Файл: Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf

-

34

Эти формулы будут использованы в следующей параграфе для

разложения

многочленов

на множители.

Теоремы

5-8

справедливы и

при

условии,

что Л и 6 -

многочле-.

ны или

другие

алгебраические

выражения.

§ б.

Разложение многочленов

на множители^

I .

Общие

положения.

Из

заголовка этого

параграфа

ясно, что

речь пойдет

о преоб­

нов ( или одночлена и многочленов). Поэтому разложение

многочленов

на множители можно считать преобразованием,

обратным

раскрытию

окобок в произведении одночлена и многочлена,

двух и более много­

членов.

Определение.

Многочлен, который

не

может быть

представлен

в

виде произведения

двух

многочленов

иди

одночлена,

содержащего

хо ­

тя бы одно переменное,

и многочлена

,

называется

неприводимым,

или неразложимым на множители, многочленом,* -*

Таких многочленов

бесконечно много. Всякий линейный многочлен

от одного переменного

неприводим. Таковы многочлены

X*Z,

Зх-6

и^ др . конечно, двучлен \3я - 6 можно представить в

виде пронэведе-

ния I

Зх-&'

3fx

- Z)-* Z > ( - j X - s j - • •

• •

но при этом

выносится

за скобки

постоянный мнокитель. Поэтому

согласно сфор­

мулированному выше

определению

Зх-

6

-неприводимый

многочлен.

Если многочлен является линейным по совокузности

переменных ( т . е .

каждый его одночлен - линейная

функция

одного

из переменных),

то

он токе неприводиы. Например,

3c^rZ t

У£>-*С _ неприводимые

многочлены.

Что касается

многочленов,

содержащих

нелинейные

одно

члены ( одночлены от нескольких

переменных

или одночлены,

в ко ­

торые

переменное

входит в

степени

выше первой), то гэпроо о их иди

водимости

или неприводимости

решается

значительно

труднее. Сущест

венную роль

при этом

играет

выбор

числового множества,

из которо

го берутся

коэффициенты

многочлена. Так многочлен

X^-Z

будеі

неприводим,

если

поставить условие,

что коэффишенть. многочленов-

множителей должны

быть.обязательно

рациональными

(говорят, что

этот

м:*>гочлен

неприводим

над полем рациональных

чисел). Если же

допустить

выбор

коэффициентов из псля действительных

чисел, то

разложение

на линейные множители возможно: хг

Я ~(х

*/Ijfx-{£).

Многочлен

ê" непризодим над полем действительных

чисел, но

допускает

разложение

на множители

над полем

комплексных

чисел.

Далее

многочлены

будут рассматриваться

над полем

действитель­

ных чисел.

Итак,

разложением многочлена

на множители

называется

пред­

ставление его в виде

произведения

неприводимых

многочленов.

Конечно,

общая

теория

разложения

многочленов на множители

недо

ступна для учеников школ,

тем более,

для учеников

восьмилетней

ыколы. Но в некоторых простых

случаях

они вполне

справятся

с р а з ­

ложением многочлена

на множители. Именно эти простые

случаи и

будут

рассмотрены

далее.

житель, содержащий переменное. Пусть

a. è с

X - какие-то одночлены,

содержащие

переменное. Тогда

многоѵлен

aß * ас -г их

можно

прообразовать E произведение

одночлена

и многочлена

следующим

образом:

оЛ+аг

у ах - afßtc

+xj

-

ча основании дистрибутив­

ности.

В некоторых случаях прежде надо

так преобразовать

многочлен,

чтобы возможно было применить дистрибутивный закон или свойство

дистрибутивности умножения по отношению к сложению.

aêt Ca +ах = сс$>+а,е+их^коммутативность

умножения

дистрибутивность

умножения

по отношению

к

сложению.

или aê+cu

+ая - Sa *ta txa=коммутативность

умножения С применена

дважды)

^fêrCtxJa

•

[дистрибутивность,

Во всех рассмотренных случаях

удалось

представить многочлен в вг"е

Если многочлен

ß>tt+x

непривсдии,

то разложение на множители

выполнено. В противном случае

нужно искать способы представить «тот

многочлен в виде произведения непризодиыых многочленов.

Легко видеть

что это преобразование

обратно преобразовашю

раскрытия скобок в произведении одночлена и многочлена: оно

выполняется в

обратном порядке.

'

Примеры:

*

I )

Пусть

дсі^х

'

Zasx'-a.i

-

многочлен переменных

СС % X

*>,,1т.

а } : -,

*ил

у ? , > , , • ) ,

ѵ ,

у

„ | определение степени

с нату-

Эи-л f

кил

-хщх^ахл

' ^ | р а л ъ и

ы и

показателен

37 -

= Залх

+2хах

+ /• ах. -

гоммутстивность умножения

дистрибутивность.

Многочлен

+ і

линеен

относительно

яходящи;: в него

перемен­

ных,

значит

неприводим. Разложение

на множители

выполнено.

2) %5ху-0,Н'хх#1-

хугі

хуР *qtf-Wty-О,tS-xx-yy.

- (Ц5хууЪц25-

9ф/>=

определение

степени

о натуральным

показателим и умножение

рацио­

нальных

чисел.

коммутативность умножения

дистрибутивность,

Многочлен в

окобках

соотавлѳн из членов,

не имеющих общего

множи­

теля,

другими

способами его представить

в виде

произведения нг

удается. Разложение на множители выполнено.

Если задано

целое

алгебраическое

выражение,

представляющее

из себя

сумму

произведений

одночленов и многочленов ( или нао­

борот,

многочленов

и одночленов),

а

многочленный множитель

в каж­

дом слагаемом

один и тот же, то его на основании акоиомы

дистри­

бутивности также можно вынеоти за

скобки. Иными словами,

рассуж­

дения,

проведенные

при вынесении за

скобки

одночленного множи­

теля,

справедливы и в том случав,

хогда общий множитель-многочлен.

Более

того,

эти раооуждвния

справедливы

и в

случае, если

не

толь­

ко й,

,

но

и 6 ,

о,

*

-

многочлены.Все

рассуждения

пов­

торяются.

Примеры:

по дистрибутивности ум­

ножения по отношению к

сложению

коммутативность

f((*+fy-yt(2b-U+c)+M(e-*)]-

умножения

дистрибутивность

« (а**В%л-*+ U

-38+с -с ta.) -

вторые

скобки раскрыты

по ассоциативности

сложения,

третьи

- на основании дистрибутивности"