Файл: Долгов, В. А. Температурные напряжения и перемещения в стержневых конструкциях [учебное пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 49

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Температурные напряжения определяются по той же фор­ муле (7).

Пример 3. Дано : двутавровая железобетонная балка, рассмотренная в примере 1. Для сравнения результатов возь­ мем ту же эпюру температур.

Т р е б у е т с я : построить эпюру температурных напряже­ ний.

Ре ше ние :

1. Определение геометрических характеристик (см. при­ мер 1).

2. Определение «температурной» площади и «температур­ ных» статических моментов.

Заданную эпюру температур, полученную из натурных наблюдений, разбиваем на 20 участков (рис. 6).

л?*ве. „

■*/

Для каждой точки (их всего будет 30) определяем величи­ ну температуры. Затем подсчитываем среднюю температуру каждого участка

+_ ta+tb+tc-^id

„ .1,

tj

U— --------7-------

и у — -i---- ■

 

^

 

Lmax

После этого по формулам

(8) простым суммированием опре­

деляются Ft, St(Z), St(y) ■

табличной форме (таблица 1 при­

Расчет удобней вести в

водится не полностью)

 

 

 

4*

21

Таблица для подсчета Ft, St(Z), St(y)

 

cot =

const =

2g.. • —

=

10,8 см2,

к =

n =

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 1

№

№

I

t°

 

“ 1

ПКфш]

У1

ПКфшу!

 

Zl

nK^C0}Zi

уч-ка

точ.

 

точ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

0

0,03

10,8

0,324

3,6

 

1,49

—

2,7

—

0,875

6

 

0

 

 

7

 

0,12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

0

0,085

10,8

0,915

3,6

 

3,3

- 0 , 8

—

0,73

7

 

0,12

 

 

8

 

0,22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

 

0

0,125

10,8

1,35

3,6

 

4,85

 

1,1

 

1,48

8

 

0,22

 

 

 

 

9

 

0,28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

т. д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ft = 2nKt|)G)i = 85 c m 2

Stz = 2nKt|)C0iyi = 1540 cm3

Sty = SnKi|)coiZi = 98 cm 3

Здесь практически получаются (с незначительной погреш­ ностью из-за приближенного определения центров тяжестей эпюр температур i-тых участков) те же самые значения «температурных» площадей и «температурных» статических моментов, что и в примере 1. Поэтому и величины темпера­ турных напряжений, определяемых по формуле (7), те же. В этом примере определение температурных напряжений не приводится (см. пример!).

22

§ 3. Изогнутая ось и продольные перемещения при переменной по высоте и длине балок температуре

Определение уравнения изогнутой оси балки (уравнения прогибов) при температурных воздействиях необходимо для нахождения прогибов в ряде точек. Оно необходимо также для решения статически неопределимых задач. Например, плитно-балочные конструкции, где плита жестко соединяется с ребрами (балочные клетки, пролетные строения мостов), можно рассчитать, разрезав плиту и балку по линии сопря­ жения и составив для сечений уравнения совместности дефор­ маций . (метод сил). В этом случае уравнение прогибов зави­ сит от температуры и функциональных неизвестных, величи­

на которых непрерывно меняется вдоль продольной оси бру­ са.

Рассмотрим изгиб балки от

температурных воздействий

в вертикальной плоскости УОХ

(рис. 7) (для изгиба балки в

горизонтальной плоскости составляются аналогичные выра­

жения) . Кривизна балки при изгибе в вертикальной

плоско­

сти

 

 

 

j__

d2v

Mt(z)

(9)

р

dx2

'EJnp(z)

При направлении осей вправо и вниз и выпуклостью вниз

вторая производная

отрицательна (знак минус),

момент

же, изгибающий балку выпуклостью вниз, — положителен; начало координат на левой опоре балки.

ЭП t x (DO минь)

Рис. 7.

23

Подставляя выражение (5) в (9), получим:

d2v

at„

St(z)

(10)

dxa

 

Jnp(z)

 

(модули упругости сокращаются).

Интегрируя первый раз, получим угол поворота сечения при произвольной температуре и переменном сечении бруса по длине:

dv

— a W

f

dx + C;

(П)

dx.

 

У rip(z)

 

интегрируя второй раз, получим уравнение прогибов (уравне­ ние изогнутой оси балки) при произвольной температуре и переменном сечении бруса по длине:

v = — f

(atmax f

d x - C ) d x + D;'

(12)'

*-

"

J np(z)

 

при постоянной по длине бруса температуре и поперечном се­ чении уравнения углов поворота и прогибов

dv

dx

= — atmax

х + С,

Jnp(z)

 

 

(13)

V =

— atmax 9- г ^

X2 + Сх + D.

 

np(z)

 

Произвольные постоянные определяются из граничных усло­ вий.

Например, для

шарнирно опертой балки (рис. 7):

при X =

0

V = 0,

при X =

1

V = 0,

отсюда получаем для балки постоянного сечения (13);

D = 0, С = atmax 0 -1 ^ 1 ;

тогда угол поворота

dv

_

,

St.(z)

I'- 1

1 Г

~

almax Jnp(7.)

2

24

уравнение прогибов

 

v atn

(1 —х) х,

 

2JnP(Z)

наибольший'угол поворота (на опоре, X = 0)

dv

atn

S t(z)•1

dx

 

2d np(Z)

наибольший прогиб (в середине, X =

St(z) •1г

V — atm ax

8Jnp(z)

Переходим к определению продольного перемещения. Зна­ ние этой величины необходимо как при рассмотрении стати­ чески определимых задач, например, для установления необ­ ходимых температурных зазоров, так и при расчете ста­ тически неопределимых стержневых систем.

Из теории упругости известно геометрическое дифферен­ циальное уравнение Коши

 

 

 

£i —

dU

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

’

 

 

 

 

где 8i

— полная

относительная деформация

i-того

слоя

 

от внутренних усилий и температуры;

дифференци­

dU — удлинение произвольного

волокна

 

ально малого элемента dx, равное 8idx

зави­

Подставляя значение Et из уравнения (2)

и используя

симости (5),

получим:

 

 

 

 

 

 

 

dU —Cttmax

 

St(Z)

St(y)

z dx.

 

(14)

 

 

 

-f Jnp(z)

•y+

Jnp(y)

 

Тогда продольное перемещение произвольной точки на

рас;

стоянии х от начала координат

 

 

 

 

 

U = atn

J

h ^ +

r f r - Y

+

J—

-z W

+ H + ffy.z).

(15)

 

и

\ г пр

Jnp(z)

 

Jnp(y)

j

 

 

 

Здесь H — произвольная постоянная, которая

определяется

из граничных условий;

 

 

собой продольное

пере­

f(y,z) — функция,

представляющая

мещение произвольной точки сечения, где расположено нача­ ло координат (координатного сечения), за счет его поворота

25

(рис. 8); определяется как сумма двух перемещений (аоу и

Uoz) ■

f(y.z) = цоу + u0z =

(Уо — у) Ч------ (z0 — z),

(a)

где

уо,z0 — координаты фиксированной точки балки;

 

.

у, z — координаты точки, где определяется функция

dv

-dgwj — углы поворота координатного сечения, опре­

 

деляемые по формуле

(11), причем для угла

по-

 

ворота dw

величины

о т Jnp(z) заменяются

на

St(y), Jnp(y)

Рис. 8.

При постоянной по длине бруса температуре и постоянном сечении получим

и = C ttm ax^p-

Г j St(Z) ■у +

—t(y> zj x+ H + f(y z);

(б)

 

Jnp(y)

Jnp(z)

'

'

7

4 7

углы поворота, входящие в функцию f(y,z) выражения

(а),

оп­

ределяются по формулам

(13), причем для ~

делается ука­

занная выше замена.

 

 

 

 

 

 

26

Например, для балки постоянного сечения, имеющей сим­ метричную температуру относительно оси у (St(y) = 0) угол

поворота координатного сечения (начало координат на левой опоре)

dv

atu

St(z)

< j

dx

2Jnp(z)

 

 

 

Если опорные связи находятся на оси X (рис. 7), то функ-

цшо f(y,Z) при у0

= 0 (формула а)

запишем:

 

 

f(y) — atmax 2Т ^ — У.

 

 

 

■^Jnp(Z)

 

= 0 и из урав­

при х = 0 и у = 0 продольное перемещение U

нения (б) получаем, что Н =

0. Отсюда продольное переме­

щение произвольной точки балки

 

 

 

U -

Jnp(z)

у ' )

х -J-

 

 

'

' 2Jnp(z) J

В реальных

конструкциях

опорные связи

находятся на

нижней плоскости балки (у=

+-^-).

Следовательно, в этом

случае

 

 

 

 

 

 

f(y) — atm a x

 

( " 2 -------У /)

 

по-прежнему произвольная постоянная Н = 0, как видно из

формулы (б),

поскольку

при х = 0,

у =

Н— ~ продольное

перемещение

и= 0. Тогда

в произвольной

точке балки про­

дольное перемещение:

 

 

 

 

 

 

 

S t (,)l

 

 

 

 

2Jnp(z)

)]■

Пример 4.

Дано :

сталежелезобетонная балка, рассмот­

ренная в примере 2.

Уравнение эпюры

температур tXy по

длине и высоте балки — то же. Пролет

1= 6dn = 18 м.

Т р е б у е т с я : составить уравнение

изогнутой оси балки,

определить вертикальное перемещение середины пролета и Горизонтальное перемещение правой опоры балки ^непод­ вижное опирание — рис. 3 — на левой опоре).

Ре ш е н и е :

1.Геометрические характеристики (из примера 2):

Fnp = 903 м2;

Jnp(z) = 7,7710б см4;

,С = 43 см.

2. «Температурная» площадь и «температурный» стати­ ческий момент (из примера 2)

5-1708

27

Ft = 6 — c o sf^ )0 ,8 h + 0,3md j= 216 — 33,6cos-J* :

St = 6

L

jU(5 — cos

vtn

(0,41h2—0,8hc)

+

0,3md (h — c)

=

\

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18800 — 2150 cos

2nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dn

 

 

 

3.

 

Уравнение изогнутой оси стержня при заданной

эпюре

температур (12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = _

«М

 

^ Jnp(z)

d x - C W x + D =

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V \

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ях

 

 

 

 

 

= — J(at max

f 18800 — 2150 cos

dn

dx — C ) dx + D;

 

 

J

? j 7

. 10e

 

 

 

после интегрирования

 

 

 

 

 

 

 

 

v =

— atmax 10-3 / 121x2 + 1470COS

 

 

) + Cx + D.

 

 

4.

 

Определение постоянных интегрирования из граничных

условий на опорах сталежелезобетонной балки.

 

 

Вертикальные перемещения на опорах равны нулю, т. е.

при х = 0, V0 = 0,

при

x = l = 6dn

Vi = 0;

тогда имеем

два

уравнения:

—atmax - 10-3-1470 4- D = 0,

 

 

 

 

 

 

 

— atmax-Ю -3 (1,21-18*-10*+ 1470) + C-1800 + D = 0,

 

 

отсюда

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С =

atmax -2,18;

D = atmax - 1,47.

 

 

5. Окончательное уравнение изогнутой оси балки при за­

данной эпюре температур

 

 

 

 

 

 

 

v=

—at„

1,21 • 10~3х2 — 2,18х — 1,47

1 -cos- 2Iлх f

)

]

6. Вертикальное перемещение в середине пролета балки

 

 

 

 

(х = ~2~ = 900 см)

 

 

 

 

 

vi/2 =

— atmax[l ,21 • 10-3 • 81 • 104 — 2,18 • 9 • 102— 1,47.0] =

 

 

 

 

 

 

=

0,0107tmax-

 

 

 

 

 

При tmax = 30° получим:

=0,29

см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\тч

 

 

 

 

 

28

Смотрите также файлы