Файл: Долгов, В. А. Температурные напряжения и перемещения в стержневых конструкциях [учебное пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 52
Скачиваний: 0
температура — в узле В при у= -у-, в точке С температура
равна нулю. Такое распределение температур возможно при нагревании балок каким-либо переменным источником тепла,
например, плохо изолированной тепловой магистралью или вентиляционным коробом в неотапливаемом помещении.
Т р е б у е т с я : определить горизонтальные перемещения в
точках С и В.
Ре ше ние : так как температура и сечения переменны по длине ригеля, перемещения необходимо вычислять по об
щей формуле (16).
1. Геометрические характеристики площадь ригеля
|
Fnp = |
^ - |
(2 |
1 - х ) , |
|
|
|
момент инерции ригеля |
b / |
21 — х \ 3 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
Jnp(z)------i2~(hi |
1 |
I . |
|
|
||
2. «Температурная» площадь на ригеле |
|
|
|||||
|
b |
21—x |
|
|
|
|
|
Г |
2 |
I |
1 |
—x |
sin- |
jtl |
ydzdy; |
F t = ) TpdF = |
j |
|
1 |
h!(21 — x) |
|||
F_b_
—2
34
после интегрирования
F t = - у — * “ у ' (2! — х ) .
«Температурный» статический момент на ригеле
р |
|
b |
, 21 -х |
|
|
|
2 |
hi |
1 |
|
|
St(z)= j y * d F |
= |
J |
j |
У |
^ П н ^ п г Г ) y d zd y ; |
F |
|
b |
0 |
|
|
|
|
~2 |
|
|
|
после интегрирования |
|
|
|
|
|
с |
• |
1—x |
и Г hj (21 — х) |
||
StW = — |
Ь [- |
д1 |
|||
отношения |
|
1—X |
|
|
12(1—x) |
|
|
|
5t(z) |
||
• пр |
|
т: 1 |
JriP(z) |
712^(21—x) ' |
|
3. Уравнение моментов и нормальных сил на ригеле от единичных сил, приложенных в точках В и С (рис. 11).
Уравнение моментов (одинаковое от единичных сил, при ложенных в точках В и С)
М = ( 1 - х ) .
Уравнение нормальной силы от единичной силы, прило женной в точке С
N = 1.
Уравнение нормальной силы от единичной силы, прило женной в точке В
N = 0.
4. Определение перемещений — (формула 16)
Amt = |
а • tmax j£ J F ^ " |
^ m d x + ^ J |
Jnp(z> |
^ х ] • |
|
X |
X |
|
|
Перемещение в точке С |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
dx + |
12(1 — х) |
• (1 |
— х) dx • |
A ct= Cttmax |
I r-ah^l — х) |
|||
|
о |
о |
|
|
6—1708 |
35 |
Произведения под интегралом положительны, так как дефор мация от температуры совпадает с деформацией от единич
ной силы. |
|
получим: |
|
|
После интегрирования |
|
|
||
Act — Oitmax |
J |
("Т + lnl |
|
|
2 * |
|
|||
Подставим цифровые |
значения |
|
|
|
|
800 |
9-8002 |
----- 0,695 |
= 1 , 0 2 см; |
Act = 1 ,Ы 0 -5-30° 6,28 |
9,86-40 |
|||
перемещение получается вправо — по направлению единич ной силы.
Перемещение в точке В.
Здесь первый интеграл обращается в ноль, так-как нор мальная сила на ригеле от единичной силы, приложенной в точке В, равна нулю
1
Ast = atmax J |
mahx(21 — x) ' ~7~ ^ — x) dx = |
|
0 |
|
|
= —aimax — |
— 2 b lnl ln2 lj. |
|
Подставим цифровые |
значения |
|
ABt = —1,1 • !0~ 5 • 30° |
(0,5-0,695) = 0,981 cm, |
|
перемещение получается тоже вправо.
Удлинение ригеля от температурного воздействия
Alp = 1,02 — 0,981 = 0,039 см.
Пример 6. Д а н о : П-образная стальная рама с консолями, ригель которой объединен с железобетонной плитой (рис. 1 2 ). Иногда такое исполнение имеют, например, путепроводы, но в этом случае консоли опираются на крайние устои (показа но пунктиром). Поскольку этот пример будет использован в дальнейшем — для решения статически неопределимых за дач —• оставим связи только внизу, как и показано на рис. 1 2
сплошной линией.
Железобетонная плита ригеля нагревается прямыми сол нечными лучами, что создает в верхней части ригеля эпюру разности температур [14], постоянную по длине (tx=const) и переменную по высоте
36
4. _ |
tmai |
(у+уб—50)5 |
ly — |
502 |
|
и следовательно |
|
|
Ф = |
5 р “ (у + Уб~50)2 |
|
(размеры, входящие в эту формулу, показаны на рис. 1 2 ). Т р е б у е т с я : определить горизонтальное перемещение
точки В и вертикальное перемещение середины ригеля.
еечения
по э >
400*30
600*13
400*30
Рис. 12.
Р е ше н и е : вследствие неизменности температуры и се чения по длине ригеля, перемещения можно определять по формуле (17)
1. Геометрические характеристики, а) Сечение ригеля (1—1)
площадь приведенного к стали поперечного сечения
(ЕстЕб : =8
р = 804 см2
положение центра тяжести приведенного к стали сечения
в * |
37 |
момент инерции приведенного к стали поперечного сечения
Jnp(z)=2,26-106 см4;
б) Сечение стоек * площадь и момент инерции в сечении 2 — 2
Fct(2—2) = 384 см2; J ст(2—2) = 1,08-104 см4,
площадь и момент инерции в сечении 3—3
Fct(3—з) = 312 см2, Jct(3—з) = 0,26-106 см4.
Закон изменения площади и момента инерции по длине стоек (начало координат на опорах, в точках А и В — рис. 12)
|
hcr(x) = 60 + 60 gQQ = |
60 + “jig-, |
||
Fct(x) = |
40 • 3 • 2 + |
1,2 (60 |
+ |
= 312 + 0,12.x; |
J ст(х) = |
(-xl + |
40.3 ( ^ |
- ) |
*■2 = 2 , 2 • 1 0 5 + |
+ 8,65 - 102x+ 0,78x2+ l • 10-4x3
(собственный момент инерции полок и расстояние от центра тяжести полок до обреза стенки не учитываем ввиду малости).
2. |
«Температурная» площадь и «температурный» статичес |
||
кий момент на ригеле (температура |
стоек |
условно равна |
|
нулю). |
|
принимая К=1, |
|
Эти величины получим по формулам (6 ), |
|||
т. е. |
аст = ссб', кроме того, поскольку |
сечение приводится к |
|
стали, то для железобетонных элементов п= |
будет в зна- |
||
менателе, для стальных элементов п= 1 |
|
|
|
—(Уб — h)
Ft = j k - i - ^ d F = J _J_. -^ _ (y + y6_50)2bdy +
У— Уб
— (Уб— h — 8П) — (Уб — 50)
+ 1 Ш (У + Уб —50)2М у + j -^г(у+Уб—50)2 бст-dy,
— (Уб — h) — (Уб— h — 8П)
* Пункт (б) понадобится в дальнейшем при решении статически неопре делимой. задачи (см. пример 8).
— (Уб— h) |
|
St = J k “ r ^ y d y = J |
5 ^г (У + Уб — 50)2bydy-b |
У—Уб
1— (Уб— h — 5П) — (Уб— 50)
+ J 5р-(У + Уб — 50)2bnydy + j -g^r (У + Уб — 50)26CTydy.
— (Уб— Ь) . — (Уб— h — 8п)
После интегрирования получаются довольно громоздкие вы ражения, в которых некоторые члены опускаются, поскольку они мало влияют на окончательный результат (с достаточной для практических расчетов точностью).
В результате получим формулы, применяемые в настоя щее время при расчете сталежелезобетонных балок на темпе ратурные воздействия при нагревании плиты [14]:
st = —-irCye — Ю)-
Подставим цифровые значения
Ft = |
16-200 |
|
| = 295 см2, |
||
8“~ |
|
||||
S, = |
- |
16-200 |
(43 — 10) = —13,2 - 103 |
см3, |
|
8 |
|||||
295 |
|
|
S t w |
- 1 3 , 2 - Ю - 3 _ |
i-З |
■пр “ 804 |
= |
0,368; |
-1np(z) |
2,26-10s |
5,9-10 |
3. Построение единичных эпюр от единичных сил, прило |
|||||
женных по направлению искомых перемещений |
(рис. 13). |
||||
4. Определение перемещений — формула (17) |
|
||||
Amt — Ctlmax |
Ft |
St(z) |
|
||
|
|
|
пр |
Jnp(z) M |
|
Горизонтальное перемещение точки В |
|
||||
Авт= Cttmax (-^0,368 ■1 0 0 0 • 1 + |
|
||||
|
+ 5,9 • 10- |
3 • 600-1000) =317Qcstmax |
|
||
Здесь первый член с минусом, так как сила Р = 1 сжимает ригель, а температура удлиняет. Второй член с плюсом, так как и от единичной'силы и от температурного воздействия верхние волокна удлиняются. При
й = 1 ,Ы 0 -Е; tmax = 30°; ABt = 1,1 • 10- 5 • 30 • 3170 = 1,05 см,
39-