
|
|
где F2(Г) и F s (Г) — |
известные |
функции. |
При расчете |
электроннооптнческнх |
систем |
чаще всего |
решается I |
36'
краевая задача, т. е. заданы потенциалы на электродах. Реализация граничных условий на сетке сопротивлений
•сводится в этом случае к заданию в узловые точки потен циала, пропорционального значениям потенциала в сход ственных точках электродов системы.
Граничные условия II и III рода возникают при реше нии задач синтеза электроннооптических систем [28, 61, 62] и, как известно [14], реализуются па сетке путем вве дения в узлы пропорциональных значений токов. Случаи граничных условий с нулевым значением нормальной про изводной встречаются при моделировании электроннооптических систем, обладающих помимо симметрии, кото рая позволяет рассматривать их как двумерные и выпол нять их моделирование на плоских сетках сопротивлений, еще н симметрией относительно средней плоскости или периодической симметрией. Поскольку моделируемая об ласть электроинооптической системы размещается на сетке сопротивлений произвольно, ее можно разместить
•гак, чтобы линия пересечения плоскости симметрии с пло скостью сетки совпадала с узловыми точками. На линии
симметрии выполняется условие дср/<3/г= 0. |
Если прямая |
0 0 ' (рис. 1.9, а) — линия симметрии, то |
потенциалы |
Vh, ш+1 и У/,,.m-i в равноудаленных от 0 0 ' точках равны, |
|
следовательно', «разрезание»'сетки сопротивлений на две части по этой линии не вызовет каких-либо изменений в распределении потенциала в обеих частях сетки. Это по зволяет рассматривать линию разреза как границу обла сти с равным нулю значением нормальной производной потенциала.
В силу симметрии уравнение Кирхгофа для изобра
женной на рис. 1.9, |
а сетки записывается в виде |
||
V, |
V'„ |
^/i-1 ,m |
|
h+ljTn ‘ |
Is |
|
|
2 R ) , + l |
|
2Ru |
|
Vft,m+1 |
Vft, m |
' ft,m |
|
|
~R~ |
|
|
|
m+1 |
|
|
Как видно из последнего |
выражения, сопротивления на |
||
оси симметрии удваиваются, а пропорциональные правой части уравнения Пуассона токи Iu, w, вводимые в узловые точки сетки на этой оси, уменьшаются вдвое (рис. 1.9, б).
Если в системе имеется периодическая симметрия, то на сетке может моделироваться ее полупериод. В этом
37
Рис. 1.9. Реализация условий симметрии на сетке сопротивлений
случае сопротивления удваиваются на каждой линии сим метрии. Использование свойств симметрии позволяет су щественно снизить трудоемкость моделирования элек троннооптических систем и повысить точность решения задачи за счет эффективного использования области сет ки сопротивлений. Что касается питания, то для сетки сопротивлений в одинаковой степени годится как постоян ный, так и переменный ток. Выбор чаще всего обусловли вается применяемым устройством измерения потенциала на сетке сопротивлений.
§ 4. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА МОДЕЛИРОВАНИЯ
Поля в модели и в реальной электроннооптической си стеме имеют разную физическую природу, хотя описы ваются с математической точки зрения одинаковыми уравнениями. Получаемые на модели величины будут
38
иметь физические размерности, не совпадающие с размер ностями соответствующих величин реальной моделируе мой системы. На основе формальной аналогии между уравнениями, описывающими явления в модели и ориги нале, можно заключить, что искомое распределение по тенциала иа сетке сопротивлений будет получено при равенстве всех соответствующих величин в уравнениях для поля в диэлектрической среде (1.20) и для поля то ков в проводящей среде (1.27), а для того чтобы получен ным на модели величинам приписать должные физиче ские размерности, необходимо их взять с соответствую щими коэффициентами подобия:
Ум — /СфСр, |
0-52) |
Rm = Кв В> |
(1.53) |
1м — K qq, |
(1.54) |
где величины с индексом М относятся к модели. Легко видеть, что коэффициенты подобия могут быть также и соответствующими масштабами. В самом деле, распреде ление потенциала внутри исследуемой области пропор ционально увеличится, если потенциалы на границе уве личены в /<Фраз; при увеличении линейных размеров области в Кь раз
Кь = |
, |
(1-55) |
где L — линейный размер, сохраняется подобие картины поля и семейства траекторий нерелятивистских заряжен ных частиц. Распределение потенциала на сетке сопро тивлений не зависит также от изменения в произвольное число раз величин сопротивлений при соответствующем изменении токов Ih.m.n, моделирующих пространственный заряд. Следовательно, коэффициенты подобия Ktp, Кв и Кь могут быть выбраны произвольно, а на сетке сопро тивлений может быть задана область, геометрически по добная исследуемой.
Введение коэффициента подобия геометрии Кь для сетки сопротивлений в отличие от метода электролитиче ской ванны не имеет существенного значения, однако это представляется практически удобным в том случае, когда результаты решения интерпретируются на масштабном чертеже исследуемой системы.
Как следует из уравнения Пуассона (1.5), при моде лировании электроннооптических систем произвольно могут быть заданы лишь три коэффициента подобия: два электрических и одни линейный. Покажем на некоторых примерах, что если в качестве произвольных выбрать коэффициенты подобия Л'ф, Кв и Kl, т о все получаемые на
модели величины, характеризующие параметры электрониооптическоп системы, определяются дачными тремя коэффициентами.
Аналогично (1.52) — (1.55) введем зависимые коэф фициенты подобия.
1.Коэффициент подобия электронного тока
2.Коэффициент подобия плотности пространственног
заряда
д- _ Рм
3. Коэффициент подобия плотности электронного тока
ir _ 1м К] i ■
4. Коэффициент подобия электрических емкостей
Кс = — •
с с
5. Коэффициент подобия поверхностной плотности за ряда
Ко = |
'М |
|
|
||
Диэффициен'Г’ uuKuOii’/r uyuAumi1 иудлплтю |
||
К |
- |
— |
А |
< “ |
/ ■ |
7. Коэффициент подобия |
скорости заряженной ча |
|
стицы
VM
V
40
Покажем, что через основные коэффициенты могут быть выражены все зависимые. Величина тока с катода в слу чае ограничения пространственным зарядом определяется по известному закону «степени трех вторых». Находя по этому закону токи в реальной системе и по результатам моделирования, а также используя (1.52), получим
т/3/2
к , = -^ 7 F = K f .
Аналогичным образом для коэффициентов подобия плот ности электронного тока и плотности пространственного заряда соответственно имеем:
к . = |
К 3/2 |
К Р |
K v |
|
K i |
Ki ‘ |
|
|
|
||
Из (1.20) и (1.27) |
найдем связь между коэффициентом Kq |
||
и выбранными независимыми |
коэффициентами подобия |
||
К,?
К„
Кв '
Для остальных зависимых коэффициентов получим ана логичным образом
Kv = Kl'2, К, = - % . ка= K,fKL, Кс = Kl •
Аф
Если на заряженную частицу кроме электрического действует и магнитное поле, то при формулировке задачи для модели необходимо учесть, что форма траектории не изменится при изменении напряженности электрического
и магнитного полей соответственно в й и fa раз; форма траектории не изменится также при увеличении в b раз напряженности электрического поля и геометрических размеров системы при неизменной магнитной индукции В [65]. Учитывая это, получим, что для сохранения подо
бия траекторий должно выполняться условие К(р/В 2K l =
= const.
Таким образом, в качестве независимых коэффициен тов подобия могут быть выбраны только три, а осталь ные являются зависимыми и однозначно определяются данными тремя. Заметим, что в качестве независимых мо
41