ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
Теорема 3. Характеристическое произведение системы сил не зависит от выбора полюса. _ _ _
Рассматриваем систему сил {F\, F2, ..., Fn) , приложенных к твердому телу. Характеристические произведения этой системы сил, вычисленные в произвольных точках О и Р, по определению записываются в виде:
Н0= (F0 -L0) ; # р = (Fp-Lp).
Нужно доказать, |
что Н0= Нр. |
|
|
Доказано в предыдущих теоремах, что |
|||
|
Fp = Fo, Lp = L0— M0(Fp). |
||
Поэтому |
_ _ |
_ |
_ |
Нр= (Fр • Lp) = (Fа ■[Lq—М0 (Fр) ]) = |
|||
|
= (F„-L 0) - { F n-M „(FP)), |
||
но _скалярное |
произведение |
(F0 ‘Mo(Fp)) = 0, так как |
|
M0 (Fp)A-F0, следовательно |
НР = Н 0, |
что и требовалось |
|
доказать.
В связи с тем, что характеристическое произведение системы сил, приложенных к твердому телу, не зависит от выбора полюса, оно будет в дальнейшем обозначаться буквой Н без какого-либо индекса.
§ 3. Инварианты системы сил
Инвариантами системы сил по отношению к выбору полюса называются величины, не зависящие от выбора полюса (не изменяющиеся при перемене полюса). Как было указано в § 2 , такими величинами являются главный вектор системы сил (первый инвариант) и характеристическое про изведение (второй инвариант). Главный момент системы сил зависит от выбора полюса, поэтому ом не является инва риантом системы сил. Однако можно доказать следующую теорему:
Алгебраическая величина проекции главного момента системы сил, приложенных к твердому телу, относительно какого-либо полюса Р, на направление главного вектора системы, построенного при том же полюсе Р, не зависит от выбора полюса и является для данной системы сил вели чиной постоянной.
40
Рассмотрим систему сил (F\, J?2, ■.. ,F n), |
приложенных |
к твердому телу. Главный вектор FP и главный |
момент этой |
системы относительно полюса Р — LP —изображены на рис. 31. |
|
Алгебраическая величина проекции вектора ЬР на направ лении вектора FP равна скалярному произведению вектора £ Р на единичный вектор FP°, характеризующий направление вектора />.
Проекция ppLp = (LP- FP") 1 Р• ] = —- (ГР• FP) - ~ ~
Рнс. |
31 |
Рис. 32 |
и так как НР и |
FP не зависят от выбора полюса, получаем, |
|
что проекция fp Lp = -^-= const, |
что и требовалось доказать. |
|
С л е д с т в и я . |
1. Проекция главного момента системы сил |
|
на линию действия главного вектора этой системы не зависит от выбора полюса (третий инвариант системы сил).
2. Наименьшую величину главный момент системы сил будет иметь в той точке, где он коллинеарен с главным
вектором.
На рис. 32 изображены главный вектор и главный момент
системы сил в точках Р, |
О и D. Наименьшую величину глав |
|
ный момент системы сил имеет в точке D\ она равна |
||
г |
, , |
| |Я| |
"мин — L p *I COS ф | |
||
И Л И |
|
|
. |
_ |
| F q x '!-о х ~t F p y L p y + F q z ' L qz 1 |
‘11
§ 4. Центральная ось системы сил
Центральной осью системы сил, приложенных к твердому телу, называется прямая линия, представляющая геометри ческое место точек, относительно которых главный момент рассматриваемой системы сил будет иметь наименьшую величину. Или, на основании второго следствия § 3, можно определить центральную ось как прямую линию, в каждой точке которой главный момент системы сил коллинеарен главному вектору ее.
Условие коллинеарности двух векторов имеет вид:
|
Lp=aFo, |
(9) |
где |
а — скалярный множитель; |
|
D(x, |
у, z) — точка центральной оси системы сил. |
|
Векторное условие (9) эквивалентно следующей системе уравнений:
( Ю )
где LDx, LDy, LD:; Fx, Fy, Fz— алгебраические величины про екций главного момента и главного вектора системы сил, построенных в точке D на оси прямоугольной системы коор динат Oxyz. Уравнения (1 0 ) можно записать в развернутом виде, если учесть, что
Lu— La —Mo (Fd) . |
(II) |
В равенстве (11) каждый из векторов разложим на состав ляющие по осям Ox, Оу, Oz. Тогда получим
Fnxkw + TDi(/a2D+ Ff>zk3p = [L0a;—(yF .— zFy)]k ю +
T [^oy—(z^x~xFz)]k2v + [L0z— (xFu — у Fx)\k3o,
откуда, проектируя, находим: |
|
|
Fdx= Fqx |
(yFz |
zFу"); |
Fuy ~ Foy |
(zFx |
xFz) ; |
Fuz—Foz |
у |
■уFд-). |
Воспользовавшись найденными значениями LDx, LDy, LDz, уравнения (1 0 ) запишем в развернутом виде
Lox — (yFz — zFy) Loy — (zFx — xFz) |
Loz - (xFy—yFx ) |
/1 m |
||||
Fx |
~ |
Fy |
~ |
Fz |
• |
l 1^ ) |
Уравнение (1 2 ) |
есть |
уравнение |
центральной |
оси системы |
||
сил. |
|
|
|
|
|
|
42
§ 5. Неизменяемость характеристических величин при простейших статических методах преобразования системы сил
Теорема. Характеристические величины системы сил, при ложенных к твердому телу, ие изменяются при преобразо1 ванни дайной системы сил в эквивалентную ей систему при помощи простейших статических методов.
Пусть
7*о= S |
(F})0, |
L0 = S |
i |
Mo(Fj), H ~ (F 0 -L0) |
]~\ |
|
|
|
— характеристические величины системы сил (Fu F2, . .. , F n), приложенных к твердому телу. Теорема будет доказана,
°)
Н |
. 0 |
Рис. 33
если мы докажем неизменяемость главного вектора F0 11
главного момента L0 при простейших приемах преобразова ния рассматриваемой системы сил в другие системы, ей эквивалентные.
П е р в ы й п р и е м — прибавление или отбрасывание урав новешенной системы двух сил. Рассмотрим уравновешенную
систему двух сил {Fn+U Fn+2 ) (рис. 33). Так как Fn+i ——Fn+2 и силы колл'инеарны, то
(Fn+i)o= — (Fn+2)o |
и |
Mo(Fn+l) = - M 0(Fn+3). |
Д о б а в и м эту систему сил |
к |
рассматриваемой _системе сил |
(Д|, F2, ... , Fn) , тогда получим систему 2/г сил (Fь F2, ..., F„,
43
F„+1, Fn+2), эквивалентную данной. Вычислим в точке О главный вектор и главный момент новой системы 2 п сил
Fо '— 2 (Fj)o+ (Fn+i)o+ (Fn+2)o = %(Fj)o — F0' |
||
j=\ |
j |
- 1 |
Lq — S M o(Fj)+M 0(7r,i+|) H-Al0 |
= |
2 M0(Fj) = L(>. |
/=i |
|
|
Получили: F0' = Fo, L0' = L0, что |
и требовалось доказать.* |
|
Справедливость сформулированной теоремы для трех сле дующих статических приемов преобразования системы сил доказывается также элементарно и поэтому может быть предоставлена читателю в качестве самостоятельного упраж нения.
Г Л А В А II[
УРАВНОВЕШЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ 1. Необходимые и достаточные условия равновесия системы сил, приложенных к твердому телу
Теорема. Для того чтобы система сил, приложенных к твер дому телу, была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы характеристические величины этой системы сил, по строенные при произвольной точке, равнялись нулю.
Сформулированную теорему докажем для системы, со стоящей из двух сил, приложенных_к твердому телу.
Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть (Fu F2) — уравновешенная система сил. Докажем, что главный вектор и главный момент этой системы, построенные в произвольной точке О, равны
нулю, т. е. Fo= 0, Lo= 0.
То, что система сил (F1, F2) — уравновешенная, означает, что эти силы имеют общую линию действия, равны по вели
чине и противоположны по направлению |
(рис. 34, а или б) |
|
и, следовательно, выполняются условия: |
F\ = —F2, M0 (F1 ) = |
|
= —М0 (F2). |
|
|
* Случай отбрасывания уравновешенной системы двух сил доказы |
||
вается аналогично. |
. . |
|
44