Файл: Воронин, В. А. Теоретические основы процесса деформации переувлажненных почв гусеницами уборочных машин.pdf

Решение системы дифференциальных уравнений (38) и (39) мо­ жет быть представлено в форме определителей. Частные производ­ ные находят единственным образом всегда, кроме случая, когда вдоль рассматриваемой линии определитель системы равен нулю.

В нашем случае уравнение характеристик имеет вид:

вия вдоль этих линий, которым должны подчиняться искомые функ­ ции cj v. 8 .

Из равенств (40) видно, что направления характеристических линий взаимно ортогональны. Таким образом, вся область иссле­ дования независимых аргументов покрыта ортогональной сеткой ли­ ний скольжения.

Если на границе тела заданы напряжения, то определение нап­ ряжений во всех точках тела связано с интегрированием системы двух дифференциальных уравнений (38) при исвестных граничных условиях. Эти уравнения могут быть решены построением полей линий скольжения тутем перехода от дифференциальных уравнений

32

В общем случае напряженное состояние на границе Полностью определяется, если заданы на ней нормальная бп и каоательнаяТп составляющие напряжений. Определим связь между W, 9

и бп Яп на границе пластической области.

Дусть контур А на котором заданы бп и *Гц (рис.10), являет­ ся частью границы плоской облаоти, находящейся в пластическом течении. Очевидно, что |*ini £ К <

На основании уравнений (2) устанавливаем зависимость бп

ив функции компонентов тензора напряжений б*,бл Л%ч •

37

Наличие двух разных знаков в формуле для определения О перед вторым слагаемым является следствием свойств круговой тригонометрической функции at*nCQS-~. Таким образом, данные зна­

чения 5 П и *СП определяют напряженное состояние в исследуемой точ­ ке не единственным образом. Однозначное решение может быть по­ дучено из дополнительных условий, обусловленных постановкой за­ дачи.

§ С. Поле скоростей перемещений

После определения напряжений в исследуемой области скорос­ ти перемещения могут быть найдены интегрированием дифференциаль­ ных уравнений (25) и (27). Эта система уравнений является также гиперболической, и ее характеристики совпадают с линиями сколь- ,ж е н ш /14/,

Для установления значений скоростей перемещений в направле­ нии линий скольжения рассмотрим схему на рисунке II. Из схемы

Дифференцируем каждое уравнение соответственно по направ­ лению координатных осей, касательных я линиям скольжения в данной точке, и после преобразований получаем:

38

Рис.Ы. Разложение вектора скорости перемещения по направлениям, параллельным осям X и

и по направлениям, касательным к линиям скольжения.

Используя уравнение (27), полученную систолу приводим к виду:

ava - Vi а е = о 1

(43)

39

Эти. уравнения определяют скорости скольжения вдоль линий скольжения; При этом первое уравнение тлеет место вдоль линий скольжения "а", а второе - вдоль линий скольжения "в".

§ 6. Построение поля линий скольжения при вдавливании плоского штампа в почву в начальный момент времени

Существует два решения построения поля линий скольжения, предложенные Прандп\ла'л/21/ и Хиллом /26/, Поля .линий скольже­ ния, построенные по этим решениям, показаны соответственно на рисунках 12 и 13.

Вобоих решениях напряжения в равномерных полях напряжении

ицентрированном поле одинаковы, поэтому величина усилия Р , необходимая для условия пластического течения, определяется по аналогичным выражениям.

Разнятся эти решения полями скоростей и величиной длины

пластических участков и 1Н * По решению Праядтля А & = BE = 2а, и по Хиллу AG = Bi = а.

Проведенные авторами экспериментальные исследования показа­ ли, что решение Хилла справедливо при незначительной величине

Учитывая, что глубина колеи, создаваемая гусеничными дви­ жителями уборочных 1.ЛШИН, h » 0,02а, целесообразно принять за основное поле линий скольжения решение Праядтля.

Рассмотрим начальное состояние пластического течения, кот-, да граничные условия удовлетворяются на недеформированыой по­ верхности.

Деформация среды симметрична относительно оси штампа, поэто­

40

Тогда из уравнения (28) следует, что |бх|= 2к. Очевидно, что

кz '

т»

напряжений (рис.8,в). .. поскольку линии скольжения второго се­ мейства ("а") пересекают А С под углом 45°, а линии первого се­ мейства ("в") являются ортогональными относительно линий сколь­ жения второго семейства, то равномерное поле напряжений А Т С может представлять собой только равнобедренный прямоугольный

но утверждать, что и область А В С представляет собою равнобед­ ренный прямоугольный треугольник.

Из следствия первой теоремы Генки вытекает, что прямая линия АТ должна принадлежать семейству прямых линий, в кото­ рое входит и прямая А С . Обе эти прямые ограничены одной линией скольжения второго семейства стсв . Следовательно, А С = А Т .

Из курса геометрия известно, что если у двух прямоугольных рав­ нобедренных треугольников равны какие-либо стороны, то и оба треугольника являются равными. Поскольку в треугольниках A C T

и АВС стороны А Т и А С равны, то и А С г А В = 2 а .

43