Файл: Долгов, В. А. Температурные напряжения и перемещения в стержневых конструкциях [учебное пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 51
Скачиваний: 0
7.Продольное перемещение произвольной точки на рас
стоянии х от начала координат (от левой опоры)
U = atE |
, |
/ F L + SH£Ly+ |
SjWz) dx + H + f(y) = |
|||||
J |
\ Гпр |
Jnp(z) |
|
Jnp(z) |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
/216 — 33,6 cos |
2 я х |
18800 — 2150 cos 2ях |
|
||||
|
d„ |
|
|
|
у \dx + H + f(y); |
|||
atB |
|
903 |
. 7,77106 |
|||||
|
|
|
|
|||||
после |
интегрирования |
|
|
|
|
|
||
. |
U = cxtmax (;0,239x — 1,78sin |
Qn |
+ 2,42 • 10-3xy — |
|||||
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
-2,76- 10-2y sin ^ M |
+ H + f(y). |
|
||||
|
|
|
|
|
Un / |
|
|
|
8. Определение функции f(y> |
|
|
|
Из формулы |
(13) угол поворота в начале координат (при |
||
х = 0) |
|
|
|
|
J - = C = aW 2,18. |
|
|
|
ax |
|
|
Координаты фиксированной |
точки балки |
(левой опоры) |
|
Уо = +171 см. Тогда (формула а) |
|
||
f(y) = |
(Уо—у) = |
atmax2,18 (171 |
у). |
9. Из граничных условий на левой шарнирной неподвиж ной опоре (х = 0, у = +171) следует, что Н = 0.
10. Окончательное уравнение продольного перемещения
U = atmax (о,239х — l,78sin?^ + 2,42- Ю-3ху —
—2,76- 10~2у s i n - ^1 + 2,18 (171 —
11. Продольное перемещение правой шарнирно подвиж ной опоры (при x = l= 6 d n=1800 см, у= 171 см, а=1,1Х X 10~5)
U = 0,0128tmax.
При tmax= 30° получим U = 0,38cm.
Если не учитывать влияние ребер жесткости на распреде
ление |
температур по длине балки, т. е. принять эпюру темпе |
||||||||
ратур |
по длине постоянной, не зависящей от х |
(fx=l), т. е. |
|||||||
|
+ _ |
t |
, г |
3,91 |
, : |
( |
3,82 |
, ' |
- |
|
txy - |
tmax у |
— |
(у + |
с ) ------р - |
(у + |
с)2 |
||
по формуле (б) |
получим |
следующий результат (Ft = 250, |
|||||
St(z)= 2,1 -Ю4) : |
тт |
, |
( |
250 , |
2,1-104 |
_ |
|
|
|
||||||
|
|
U — a tm a x ^ д оз + 7 ,7 7 - 1 0 6 У .J Х ’ |
|||||
при |
X = 1800 |
СМ, |
у = 171 |
CM, tm a x = 30° |
|
||
|
|
|
|
U = 0,44 см. |
|
||
§ 4. |
Температурные перемещения в статически определимых |
||||||
|
|
|
|
стержневых |
системах |
|
|
Рассматривается |
методика определения |
температурных |
|||||
перемещений |
в статически определимых |
системах (рамах, |
|||||
фермах, арках, комбинированных системах) при произволь ной температуре и сечениях по высоте и длине стержней. По ширине (относительно оси у) температуру принимаем симмет
ричной, т. е. St(y) = 0.
Интеграл Мора для определения перемещения по ш-му направлению
Am = 12 I NmAdxN + 2 j МтАйхм,
хх
здесь Adxs\- — осевое перемещение |
дифференциально |
мало |
|
го элемента от внешней нагрузки; |
диффе |
||
AdxM— угол поворота поперечного |
сечения |
||
ренциально малого |
элемента |
от внешней на |
|
грузки.
В данном случае «внешней нагрузкой» является темпера турное воздействие. Осевое перемещение дифференциально малого элемента от температурного воздействия из формулы
(14) при у= 0
р
AdxN = du = atmax —в— dx.
г up
Дифференцируя выражение (14) по у, получим угол поворо та поперечного сечения дифференциально малого элемента от температурного воздействия
AdxM= —гг- |
= atmax j ()- dx. |
ay |
Jnp(z) |
Отсюда температурное перемещение в статически опреде лимых стержневых системах при произвольной температуре и коэффициенте линейного расширения по длине и высоте стержня и переменном сечении стержня по длине
30
Amt - atmaxjtS j -F^ - Nmdx + 2 |
j |
Mmdx]i (16) |
X |
X |
|
здесь Nm, Mm — аналитические выражения нормальной силы и изгибающего момента от единичного силового фактора (си лы или сосредоточенного момента), приложенного в т. m по направлению искомого перемещения (прогиба или угла пово рота). Произведения, стоящие под интегралами, берутся поло
жительными, если деформация |
от температуры |
совпадает с |
||||
деформацией от единичных сил. |
(1), |
(3), |
(6). . |
|||
Остальные величины см. в формулах |
||||||
В случае постоянной |
по длине бруса |
температуре (tx = |
||||
i\ |
и постоянном сечении |
Н |
S:(z> |
|
||
const) |
— и |
т |
■ выносятся из |
|||
под знака интеграла по X. |
■Гпр |
Jnp(z) |
|
|||
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
1 |
Nmdx =(о.т ; |
( Mmdx=coTT— площади соответст- |
||||
х |
N |
J |
М |
|
|
|
венно единичных эпюр нормальных сил и изгибающих мо ментов. В этом случае температурное перемещение при пос тоянной по длине бруса температуре и постоянном сечении стержня по длине
|
= |
|
|
|
|
(17) |
При линейной по высоте бруса температуре ординаты эпю |
||||||
ры температур для крайних волокон бруса |
(рис. |
9) |
|
|||
|
ti = atmax, |
t2 = |
btmax |
|
|
|
и уравнение эпюры температур |
|
|
|
|
|
|
ty = top + |
t' = t2 + tmax (a — b) — |
+ t7 = |
; |
|||
= tmax [ b + |
(a — b) |
+ tmax —^ -(a — b), |
|
|||
t. e. температурная функция |
|
|
|
|
|
|
ф = фср + ф' —[b + (а — Ь) |
-1— |
(а |
Ь) |
|
||
(обозначения см. на рис. 9). |
температурной функции в фор |
|||||
Подставляя это значение |
||||||
мулы (6) для «температурной» площади и «температурного» статического момента, получим (при одинаковом коэффициен те.линейного расширения по высоте):
3!
|
Ун |
|
|
Ун |
Ft = j |
nkifdF = i nk[b + (a — b) |
]dF + |
J nk(a — |
|
у |
~ У в |
|
|
— Ув |
|
- |
b) - H F ; |
|
|
|
St(z) = j пЦ-ydF = |
Ун |
|
|
|
j nk[b + |
(a — b) |
]ydF + |
|
у—Ув
Ун
-j-| nk(a — b) dF.
—Ув
a n t
Вынесем постоянные из-под интеграла:
Ун |
Ун |
|
|
Ft = k{b + (a — b) -J5-] j |
ndF + к - ^ - j |
nydF; |
|
— Ув |
- У в |
|
|
Ун |
|
Ун |
|
St(Z) = к [b + (а — b) -—-] j |
nydF + к |
j |
ny2dF. |
—Ув |
|
— Ув |
|
Статические моменты площади относительно центра тяжести приведенного сечения обращаются в ноль, а интегралы
32
Ун |
• |
Ун |
ГndF = Fnp |
И |
^ ny2dF = J nP(z); |
—ув |
|
—Ув |
поэтому*
Ft = к[Ь + (а — b) -^-]Fnp; |
St(z) = к—^-JnP(z). |
Подставляя последние выражения в формулу (17), полу чим общеизвестную формулу температурного перемещения при линейной по высоте и постоянной по длине бруса темпе ратуре и одинаковом коэффициенте линейного расширения для данного стержня (К=1)
Amt = Otmax {S [b + (а - b) ^ ] 0)^ + v |
j |
(18) |
(обозначения показаны на рис. 9, а также объяснены выше). Пример 5. Дано : г-образная железобетонная рама с ригелем переменного сечения (рис. 10). Ригель рамы подвер
гается нагреванию, переменному по высоте и по длине, тем пературой, меняющейся по закону (от линии центров тяжести до нижней кромки)
+ _+ |
1 — х |
я1 |
,г |
tyx - tmax — j— • Sin |
h[(2I_ x) |
У- |
|
выше линии центров тяжести (т. е. |
оси X) |
tyx= 0. На рис. 11 |
|
эта эпюра температур показана в аксонометрии. Наибольшая
33