Файл: Зенова, Е. Ф. Статика учебное пособие.pdf

Условия равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, закрепленному в одной точке

Система сил (Fь F2, . . . , F n) приложена к твердому телу, закрепленному в точке О, например, с помощью сферического шарнира (рис. 39). Определим условия, которым должна удовлетворять эта система сил, чтобы твердое тело, могущее при данном закреплении поворачиваться около точки О, оставалось неподвижным.

Так как тело закреплено в точке О, го, кроме указанных сил Fj_(j—-1, 2, ...,/г), к нему будет приложена сила реак­

ции Ro, величина и направ­ ление которой неизвестны.

Поскольку сила R0 имеет на­ чало в точке О, то ее момент относительно этой_ точки бу­

дет равен нулю {M0(Ro) =0). Векторные условия равнове­ сия системы сил для данного случая будут

Fо — 2 (Fj)o-\-Ro = 0;

Первое из написанных_векторных уравнений, содержит неиз­

вестную силу реакции Ro и служит для определения ее вели­ чины и направления. Действительно, если мы спроектируем

— > — ►

это уравнение на оси координат Ox, Оу, Oz, то получим

2 FjX-\-Rox — Q',

Второе уравнение, не содержащее силы реакции, пред­ ставляет условие,_ которому должна удовлетворять система

в одной точке, то для равновесия ее необходимо, чтобы глав­ ный момент этой системы сил относительно неподвижной

точки равнялся нулю, т. е. L0—0.

Отсюда аналитическими условиями равновесия рассмат­ риваемой системы сил являются три следующих уравнения:

Ё M0x(Fj) =0; Ё AI0v(Fj) =0; Е M0;(Fj) =0.

J- 1 ' /=1

Условия равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, закрепленному в двух точках

Пусть система сил (Fь F2, . . . , F п) приложена к твердому телу, закрепленному в точках А и В. Тогда, кроме указанных

сил, ь^телу_будут приложены силы реакций закрепленных

точек Ra и RB, величины и направления которых неизвестны

(рис. 40, а).

Систему координат Oxyz проведем так. чтобы начало

координат О совпало с точкой А, а ось Оу прошла через закрепленные точки А и_В._Векторные условия равновесия

системы сил (F,, F2,...,F „ ; R,{ Rn) запишутся в виде:

F q = S ( F j ) о + R . \ + { R в) п — 0;

1

Zo = S M0(Fj) + M 0 { R b ) = 0 ; [ М о ( ^ а ) = 0 ] .

52

Проектируя эти равенства на оси Ох, Оу и Oz, получаем

вестных сил реакций и потому представляет условие, необ­ ходимое для равновесия системы сил, приложенных к твер­ дому телу, закрепленному в двух точках (в данном случае

расположенных на оси Оу)

П

?,Moy(F})=0 или Ь0у= 0. /-1

Для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, закрепленному в двух точках, необходимо, чтобы сумма моментов всех сил относительно оси, проходящей через эти точки, равнялась нулю. Пять оставшихся равенств позволят

определить силы реакции Ra и /?«, но не полностью, ибо, если тело жестко закреплено в указанных точках, то в этих

уравнений меньше числа неизвестных). Из написанных урав­ нений можно определить RAx, Raz, Rbx, R bz и сумму

(Raii + Rbii) •

Для того чтобы задача стала статически определенной, необходимо выбрать закрепления твердого тела в точках А и В. Практически в точке А устанавливают опорный под­ пятник (сферический шарнир), сила реакции которого имеет составляющие по трем координатным осям, а в точке В

силы реакции RB по оси Оу — RBu— равна нулю. Останется пять неизвестных составляющих сил реакций, и задача станет статически определенной.

53

§ 3 . П р и м е р ы

Пример 4 (условия равновесия плоской системы сил). Определить силы реакции в шарнирах А и В невесомой рамы ACDB, если она нагружена так, как это указано на чертеже. Сила Р=1 т, интенсивность равномерно распределенной на­

Ре ше ние . Рассмотрим условия равновесия системы сил, действующих на раму ABCD. Проводим оси координат Аху так, чтобы плоскость рамы совпала с координатной плоско­ стью Аху. Силы, действующие на раму ABCD:

1) сила реакции неподвижного шарнира_/?л, так как ее линия действия неизвестна, то изображаем Ял через состав­

ляющие по осям координат Яах и Ялу, направив их в сто­ рону положительных координатных осей; _

2) сила реакции подвижного шарнира (опоры) В — Яв — направлена перпендикулярно опорной плоскости катка, в ка­

кую сторону — неизвестно, поэтому обозначаем ее Яву и изо­

бражаем на чертеже в сторону положительной оси Ау\ 3) пара сил с моментом М;

54

4) равномерно распределенная нагрузка интенсивности q\ эта нагрузка сводится к одной силе, численно равной пло­ щади прямоугольника со сторонами q u a и приложенной

вцентре его_ тяжести;

5)сила Р, величина которой известна,’ а направление указано на чертеже.

Так как силы, действующие на раму ACDB произвольно расположены на плоскости Аху, то для определения трёх

неизвестных R a x , R a v, Яву мы должны составить три условия равновесия:

S Fjx= 0\ ЯЛх— Р sina = 0;

55

Примеры на равновесие системы сии, приложенных к шероховатым телам (ЛЧ>5, 6)

Особенностью задач данного типа является то обстоя­ тельство, что в систему сил, приложенных к твердому телу, входят силы трения, величины которых могут изменяться от нуля до максимального значения FrVMaKc= fH. Поэтому уравнения равновесия содержат неравенства; в результате число положений равновесия твердого тела получается бес­ конечно большим.

Решение задачи получается единственным, если в урав­ нениях равновесия рассматривается максимальная величина силы трения скольжения (т. е. определяются максимальные или минимальные величины сил, при которых возможно равновесие).

Пример 5. На шероховатой наклонной плоскости, образую­ щей угол ос с горизонтом, лежит тело М веса Р. Определить угол (?. под которым нужно приложить силу Q, и величину этой силы, чтобы сдвинуть данное тело при наименьшей величине силы Q. Коэффициент трения тела о плоскость равен /.

Р е ше н и е . Рассматриваем систему сил, приложенных к телу М (рисунок к данному примеру):

Кпримеру 5

1)Я —-сила тяжести, направленная по вертикали вниз;

2)Q — сила, неизвестная по величине, образующая иско­ мый угол р с поверхностью наклонной плоскости;

3)N — нормальная сила реакции;

4)Ятр — сила трения, направленная в сторону, противо­ положную возможному движению тела.

Эта сходящаяся система сил лежит в одной плоскости, которую мы примем за плоскость Оху, направления коорди­ натных осей показаны на рисунке.

56

Составляем два условия равновесия

2 Fix= 0; Q cos р—Я sin а —f TP= 0; У-1

2Fj,i= 0\ Q sin р—Я cos a + vV= 0.

Кэтим условиям добавляем предельное значение силы тре­ ния FTV = [N. Из условий равновесия находим

Frp= Q cos (3 —Р sin a; N = P cos a — Q sin p.

Таким образом, в предельном положении

Q cos р—Р sin a = f(P cos a —Q sin p).

Отсюда находим зависимость величины силы Q от угла р

угла р, при котором и= имакс. Для этого вычислим и прирав­ няем нулю производную и по р

— = — sin р + / cos Р —0. rfp

отсюда tgP = / = lg(p. Это означает, что угол р должен рав­ няться углу трения (Р = ср). Вычислим вторую производную от и по Р

57

Поэтому

Так как для любого коэффициента трения скольжения У 1+ р > 0, то

^N<p< 0.

Это означает, что функция ц|р=¥ = «макс, и, следовательно,

Q I Р=<?= Q miih-

Таким образом, если сила Q, приложенная к телу /V!, будет образовывать с начальной плоскостью угол, равный углу трения, то тело М будет сдвинуто при минимальном значении этой силы, равном

1'Г + Т 5

Пример 6. Однородная балка весом Р опирается на глад­ кую вертикальную стену и шероховатый горизонтальный пол с коэффициентом трения f.

Определить угол а (угол, об­ разуемый балкой со стеной) при равновесии.

2) Na — нормальная сила реакции стены (стена, по усло вию, гладкая) направлена перпендикулярно стене;

58