Файл: Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf

коммутативность

сложения

» (&*•'+iyf Va4g)*

приведение подобных

одночленов

дистрибутивность

и

коммутатив­

ность умножения.

В п.4 §

5 доказаны теоремы,

пользуясь

которыми,можно

быстрее

р а з ­

лагать на множители разность квадратов,сумму

кубов, многочлены вида

&*'І- faê'в*

и

Эг^е+Зае** і 3

.Следует

заметить,

что наиболее

"потребителъны формулы для разности квадратов

и

трехчленов.

I ) Разложение двучленов по формулам.

Двучлены, одночлены которых не имеют общих множителей, допус­

кают разложение на множители, если они имеют вид

разности

квадра­

тов или

суммы кубов. Как

уже

говорилось,

сумма

квадратов

( над полем действительных'чисел)

на множители

не .разлагается

^

Примеры

теорема

6

и

симметричность

равенства

теорема

б

и

симметричность

равенства

_

теорема

8

теорема

8

и

симметричность

равенства

дважды

применена теорема В

с.помощью теоремы Безу

устанавливается,

что

«ад полем дейсим -

тельных

чисел, ал*€л

при чэтном

показателе

я нельзя

оеэложжть

на множители, один'на которых вбтъа'£ } лрн нечетном пзжаазд»-

ле л

-

можно; а л-£

всегда разлагается

на

множители,

ОДЙЖ

жя

которых

есть

а S .

2) Разложение трехчленов по формулам.

Из трехчленог

по формулам можно разложить на множители

лишь

полные квадраты,

т . е . трехчлены вида ttx+ 2a-è+ ег

,где

а- и S

теоремы

5:

Пример:

qûSf'-ity1***'''*6-

*(43р'МйзрУГ-л*0

+ Н*Ул-

I

и к о м м у т а т и в н о с т ь

= (О,Зрл-£<У*

(теорема 5,

замена

вычитания сложением.

Если слагаемые заданного трехчлена расположены в другом поряд­

ке, чем

это требуется в формуле,

нужно,

пользуясь

комыутатив

-

ностью

сложения,

расположить слагаемые

ь требуемом

порядке.

В приведенном выше примере второе слагаемое в

трехчлене

имеет

Это вполне допустимо,

т . к . одночлены ( СХ- и

S )

могут

иметь,

вообще

говоря, как

положительные, так и отрицательные коэффициенты.

8)

Разложение

четырех члена

по формуле.

К разложению

на

множители

четырех членов -

полных

кубов

-

применяется теорема

7:

а

данном

четырехчлене

выделить

такие

два одночлена, чтобы

после Ш5Д=

Етановки их вместо

а-

и è

в формулу теоремы 7 левая часть запи­

салась

именно в таком

виде,

как это

задано в теореме 7.

Так,

многочлен

X3-

3%у

t іху^^гдовлетворяет

теореме

7, если считать

а*Х

,

ê = -y

І

Многочлен

же х

Зх^-Зху*"-у*

теореме

7 не

удовлетворяет (

если а*х , в*-у

, то

Злгё*-3х*у

,

в за ­

данном же

многочлене

это слагаемое имеет

вид Зхд

;

при этом жѳ

значении

è

третье

слагаемое должно иметь

вид

Зхул

,

а не

- 3xyz

» как это задано

в условии). Никакая

перестановка

слага­

емых и множителей ( на основании коммутативности)

не приводит за ­

данный многочлен к форме,

запиоанной в теорема

7. Применить эту

теорему

к разложение

на множители

заданного

многочлена

нельзя.

Ниже

приводится пример разложения

на множители

о помощью

теоре­

мы 1і

Коммутативнооть

сложения

=(Zf>f-bbf-*.* 0,54^+(-0,2*)

-

теорема

3

-*(2ff+3(2ifi-o^hî

МФЛ)

Ч'С~Ч

К

коммутативность

умножения

и

теорема 3

теорема

7

замена

сложения

вычитанием

Замечания,

выоказанные в этом

пункте,

полностью

отноятоя х

предыдущим

пунктам этого

параграфа. Но применение

теоремы 7 ж

разложению

на множители более

затруднительно,

чем теорем

5,6,8.

Поэтому

при разложении

многочленов

на.множители о помощью теоремы

7 следует соблюдать особую осторожность, иначе могут появитьоя

ошибки, преобразование может быть выполнено неверно.

Некоторые м-.огочлены допускают

применение

теорем

5-8

р а з л о ­

жению их на множители

лишь после вынесения за

скобки

общего мно-

жителя:'

коммутативность

умно­

жения и теорема

I

|дистрибутивны*

зеков

I дважды

использована, теорем* 8

= 5&ег[Яа? + (-ЩР&г)г-

2а (-3ê)

теорема о суше кубов (8)

. ÇoJt)*(2c£-tâ)l{Zaij*'- 2&(~3ê)t(-$&)*']~

(замена

вычитания

сложением

теоре,.;а

3 (

приме не ьа

дважды)

и прч

ведение

одно'йена к каноническому

виду.

ность сложения,разделить многочлен на группы слагаемых,

которые

имеют общие множители, причем

такие,

что после

вынесения

за

скоб­

ка общих мпожителзй в каждой

группе

слагаемых

оказывается многс-

члѳнный множитель, общий для

всех групп. Таким

образом,

новый

способ разложения на множители заключается"в группировке

слагав-»

мых заданного многочлена С применением коммутативного закона

сло­

общий многочленный

множитель в полученных группах.

Пусть Ajß.e.p

- одночлена. Тогда aè+ac

tpê+pt

„многочлен.

aßtct-c+pe tpt

=(a6tac)+(pê>t-pc) •

ассоциативность сложения

дважды

применена

= (a+p}(ê+C):

дистрибутивность

Iди стрибутй вно сть

Если многочлены

dtp

и ê+C'

непривэдимы,

то разложение за ­

данного многочлена на множители выполнено.

В рассмотренном случае одночлены,

имеющие

общий мнояитель,