Файл: Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 102
Скачиваний: 0
- 29 -
преобразование полученного иногочлена объясняется следующим об
разом: = 5а*а* 2-5а*ае - 5-$аа,&*-а-$(^*1.(.ч)я.Ч-1-*(-ч)а.лее-
|
|
|
|
|
|
|
|
іпряыенегга |
коммутативность |
умножения |
|||||
-jS-(-4)]a№ |
|
ß/'ß/'^/J/f |
|
|
|
(ассоциативность умножения |
|
|
|||||||
~М+7№Ч'-КьЧЧЫ*-Ш |
|
|
|
'рациональных |
умножения |
||||||||||
|
|
' |
|
|
1 |
|
|
|
чисел |
и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теооема |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коммутативность |
сложения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
li- ассоциативность |
сложения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дистрибутивность |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определение |
сложения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рациональных |
чисел |
|
||||
|
4. Раскрытие |
скобок |
с применением |
формул. |
|
|
|
|
|
||||||
|
В некоторых частных |
случаях, когда множители |
в |
произведении |
|||||||||||
многочленов |
или равны,.или |
обладают некоторыми другими |
особен |
||||||||||||
ностями |
(например, |
один из |
множителей |
есть |
сумма, |
а другой |
- |
||||||||
разность |
одних |
и тех же одночленов) удобнее |
воспользоваться |
спе |
|||||||||||
циальными формулами для сокращения выкладок. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Л |
Пусть |
л- |
и |
ê какие-то одночлены. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема 5. |
(О квадрате |
двучлена) |
(a+ê) г*аг'+ |
|
2а4+е1 |
|
|||||||||
|
Словесная |
формулировка: |
квадрат |
двучлена равен |
сумме |
квад |
|||||||||
рата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагае мого на второе и квадрата второго слагаемого.
Доказательство.
по определению степени с натуральным показателем
• асиает êa. г @£ = |
|теорема 4 |
- |
30 - |
|
|
теорема I |
|
|
коммутативность |
умножения |
* а,**{а$+аЛ)+$іш |
ассоциативность |
сложения |
|
приведение |
подобных |
членов. |
Теорема |
доказана. |
|
|
Далее раокрывать скобки в квадрате |
суммы двух слагаемых (в |
||
рассмотренном |
олучае - двух одночленов) |
полезно |
о помочью стой |
теоремы. |
|
|
|
|
|
Следствия: |
|
|
|
|
|
1) fa-W-Cat/'iJ']' |
• |
замена |
вычитания |
сложением |
|
••:а*+*я{-і) |
|
теорема |
5 |
|
|
|
|
коммутативнооть |
умножения. . |
||
|
|
определение |
произведения двух |
||
|
|
рациональных |
чисел; |
||
2)(-я**)*-**-******-
Следствия 2 и 3 предлагаются читателю для самостоятельного доказательства.
Нет необходимости запоминать все 4 формулы, полученные при
доказательстве теоремы 5 и ее следствий. Достаточно знать лишь первую Формулу (теорему 5), т.к; в трех других случаях знак (-) может быть отнеоен к одночлену, что и было сделано гри доказа тельстве следствия X, В практических применениях теорѳмь 5 одно члены д и і мсч ут, иметь как подовительные, так и отрицательныв коэффициенты.
Примеры:
I ) А«£*У; е*О.Чх*у |
|
^%У + 0,Чх'#)1*(іхУ)І2ІхУ*<*х#> |
!«opeua 5 |
-SI -
-^-%\6+01х*1/+1Р4ех6у* (приведение одночлена к каноническому
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема |
3 |
|
1° |
е> |
|
|
ППЯЛЙПЯШ |
одночлена к каноническому |
|||
|
|
|
|
|
приведение |
||||
|
|
|
|
|
виду. |
|
|
|
|
|
В качестве упражнении читатель может рассмотреть другие |
|
|||||||
случаи знаков у коэффициентов одночленов; |
|
|
|
||||||
К |
Теорема |
б. |
(a,+$)(a-èj-Cl1- |
êx |
|
|
|
|
|
Словесно: |
произведение сумхга и разности |
двух |
одночленов равно |
||||||
разности их |
квадратов. |
|
|
|
|
|
|||
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|||
(a+ê)(a-ê}*a л |
-aêtêa.têf-ë)- теорема |
4 |
|
|
|
||||
= аа -aé *-аЗ- êê ' |
коммутативноотз |
умножения |
|
||||||
-aay-aSt-ct,SJ-êê'. |
ассоциативность |
сложения |
|
||||||
- аа * о - êê ' |
|
определение |
суммы двух |
|
|||||
|
противоположных |
выражении |
|
||||||
- |
act |
- Sê* |
|
|
аксиома |
6 |
|
|
|
* аг~ |
ег |
|
|
теорема |
I . |
|
|
|
|
|
Следствие: |
|
|
|
|
|
|
||
(а-вІ(сс+е)*{сц.е)(а-е^ аг- Іг |
коммутативность |
умножения |
|
||||||
|
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
||
|
fßp *+ 1к *)(бр |
U У*ГрШ |
теорема |
б |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
теорема |
8; |
|
|
|
?) a » - 6 p z , / е * 1 к * . |
|
|
|
|
|
||||
теорема 6 теорема 3,
|
|
|
|
|
- |
82 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорему б можно |
назвать теоремой о разности квадратов. |
|
|
1 |
|||||||||||
|
Теоремы |
5 и |
б |
очень |
часто |
применяются |
в расчетах, |
например, |
|||||||
в связи с применением теоремы |
Пифагора. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
I |
Теорема |
7. |
|
( |
О xyde |
двучлена) (са-в^а1* Зл*е+ ЗаЛ \ |
ê\ |
||||||||
Иначе: куб двучлена оавѳн сумме куба первого слагаемого, |
утроен |
||||||||||||||
ного |
произведения |
квадрата |
первого |
и второго слагаемых, |
утроенного |
||||||||||
произведения первого и квадрата второго слагаемых, куба второго |
|||||||||||||||
слагаемого. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема |
^ |
|
|
|
|
• » ab'-гSaaéaé^a*'*Ш*+ |
|
S*- |
|
коммутативность |
умножения |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коммутативность |
сложения |
||||
= a |
(ta *ë+dSJifaé \ |
Xa*y + |
|
ассоциативность |
сложения |
||||||||||
*а*+ ЗаЧгЗаЛг+Р- |
|
|
|
|
приведение |
подобных членов. |
|||||||||
|
Эта теорема |
имеет следствия, аналогичные следствиям |
теоремы 5. |
||||||||||||
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
(Р,*Сг-йЭеУ* |
(О, «cfi-3-/№*J |
• l'W) |
|
|
|
Û3e*J*r |
||||||||
|
+[-0,ЗеУ3* |
|
|
|
|
|
|
|
|теорема |
7 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I теорема |
S |
|
|
|
|
|
-- 0,064с'-QiWc |
|
|
|
|
|
(приведение |
одночленов к |
||||||||
|
е + ОутсѴ-ѴоЩ^ычъющ |
|
виду |
7 |
|||||||||||
II |
Теорема |
8. |
/ |
а + ê)(a *-а£+ ê *JciJV |
83 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(ccrêlfa ~- аЛ с ëlJ |
» а а \ |
ScÔtaf-a 6Jr |
теорема |
4 |
|
|
|
|
|||||||
= ctaJ!tuië |
+ {-ikitxë+(-i)aêê<• a6ut |
ßß |
коммутативность |
умножения |
|||||||||||
- a3 |
ha *f V - f)a H |
/- *Ш ** ta |
*+éJ- |
теорома |
I |
|
|
|
|
||||||
*83 •*
» в. *+(azê-аЧ/+(*ai*+ |
(têlJ + ê |
Следствие! (a-êj(a*+aê+ |
a*- |
ассоциативность оложения определение оуммы двух
|
ваме.іа вычитения |
сложением |
|
|
теорема в |
|
|
|
теорема |
I |
|
- a3- é3. |
іамѳна |
сложения |
вычитанием |
|
ПримерГ"/"^-ЗіХѢ*' |
|
Ш+9ІІф+(-М)Ж2а)-Ы'3е^{'3Ѵг1'-' |
||||||||
|
Te oj ем g 5 - 8 |
сокращают |
время, затрачиваемое на преобразова |
||||||||
ния произведения многочленов |
в рассмотренных |
частных случаях» |
|||||||||
Именно |
повтому их полезно |
запомнить. Но чтобы |
пользоваться |
этими |
|||||||
форму**мщ безошибочно, нужно провергть, можно ли применять |
какуг- |
||||||||||
либо ив атих |
формул, |
говоря |
иными словами, нужно воегда уотанав- |
||||||||
ливать, |
соответствует |
ли |
заданное для преобразования алгебраи- |
||||||||
чеокоТвыраженив~хако8~нибудь |
ив доказанных |
выше формул,1 Осо |
|||||||||
бенно |
важно вто для теоремы 8. |
Воегда надо |
проверять, будет ли |
||||||||
второй множитель ( |
трехчлен) |
иметь именно тот вид, который он имеет |
|||||||||
в |
формуле |
теоремы 6. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Воли |
воспользоваться |
свойством симметричности равенств |
|
|||||||
( |
если |
Äsf)t |
т о Ь~'/\ .аксиома |
10), то теоремы |
5-8 можно записатй |
||||||
еще в таком |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
u'-Sa'St 3a£ltP ={a-8Ja,