Файл: Зенова, Е. Ф. Статика учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 94

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Вычислим главный вектор и главный момент этой системы сил в точке О

F o = (F i)o + (F 2) 0 = (/Г1 ) о - ( Л ) о = 0;

L o ~ M 0(F 1) + Mq(F2) = Mo(F\) — Mo(F‘j) = 0,

что и требовалось доказать.

 

 

 

 

 

_

_

 

Д о с т а т о ч н о с т ь .

Дано:

система двух

сил

 

(Fi,

F2)

имеет главный вектор

F0 = 0

и

главный

момент

L0 = 0;

нужно доказать, что эта система сил уравновешенная.

 

 

а)

 

 

S)

 

 

 

 

 

 

Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

. О

 

 

F,

 

•0

5

"г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

34

 

 

 

 

 

 

 

Действительно, из определения главного

вектора

следует

 

Fо= (F\)o+ (F2)о — 0 ,

 

 

 

 

 

т.

е. (Fi)o= — (F2)0i а это означает,

что силы Л и

F2 равны

по

величине (Fi — F2)

и противоположны

по

направлению.

Чтобы утверждать, что они образуют уравновешенную систему сил, необходимо к этим доказанным двум условиям добавить общность_их линий действия. Для этого рассмотрим

еще одно условие: L0= 0. По определению главного момента,

Lo = Mo(F\) -|-Mq(F2) —0,

откуда M0 {F\) = —M0(F2).

Последнее геометрическое равенство при доказанных условиях F\ — F2 и будет ]шеть_ место только в одном

единственном случае, когда силы F\ и F2 имеют общую линию действия. Таким образом, мы доказали, что в системе

(Fu F2) обе силы равны по величине, противоположны по на­ правлению и имеют общую линию действия; из второй части начала равновесия следует, что указанная система сил

(F], F2) является уравновешенной, что н требовалось дока­ зать.

45

Точно так же предложенная теорема будет справедлива п для уравновешенной системы состоящей из какого-угодно числа сил, приложенных к твердому телу, ибо любую систему сил, .приложенных к твердому телу, можно преобразовать в эквивалентную ей систему, состоящую из двух сил, при помощи простейших статических методов, и при этом харак­ теристические величины системы сил не изменяются.

Из доказанной теоремы вытекают векторные условия рав­ новесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу

F0= 0; L0= 0.

(13)

§ 2. Аналитические условия равновесия системы сил, приложенных к твердому телу

Система сил, как угодно расположенных в пространстве

Для получения аналитических условий равновесия про­

странственной системы сил (Fu F2, . . . , F n) векторные усло­ вия равновесия (13) перепишем в развернутом виде. В силу того, что

//

условия (13) можно записать так:

П

2 (F})0= 0;

 

 

П

 

 

 

 

2 Mn(Fj) =0;

 

Л

_ _

;=|

_ _

п

п

Отсюда вытекает шесть следующих равенств:

ПЦ

(14)

ПП

2 Fjz= 0;

2 MOz(Fj)=0.

j=\ '

j =1

46

Три последних равенства можно переписать еще подроб­ нее, если вспомнить аналитическое определение момента силы относительно координатных осей, т. е.

S Mox(Fj) =

2 (yiFjz-ZjFUl)=0-

i t

 

j

i

2

Mov(Fi) =

i

(zjFjx- x jFu)=0;

J-

t

j-i

2 M0z(F}) =

2

(XiFjv- y iF jx)=0.

Вывод. Для равновесия пространственной системы сил, приложенной к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических величин проекций сил на три оси координат равнялись нулю и суммы алгебраических величин моментов всех сил относительно указанных коорди­ натных осей равнялись нулю.

Аналитические условия (14) являются наиболее общими, из них могут быть получены частные случаи равновесия плоской, параллельной и сходящейся систем сил.

 

Плоская система сил

Пусть система

сил (A,,

F2, ... ,F n),

приложенная к твер­

дому телу, такова,

что все силы ее находятся в плоскости хОу

(рис. 35). Тогда для каждой силы данной системы

FJz = 0; M0x(F})= 0;

M0v{F})= 0,

/= 1, 2,..., п.

Это означает, что из шести аналитических условий равно­

весия (14)

остаются только три

 

 

 

 

2 Fix= 0;

2 ^ „ = 0;

2

M0l( ^ ) = 0.

(15)

 

j=t

/=1

j=i

 

 

Последнее

равенство

системы

(15)

можно написать

еще

и так:

 

 

 

 

 

2 Mo(Fi) =о, j-i

что следует из определения момента силы относительно оси. Вывод. Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических величин проекций

сил на любые две непараллельные оси, лежащие в плоскости сил, равнялись нулю и сумма алгебраических величин

47

моментов сил относительно оси, перпендикулярной плоскости сил, равнялась нулю.

Условия равновесия плоской системы сил можно записать также и в следующей форме:

2 М А(Ь ) = 0;

2 MB(F}) = 0;

£ Mc (Fj) = 0,

j~\

j - \

j~l

Рис. 35

причем точки А, В и С не лежат на одной прямой; или

 

2 ^ , = 0;

2 M a (F}) = 0;

2 M B(Fj) = 0;

 

j—i

 

 

 

/-1

 

 

в

данном случае

ось /,

на

которую

проектируются силы,

не должна быть перпендикулярной прямой АВ.

 

 

Система параллельных

сил

 

к

Рассмотрим систему

сил

(Fu

F2, . . . , F n),

приложенных

твердому телу,,

таких,

что

каждая

из сил

этой системы

параллельна оси Оу (рис. 36)

FjWOy, / = i, 2,.... /i.

Тогда для каждой силы данной системы выполняются условия

/> = 0 ; Fjz= 0\ M0y{Fj) =0, 7 = 1, 2.......л

48

и, следовательно, из шести условий (14) остаются только три

Ё V О ,

Е М ОЖ( ^ ) = 0 ,

Б Л М ^ ) = 0.

(16)

_,=!

j - 1

/=1

 

Вывод. Для равновесия системы параллельных сил не­ обходимо и достаточно, чтобы сумма алгебраических величин проекций всех сил данной системы на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и суммы алгебраических вели-

4 З ак . 56

49

чин момс.нтов сил относительно двух других координатных

осей (не параллельных данным силам)

равнялись нулю.

лежит

Частный случай, когда система

параллельных

сил

в одной плоскости, например, F) || Оу и F ^ y O z ,

/ = 1,

2,..., /г

(рис. 37). В этом случае в условиях (16)

для всех сил данной

системы

всегда

будет

выполняться

равенство

 

7И02(-^7д) =0,

/= 1,

2,..., п,

поэтому условия

равновесия

плоской

парал­

лельной системы сил имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 7 ^ = 0;

2Л4о*(Л)=0.

 

 

 

 

(17)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сходящаяся система сил

 

 

 

 

 

Пусть

к

твердому

телу

приложена

система

сил

(Fu

F2,...,F„),

линии

действия

которых

пересекаются

 

 

 

 

 

 

 

 

в точке Н. Примем эту

 

 

 

 

 

 

 

 

точку за начало коорди­

 

 

 

 

 

 

 

 

нат О (рис.

38)

. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

для

 

каждой

силы_ дан­

 

 

 

 

 

 

 

 

ной

системы

/Ho(F3)= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

/=

1,

2,

 

 

 

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

из

 

векторных

условий

 

 

 

 

 

 

 

 

равновесия

для

сходя­

 

 

 

 

 

 

 

 

щейся системы сил оста­

 

 

 

 

 

 

 

 

нется лишь

одно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F0 =

£

(Л) о= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

1

 

 

 

 

Соответственно

аналитические

условия

равновесия

запи­

шу! ся в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

7 > = 0;

2

Fjy= 0;

2

7> = 0.

 

 

 

(18)

 

 

 

i

 

) - 1

 

;•=!

 

 

 

 

 

 

 

Вывод. Для равновесия сходящейся системы сил необ­ ходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических величин проекций этих сил на три координатные оси равнялись нулю.

Ч а с т н ы й случай. Сходящаяся система сил является плоской, например, все силы дайной системы лежат в пло­

скости хОу.

Тогда

для

всех

сил этой

системы Fjz = 0,

/= 1, 2

поэтому

из

условий (18) останется лишь два

условия

 

 

 

 

 

 

2

7^. = 0; 2

7^= 0 .

(19)

 

}=i

 

/-1

 

 

50

Смотрите также файлы