Файл: Ильинский, Д. Я. Обоснование решений при проектировании и эксплуатации машин и линий легкой промышленности учебное пособие.pdf

равным

где а п b — коэффициенты трехчлена у = ах2 + Ьх + с.

Оптимальное решение определяется координатами точки Мх, в которой линия CD касается той из семейства парабол, которая соот­ ветствует искомому минимальному значению целевой функции. Найдем координаты точки М\.

Рис. 10. Схема для нахождения оптимальных режимов работы рабо­ чих органов машин

Из уравнения линии CD (см. выражение I), записанной в виде

получаем угол наклона линии CD, являющейся касательной к па­ раболе

х2 = х\ — 2хг — F .

Всоответствии с выражениями (VIII) и (IX) имеем:

откуда Я]'=0,66, а из уравнения (I) :лс2—1,55.

38

В точке М, (0,66; 1,55) целевая функция составляет:

F = 2 - 0 ,6 6 - 0,662 + 1 >55 = 2>44 = ^ ш(п.

Если условия задачи изменяются и принимаются иныеогранииония, вытекающие из условий надежной работы (величина пара­ метра потока отказов прямо пропорциональна квадрату скорости),.

то область допустимых значений искомых переменных х\ и х2 изо­ бразится в виде многоугольника ABEF (см. рис. 10).

Оптимальное решение, соответствует точке М2. В этой точке касательная к кривой BE, имеющей уравнение

2 * 2 + 3*2 = 6 ,

совпадает с касательной к тому семейству парабол, которое соот­ ветствует искомому минимальному значению целевой функции. Кроме того, точка М2 является общей для кривой

2 А. 2 —|—3*2 = 6

и для указанной параболы. Найдем координаты точки М2. Приравняем производные от уравнения (К), дифференцируе­

мого как неявная функция, и от целевой функции (IX).

- £2 = 2‘ х 1- 2 . (X)

Оптимальные значения переменных находятся из решения сис­

откуда *1=0,80; *2=1,26. В точке М2 (0,80; 1,26) целевая функция:

составляет

Е = 2 • 0,80—0,802 + 1,26=2,22=Fmln.

З а д а ч а 2 (метод поочередного изменения величины управ­ ляющих переменных или метод Гуасса-Зайделя). Определить оп­ тимальные (по критерию приведенных затрат) величины внутрен­ него диаметра D и толщины !г теплоизоляции трубы водопровода для подачи горячей воды.

Целевая функция имеет вид

F = — + 6ln[(D + h)jD]-1+ cD + dli

Z55

(первое слагаемое определяет стоимость энергии, необходимой для прокачки воды; второе—стоимость потерь тепла в трубопро­ воде; третье — стоимость труб; четвертое — стоимость теплоизо­ ляции) .

Параметры задачи: а=10,0; 6=1,0; с=0,5; d=l,0.

39

Таблица II

40

Результаты вычислений сведены в табл. II, из которой видно,: что1оптимальными значениями управляющих переменных будут Д)=1,85 см и Ло|=1,37 см (б — шаг изменения управляющей пере-, менной).

Принцип поиска состоит в «нащупывании» зоны оптимума (гари движении большими шагами) с последующим сужением зоны по:, иска п прохождением ее все более,.малыми шагами.

Стрелки вверх соответствуют возвра/ту в исходную (для каж­ дого цикла поиска) точку, чтобы начать из нее движение в ту же сторону более, мелкими шагами .или в противоположную сторону тем же шагом. Стрелки вниз соответствуют возврату в точку, «по-: дозреваемую» на близость к экстремуму, чтобы начать из нее дви­

Н. Н. Кулаковым и А. О. Загоруйко).

Выбрать способ повышения надежности (вероятности безотказ­ ной1 работы Р) системы, состоящей из четырех различных типов1 элементов, каждый из которых может быть заменен любым из трёх варйантов элементов того же назначения, но обладающих большей

Всего для повышения надежности выделено три единицы сто­ имости. В табл. 12 приведены показатели надежности всех трех вариантов каждого типа элементов. Например, если затратить одну единицу стоимости, то можно заменить любой из четырех

или.Ч. Исходя из того, что замена каждого элемента должна обес: печявать наибольшую надежность системы (исходя из очевидного стремления получить за одну и ту же единицу стоимости наиболь­ шийэффект) делается вывод о замене того или иного элемента. Такая же процедура осуществляется при распределении всех пос­ ледующих (второй н третьей) • единиц стоимости. Расчеты сведены.

41

в табл. 13, в которой обведены клетки, соответствующие элемен­ там, за счет которых решено повысить надежность системы при рас­ пределении каждой единицы стоимости.

Из данных табл. 13 видно, что следует затратить две единицы стоимости на повышение надежности элемента 3 (с 0,860 до 0,930) и одну единицу стоимости — на повышение надежности элемента

1(с 0,910 до 0,920).

Оптимальное распределение трех единиц стоимости обеспечи­

вает максимальную надежность системы Р=0,708.

Такие задачи являются типичными для оценки эффективности вложения определенного количества средств по различным нап­ равилеииям.

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Динамическое программирование, возникшее в конце 50-х го­ дов, является одним из наиболее перспективных и универсальных численных методов. Достоинства этого метода:

не накладывает ограничений на целевую функцию в омысле линейности, непрерывности, существования производных, выпук­ лости (каждая дуга кривой должна лежать не ниже своей хорды) и др.;

позволяет учитывать почти любые ограничения, накладывае­ мые на входные и выходные переменные;

устойчив к размерности задач, характеризующей общие объе­ мы исходной и получаемой информации;

дает возможность находить абсолютные (глобальные), а не локальные (местные) экстремумы;

относительно легко реализуется на ЭВМ.

В основе динампчеокого программирования лежит принцип оптимальности, сформулированный Р. Веллманом: «...каковы бы ни были первоначальное состояние и первоначальное решение, пос­ ледующее решение должно определять оптимальную стратегию относительно состояния, полученного в результате первоначаль­ ного решения».

Расомотрим решение элементарных задач методом динамичес­ кого программирования.

З а д а ч а 1, о. В условиях агрегатного машиностроения для конструктивной реализации каждого схемного решения машины обычно должно быть использовано несколько видов типовых агре­ гатных функциональных элементов (каждый вид предназначен для выполнения той или иной функции: рабочих операций, опера­ ций транспортирования и др.). Дано, что всего должно быть ис­

42

Дано, что для каждого из трех видов функциональных элемен­ тов А, Б и В может быть использовано: для А — четыре типа (А1,

ную стоимость С функциональных элементов машины-автомата, которой должна быть прямо пропорциональна стоимость машиныавтомата.

Для современного производства важно, чтобы при заданном темпе работы или скорости машины обеспечивалась заданная надежность ее.

Стоимость j-го типа i-ro вида функционального элемента, за­

теля надежности P>j при соответствующем режиме работы. Стоимость в условных единицах и надежность (вероятность без­

Примечание. В каждой клетке из нижнем строке целые числа указывают стоимость (в ус­ ловных единицах), дроби — вероятность безотказной работы.

Необходимо «айти такое сочетание типов всех функциональных элементов, используемых для конструктивной реализации функ­ циональной схемы машины, чтобы обеспечивалась надежность ее не ниже заданной Р *, т. е. Р>/Р *, а стоимость машины

с - 1 с „

/=,1

была бы наименьшей.

В данной задаче Р*=0,70.

Вероятность безотказной работы машины

Р = Р 1Х Р * Х ■ • • X P „ j = n P u .

/=1

44