Файл: Кирпатовский, С. И. Периодические процессы в нелинейных цепях учеб. пособие.pdf

-

15 -

ір ( і)

рекомендуется, в

Для аппроксимации обратной еѳ

функции

частности, выражение

фа (i)=Q arvtg (Öl +ссг).

Характеристики нели­

нейных емкостей

U(q.)

подобны характеристикам

і (ц>)

. Поѳтому для

их аппроксимации

применяются аналогичные

выражения, например

В .

Способы вычисления коеффициѳнтов

аппроксимирующих выражений.

Известны следующие способы:

а)

способ

выбранных точек;

ординат);

б)

способ средних значений (средних

в)

способ

наименьших квадратов (способ Г а у сс а ).

О,

а3

Of

п

кВ са((р)

Для определения

коэффициентов аппроксимирующего выражения, именно

,

,

і(<р)

т

п

воспользуемся условием с о в п а д е н и я

т = п

в

точках,

с характеристикой НЗ

число которых берется рав­

ным числу

Lz

коэффициентов

аппроксимирующего выражения, то есть

it г

фі

(f/j

т о ч к и

имеют следующие координаты:

Пусть

эти

в ы б р а н н ы е

I

,

(ftz >

,

, показанные

на рис. 12, а . Тогда, согласно

наложенному условию,

можно написать три уравнения

I, ~a,fi і-аз(рІі +а5(рІ5

,,

tz = a,j)i

+

a3 <pl

+

osf i

линейных относительно неизвестных параметров а,

,

аъ и

а5.

Остальные величины в них

известны и являются числовыми

коэффициен­

тами. Решая систему, легко найти искомые параметры

о, ,

c/j

и

а5

.

расчете

График AB показан на рис.

1 2 ,а пунктиром. В данном

выбор то­

чек совпадения довольно произволен, но подчинен

требованию

н а и

-

л у ч ш е г о

п р и б л и ж е н и я м , ,

(ср)

к

l (c/j)

в о б л а с ­

т и

п р и м е н е н и я

а п п р о к с и м а ц и и

(в рабочей

час­

в)

Способ наименьших

квадратов.

2тот

способ основан на наложении иных условий на AB, в данном

случае

на

іа(ір)

Вместо

т=п

точек

с о в п а д е н и я

на кри­

т >•

вой

выбирают

п

точек

п р и б л и ж е н и я .

Приближение

в

боль­

шем числе точек обычно предпочтительней,

чем совпадение в меньшем чис­

ле

точек ,

что

видно,в частности ,из сравнения рис.

1 2 ,а и 1 2 ,6 .

Пусть

ві„нашем примере

т=

5

точек

(ри с. 12,6) приближения с ко­

ординатами

,

срк(К

= 1 ,

2 , . . .

т е ) . Конечно, аппроксимируемая

кри­

вая

іоОР)

непможет совпадать с действительной характеристикой

с (Ц))

более,

чем в

=

3

точках.

Поэтому в выбранных

п

точках приближения

будут

отклонения (нѳвя8ки):

-

17 -

Если

потребовать

£K‘ ta(p )-4 ^ K )-

то получим

н е с о в ­

<5*.= 0

( К = 1 , 2 ,

. . . , т ) ,

м е с т н у ю

исходную

систему

уравнений [ 6 ] ,

которая не

имеет

т о ч н о г о

решения.

Вводя

&к

Ф

0 , получаем вовыожность п р и ­

б л и ж е н н о г о решения исходной несовместной системы.

В развер­

нутом

виде эту

нѳсовмѳотную систему уравнений можем представить кат:

где

ік = £ (рк)

Оэ(рк+Qs (р>г —I к = &к ,

- значение тока по действительной характеристике в

вестных:

т

=

5 невязок и

п

= 3 коэффициентов AB, Для возможности

решения необходимо составить

еще

п

= 3 уравнения.

Они могут быть по­

лучены за

счет наложения дополнительных характерных для данного спо­

соба

условий.

Наилучшее приближение AB к заданной характеристике

достигается при наложении условия

м и н и м у м а

к в а д р а т а

н е в я з о к

ш

men.

Если у честь ,

]КС £ * =

-1

что

и

£«= і-о(.рн)-ири)

іа(<рк)= La (<pK,a,, а3, а п),

то накладываемое условие можно записать в следующей форме:

т

У ,

\Ca{pKt ol, ... ,a n)-CCpKj\ = S (a l, ..,a c ......

ап)= тіп,

К - !

L

J

5

!

к

S ( d t , <?$, Qj)~ 'У

Г Q l ( р к + О з Срк + Q s ^ k ~ (- л-1 = т п с п }

К=!

L

J

(

£ А ° А % ѵ °

)

-

5

^

•

Способ наименьших квадратов дает лучшее приближение, чем способ

выбранных точек ,, потому что

приближают AB к большему числу точек, и

лучшее приближение, чем способ средних значений, потому

что прибли­

жает AB к реальной кривой бѳв влияния внака нѳвявов и тем самым не

допускает компенсации невязок различных знаков.

Г . Об оценке точности аппроксимации.

Втот третий втап аппроксимации не

может

быть

полно

рассмотрен

грешности. С

этой

целью

следует построить график AB, полученный со ­

гласно

n o s . £

и В ,

рядом

с реальной

(аппроксимируемой) кривой

(р и с.

12 б ) .

Затем ивыерить ревность ординат етих двух графиков в

областях наибольшего их расхождения, что в масштабе графиков даст

значения ряда

наибольших уклонений

- а б с о л ю т н ы х

п о г р ѳ

н о с т ѳ й

аппроксимаций:

По этим значениям легко вычислить

о т н о с и т е л ь н ы е

погрѳш

ностн кая

-

19 -

<£=

iC<f>s) Ш1Н

(ß%-

■too

Аналогично вычисляют

l" °

погрешности,

п р и в е д е н н ы е

f*

L(cp)НОКС

t ((р)ЛЮКС

образом:

і= 0

для

и 4л О

і

=

qu

и > 0 .

Во

всех

для

Ън

много

больше прямо­

случаях, когда

сопротивление нагрузки

го

сопротивления диода

r

, грубость рассмотренной аппроксима­

nf>= —

ции оказывается лишь кажущейся,

поскольку

при указанном

условии

І2*І

»

Ѵпр

, даже многократная

ошибка в величине, допускаемая при

аппроксимации, мало влияет на результат расчета

тока в

н а г р у з ­

к е

и напряжения на

ней. В положительный

полупѳриод для

цепи сохра­