Файл: Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf

[приведение подобных

одночленов.

Второй

пример:

ассоциативность

и

дистрибутивность

коммутатипость

умножения

теорема

5

замена

сложения

дичитанием

теорема

б

ассоциативность

для

выражения

в первых квадратных скобках и дистрибутивность - для вторых,

квадратных

скобок.

5.

Другие способы разложения на множители.

I )

Разбиение слагаемого.

Некоторые многочлены, не разлагающиеся на множители выше опи­

санными способами, могут быт., разложены, на множители

с помощью

такой прием «еобходим уже тогда,

когда

приходится

доказывать тож­

дественность равенства Ciz-t2cib +

futВ)г

без

предварительно^

г© доказательства теоремы 5: fatèji-u!tt2ciêt

Действительно,

разложение

слагаемого

в тождественную

ему

сумму

С ассоциативность сложения)

коммутативность

умножения

-

44

-

ассоциативность

сложения

левый дистрибутивный

закон

правый

диотрибутивный

закон

теореыа

I

Аналогично

поступают во многих других случаях. Вот

примеры:

С

с *+ Пс

1-32 = с *+(?+ч)с +3Z

разбиение числа

12

на

слагае­

мые

дистрибутивность

и

ассоциа-

_явность

коммутативность

умножения,

дистргбутивный

закон

(дважды)

дистрибутивный

закон.

Оба множителя-лине Иные двучлены,

разложение

на

множители

выполнено,

. 2 ) д ' ^ г л Ѵ я Ѵ ^ + У - х Ч г & х ^ + І х і - і .

замена

слагаемого

суммой

двух одночленов

(гссоциа-

тивный

закон)

ассоциативность

сложения

= х*(хг+2х

+ 1) +

(хх+2хН}*

дистрибутивный

закон

правый дистрибутивный

закон

=

(ххЧ)(хЧ]Л.

теорема

5.

* z W H xti

-

неприводййые

многочлены, разложение

на

множите­

ли

выполнено.

2) Введение

вспомогательных

слагаемых.

Введение в

многочлен

суммы двух противоположных

одночленов

позволяет иногда разложить многочлен на множители. Так над полем

Действительных

чисел можно разложить

на множители

двучлен

иѵл^£*?

где

л É И

:

в

аксиома

б и

определение

суммы двух

противоположных

одночленов.

теорема

5 и

ассоциативность

сложения

фіа+

è^fla'êif^è^-fZa'ê*].

|теорема

б.

Двучлен aV r t + 4'é Ѵ л можно разложить

на множители

и над

полем

рациональных чисел

аксиома

6

и определение

суммы двух

противополож­

ных одночленов

ассоциативность

сложения

и теорема

5

теорема

б.

Пример*.

ассоциативности сложения

теорема

5

= (хгг2

+

2х){хг+Я-2х).

теорема

6;

1)

вынести ofчай множитель за скобки,

если таковой

имеется}

2)

применить одну нэ рассмотренных формул, если возможно;

'а)

если применить формута не удается,

то проверить

возможность

множителя за скобки, ия* изученные

формулы;

5) выполнить дополнительные

преобразования, способствующие раз­

ложению многочленов на множители (

разбиение

слагаемого,введение

вспомогательны): слагаемых и д р . )

и

приводящие

к одному из преды­

дущих пунктов.

46

-

Глава

П. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

§ I . Поло рациональных дробей.

Определение

I .

Рациональной дробью ( или дробно-рациональной

функцией)

называется алгебраическое

выражение вида

. ^ х -

,

Q(x)

где

Ь'(х)

и Q(x-)

многочлены

одного

переменного,

причем

Q(x)t0,

Поскольку всякое целое рациональное выражение можно тождест­

венно

преобразовать

в многочлен,

то

понятие

"рациональная

дробь"

распространяется и на частное двух любых целых выражений,

лишь бы

соблюдались условия, наложенные на знаменатель.

Далее

будут рассматриваться

рациональные дроои, числители

и знаме­

натели

которых

есть

многочлены.

0/х)

Ф fr)

Определение

2.

Две рациональные

дроби

назы-

-î— и

îllsz.

Q(X)

Qf(Xj •

ваютоя равными, если выполняется равенство

9(х) • Qfx)*. Q(x)- <%(х)

Теорема.

,

Ш*0.

к

Q(X)

Q(x)Afx)

)

ш

J

Для доказааельства достаточно проворит*, справедливость равенства

Wx) [О(х) hM]

х

ОМ[?(х) &/*)] Д е Яствительно,

ассоциативность

умножения в

і.эльцѳ многочленов

коммутативность

умножетия в

кольце многочленов

- Q[x)l$rx)№)].

ассоциативность

умножения в-

кольце многочленов.

Теорема доказана.

I

Операции сложения и умножения вводятся по определению:

Q(x)

QMQiCx)

2)

Oï*l

?i(*J

• O(x) Q<(x)

•

Q,(x)~

ЗЙК ^(Х)І-РІ(Х)

Частный случай

сложения:

Ю. *

Qfx)

Qtxj-

ç>/xj

•

по определению

~ & (*)(?{*)

коммутативность

уыгожения

в кольце

многочленов

коммутативность

сложения в

кольце

многочленов

Гу(х)

M l

0<Х)9>ІМ

.<*AJ

определение

\Щ*

Qjvf

Q(x)G>if*J

®*{x)~

сложения

определение

сложения

-

W * ) O i t v j t

(?(*)№'(*)QtM+

Q,MW*l_

дистрибутивность

и

ассоциативность

в

кольце много­

членов

9(x) Q1 (*) Qx (x)+Q(x)%(x) Q/*)+ Q(*)Q,№ M

ассоциативность

умножения и дис­

трибутивность в

кольце многочле­

нов

определение

сло­

жения

9(*J

_ _

определение

сло­

~-

Q(*)

[<?,(*) '

(?/*)].

жения

8)

Коммутативность умнож'чия рациональных

дробей

определение умножения

коммутативность в кольце

многочпноз

определение умножения

ч)

Ассоциативность

умножения рацконельннх

дробей;