ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 57
Скачиваний: 0
|
|
|
|
( 5?) |
V |
|
ь |
Вычисление |
напряженности |
где іі - линейный контур проводника. |
||||
поля линейного тока с помощью закона |
Био-Савара-Лапласа сводится |
|||
к вычислению линейного интерграла по контуру проводника: |
||||
н - |
І7Г |
X, |
• |
вид: |
Для О'ѳсконѳчного' прямолинейного тока |
закон имеет |
|||
н = |
ж |
■ |
|
(58) |
Из (58) видно, что Н является количественной характеристикой маг
нитного поля, т.к. характеризует ток, порождающий |
магнитное поле. |
С помощью закона Био-Савара-Лапласа |
(58) можно вы |
числить циркуляцию вектора напряженности магнитного поля замкну
того контура L , охватывающего ток j |
и проведенного в плос |
кости, перпендикулярной к направлению тока |
(рис.5): |
Рио.5 Величина подынтегрального выражения в некоторой точке контура
\
имеет вид:
|
|
^ |
|
H*dl |
ооз |
л |
|
|
Н-dl •- |
(H,dl). |
|||
Вектор |
Н в каждой |
точке |
г |
направлен по касательной к окруж- |
||
ности |
радиусом г |
с |
центром в |
точке |
* |
|
пересечения с рассматриваеноп |
||||||
38
плоскостью. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dl со з (Н ^ і) |
- |
dl^ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
есть |
проекция рассматриваемого |
элемента dl |
па направление, перпен |
||||||||||||||||
дикулярное |
радиусу-вектору |
F |
.Отсюда |
величина |
|
|
|
|
|||||||||||
есть |
угол, |
под |
которым элемент dl |
виден |
из |
центра окружности. |
Поэ |
||||||||||||
тому |
пользуясь |
выражением |
(58 |
), |
можно записать: |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
^ |
z |
t k |
d l i = |
Я г |
dcL |
' |
|
., |
охватываю |
||||
Теперь интеграл по произвольному замкнутому |
|
контуру! |
|||||||||||||||||
щему ток, легко вычисляется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
§ |
н dl |
: |
|
d ^ - |
1 . |
|
|
|
|
|
|||
. |
же |
контор |
Ъ |
не |
L |
|
|
ток, |
то |
интеграл |
этот |
равен нулю. |
|||||||
лсли |
охватывает |
||||||||||||||||||
м |
имеется несколько |
токов, то циркуляцию суммарного |
вектора |
Н |
|||||||||||||||
вели |
|||||||||||||||||||
можно вычислить, применяя доказанную формулу |
|
|
к каждому |
||||||||||||||||
току |
в отдельности и просуммировав по |
всем |
токам: |
|
|
|
|
||||||||||||
£ на! г Е ф |
|
|
|
Z Z j ± = j . |
|
|
|
|
(59) |
|
|||||||||
Г .о ., |
если |
направление |
обхода контура |
|
ь |
в |
|
(59) |
при |
интегрирова |
|||||||||
нии составляет с направлением тока |
|
лравовинтовую |
систему, |
то |
|||||||||||||||
знак |
j |
положителен-, |
в противном случае |
- |
отрицателен.( |
Ток J |
есть |
||||||||||||
алгебраическая |
сумма |
токов, |
охватываемых |
контуром, р.е.А полный |
|||||||||||||||
ток. |
Поэтому равенство (59) называется законом полного тока, или |
||||||||||||||||||
законом Эрстеда |
в |
интегральной форме, |
который утверждает, что |
|
|||||||||||||||
циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого
контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим кон-
/
туром.
Заметим, что закон полного тока для стационарного магнитного поля можно записать по аналогии с выражением ( 55 ) для электро
статического поля. Т . к . ф і а і есть электродвижущая сила, rofHdl
1 39
соответственно определяет "магнитодвижущую силу", которая есть не
что иное как ток j .
Закон полного тока (59) доказан для бесконечных прямолиней
ных токов и произвольного контура, лежащего в перпендикулярной к
направлению тока |
плоскости. |
Чтобы |
освободиться |
от |
этого |
ограниче |
|||||
ния, |
запишем закон (59) в дифференциальной |
форме. |
|
|
|||||||
|
Очевидно, |
что полный ток |
j |
|
, |
охватываемый данным-контуром |
|||||
ь , |
равен |
J - |
5 |
1 -чз |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
з |
|
|
|
контур |
ь |
• |
Теперь |
формула |
3 - поверхность, натянутая на |
|
||||||||||
(59) |
может быть записана в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ф H 'df z |
j |
j |
d l . |
|
|
|
|
||
Ъ3
Левую часть этого равенства можно преобразовать согласно теореме
Стокса (п.8). В |
итоге получим: |
|
|
|
|
|
|
|
У (rö tH - J |
) |
dä : о |
|
|
или |
|
з |
|
|
(60) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
r o t Н - |
j |
|
||
|
|
|
|
|
||
в силу произвольности поверхности интегрирования |
з |
.Равенство |
||||
(60X |
есть закон |
Эрстеда в дифференциальной форме, |
который справед |
|||
лив |
для произвольных трков, из этого |
равенства следует, что. гоШ|<0 |
||||
и магнитное поле |
не является потенциальным( если |
"У “ |
о,то магнит |
|||
ное |
поле было бы |
потенциальным). |
|
|
|
|
Закон (60) совместно с уравнением (50) образуют систему уравнений Максвелла для стационарного магнитного поля в дифференци альной форме. Первое из них указывает, что постоянное магнитное поле создается током проводимости, а второе-уназывает на то-., что постоянное магнитное поле не имеет источников поля (магнитных зарядов).
Ю. Уравнение непрерывности. Закон сохранения заряда является од ним из .фундаментальных не только в электродинамике, ноив науке
40
вообще. Уравнение непрерывности представлет собой математическую
'формулировку закона сохранения электрического заряда. Получим его.
Величина заряда, заключенного |
внутри |
объема |
7 , дается |
интегра |
|||
лом |
согласно выражению (10 ) : |
г |
|
|
|
|
|
Если |
величина заряда |
|
ч |
данного объема изменяется, то долж |
|||
q внутри |
|||||||
но иметь место движение зарядов |
через поверхность, ограничиваю- |
||||||
іііую рассматриваемый объем. Количество зарядов, пересекающих эЦ |
|||||||
поверхность в течение |
времени dt, можно определить, зная |
силу тока |
|||||
т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dq - |
I |
dt . |
|
|
|
Сила |
тока определяется |
с помощью выражения |
(54): |
У |
|||
|
|
J = |
S |
T*d3 |
, |
|
|
значит |
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
dq Z |
dt ^ j |
dS , |
|
|
|
s
Эта величина положительна, если ток вытекает ир рассматриваемого объема, и отрицательна, если ток втекает в этот объем. С другой стороны, это втекание или вытекание зарядов должно привести к соответствующему изменению величины заряда dq в объеме. Это изменение равно:
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
dq/dt |
< 0 |
|
в том |
случае, |
когда ток |
вытекает из рассматриваемого |
|
объема |
и |
величина ' d tl > |
о |
• В случае |
увеличения q dq/dt > О |
||
и dtJ |
< о |
, |
' т . е . |
знаки |
меняются на |
обратные. Скорость изменения |
|
заряда, |
находящегося в некотором объеме, равна суммарному току, |
||||||
протекающему |
сквозь |
поверхность, ограничивающую рассматриваемый |
|||||
|
|
|
|
|
|
41 |
|
I