Файл: Долгов, В. А. Температурные напряжения и перемещения в стержневых конструкциях [учебное пособие].pdf

перемещении влево — по направлению силы Р = 1. Вертикальное перемещение середины ригеля

Ар° = a W ( + 5,9 • 10- 3 — • 250 • 1000) = 740atmu,

подставив цифровые значения Ар° = 740-1,1 • 10- 5 - 30 = 0,24 см

(перемещение вверх).

Определение температурных перемещений в криволинейных стержневых элементах, например в арках, показано на рас­ чете двухшарнирной арки (см. пример 10) в главе «Темпера­ турные напряжения и перемещения в статически неопреде­

лимых системах».

Пример 7. Дано : стальная ферма с параллельными по­ ясами (рис. 14). Нижний пояц фермы, например, в горячем цехе, нагревается по линейному закону. Температура гори­ зонтальных полок ti = tm a x ( a = 1), температура верхних кромок вертикальных полок 0,6tmax(b = 0,6). Температуру остальных

40

стержней фермы (решетки и верхнего ^пояса) примем равной

ны по длине стержней, перемещение определяется по форму­ ле (18)

Amt = atmax2 k [Ь + (а Ь) —^

второй член формулы (18) обращается в ноль, поскольку в ферме, как в шарнирно-стержневой системе, изгибающие мо­ менты при узловой нагрузке равны нолю. Коэффициент К = 1 (одинаковый коэффициент линейного расширения).

Для верхнего пояса и решетки произведение

обращается в ноль, так как температура этих стержней рав­ на нулю.

Определив усилия в нижнем поясе от силы Р = 1, прило­ женной по направлению искомого перемещения, получим:

'Ast = tttmax 21 (0,6 + 0,4 )Mj^ = Септах (0,6 + 0,4 pj— )

(—1.2—2,Г) - 300-2 =—2240aW

дй = —1,1.10-5.60-2240 = —1,48 см. (перемещение вниз).

41

Г л а в а II. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ

§ 1. Особенности расчета статически неопределимых систем на температурные воздействия

В статически неопределимых системах возникают допол­ нительные температурные усилия и напряжения вследствие отсутствия в общем случае свободного перемещения опор­ ных закреплений или свободной деформации статически не­ определимого контура. Например, в Г-образной статически определимой раме (рис. 15 а) дополнительные напряжения невозникают (кроме напряжений, вызванных криволинейностью эпюры температур (7)) и консоль рамы свободно перемещает­ ся вверх на величину Лц. . Если же ригель закрепить опорной связью (рис. 156) и превратить систему в статически неопре­ делимую, то перемещение Ап будет равно нулю, а это может

Рис. 15.

быть в том случае, если в опорном стержне возникает уси­ лие X, а в заделке соответственно :— момент М и опорная ре­ акция R = X (в данном случае). Тогда в заданной раме поя­ вятся дополнительные (температурные) усилия — нормаль­ ные силы и моменты. Поскольку здесь речь идет только о тем­ пературных воздействиях, будем в дальнейшем называть их «нормальной силой и моментом в заданной статически неоп­ ределимой системе».

42

Полные температурные напряжения в статически неопре­ делимой системе

где at — температурное напряжение в статически определи­ мой (основной) системе, полученной из заданной отбрасы­ ванием лишних связей, за счет криволинейности эпюры тем­ ператур (7); при линейном распределении температуры это напряжение равно нулю;

a n — температурное напряжение в заданной статичес­

ки неопределимой системе от нормальной силы и момента; определяется как для внедентренно сжатого (растянутого) стержня

здесь Nt, Mt — нормальная сила и момент в том же сечении, где определяется at и которые берутся с окончательных эпюр нормальных сил и изгибающих моментов, построенных для заданной статически неопределимой системы от заданного температурного воздействия.

Полное температурное перемещение в статически неопре­ делимой системе

где Amt — температурное перемещение в статически опре­ делимой (основной) системе, полученной из заданной отбра­ сыванием лишних связей (16) — (18);

Am,n — температурное перемещение в заданной стати­ чески неопределимой системе от нормальной силы и момен­ та в заданной статически неопределимой системе; опреде­ ляется с помощью интеграла Мора после раскрытия стати­ ческой неопределимости

здесь Mt, Nt — аналитические выражения изгибающих мо­ ментов и нормальных сил в заданной статически неопреде­ лимой системе от температурных воздействий;

М, N — то же от единичной силы в основной системе, приложенной по направлению искомого перемещения.

Для изгибаемых систем с прямыми элементами постоян­ ного сечения (балок и рам) существенным будет изгибаю­

43

щий момент и перемещение можно определять по формуле Верещагина

Для ферм при узловой нагрузке изгибающий момент ра­ вен нулю и при постоянном сечении по длине стержней

§ 2. Метод сил при расчете статически неопределимых систем на температурные воздействия

Канонические уравнения метода сил при расчете стерж­ невых статически неопределимых систем (балок, рам, арок, ферм, комбинированных систем) на температурные воздей­ ствия имеют вид:

Х1ЙЦ + X26i2 + ... + xn6m + Ait = О, X1621 + X2622 + ....+ Xn62n + A2t = О,

Xl6nl + Х2бп2 + .... + Хпбпп + Ant = 0.

Смысл каждого уравнения — отрицание перемещения по нап­ равлению отброшенных связей в основной системе от лишних неизвестных и температурного воздействия.

Коэффициенты фк определяются с помощью интеграла Мора или способа Верещагина (для изгибаемых систем из прямых стержней постоянного сечения). Температурные пере­ мещения в основной системе Ац определяются по формулам

(16) - (18).

При силовой нагрузке деформационная проверка заклю­ чается в том, что перемещение по направлению отброшенных связей должно быть равно нулю,

т.е.

где Mi, N1 — аналитические выражения изгибающего момен­ та и нормальной силы от единичного усилия Xi = 1 в основ­ ной системе.

При температурном воздействии это перемещение не рав­

но нулю. В самом деле, «умножив» эпюру Mt на М, получим перемещение Ai (рис. 16а)

44

Поскольку перемещение т. А в заданной системе равно ну­ лю, то необходимо, чтобы

Ait+Ai = 0 ,

т. е.

Ди = А ,

или в общем случае деформационная проверка при темпера­ турных воздействиях будет иметь вид:

<23>

S S

где Ад — температурное «грузовое» перемещение в основной системе по направлению i-той отброшенной связи;

Mt, Nt — аналитические выражения нормальной силы и изгибающего момента в заданной статически неопределимой

( 22).

Пример 8. Дано : трехпролетная стальная рама, ригель которой объединен с железобетонной плитой (рис. 17а)

45

примера 6 , где определялись перемещения в статически опре­ делимой системе. Эпюра температур (нагревается железобе­ тонная плита ригеля) также взята из указанного примера.

2 . Сделать деформационную проверку правильности пост­ роения окончательных эпюр.

3.В опасном сечении определить температурные напряже­ ния по формуле (19).

4.Определить вертикальное перемещение середины риге­ ля по формуле (2 1 ).

Ре ше н и е :

1.Геометрические характеристики (берутся по данным примера 6 , рис. 1 2 )

Закон изменения площади и момента инерции по длине стоек (начало координат — на опорах, в т. В и Л) см. пример б.

46

Изменение высоты поперечного сечения стойки

hx = 60 + 0 , 1 х;

площадь стойки

Fot(x) = 312 + 0,12 х;

момент инерции стойки

J ct(x) = 2,2 • 105 + 8,65 • 102х + 0,78х2 + 1 • 10~4х3;

(собственными моментами инерции полок пренебрегаем и не учитываем толщины полок при определении момента инер­ ции в случае параллельного переноса осей).

2. «Температурная» площадь и «температурный» статичес­ кий момент на ригеле (также берутся по данным указанного выше примера)

Ft = 295 см2,

St(z)== Т" 13200 см3.

(знак плюс потому, что в данном случае ось у направлена вверх).

Стойки рамы в рассматриваемом примере имеют температуру, равную температуре «замыкания». Температура «замы­ кания» — это температура, при которой был закончен монтаж конструкции и конструкция включилась в работу. В этот мо­ мент вследствие наличия свободных температурных деформа­ ций в раме никаких внешних дополнительных температурных усилий не возникает. Поэтому в данном случае температура стоек может быть условно принята равной нулю (по сравне­ нию с криволинейной эпюрой температур на ригеле) и соот­

ветственно для стоек FCTt = 0, SCTt= 0.

3. Канонические уравнения метода сил. Степень статичес­ кой неопределимости (число лишних неизвестных)

п= ЗК — Ш; ;

К— число замкнутых контуров; Ш — число шарниров.

В данном примере

п = 3-3 — 6 = 3

(основная система показана на рис. 176).

47

Канонические уравнения

xifin + Х2 6 1 2 + Х3 6 1 3 + Au = 0 ;

Х1621 + Х2622 + Х36234- A2t = 0;

Х1 6 3 1 + Х2 6 3 2 + X3S33 + Азг = 0 ;

после группировки неизвестных (рис. 17в):

Xi6 n + У2 6 1 2 + Аи = 0 ;

X1 S21 + У2 6 2 2 + A2t = 0 ;

Уз^зз + A3t = 0 .

4. После построения единичных эпюр (рис. 17, д—к) на дятся коэффициенты при неизвестных

—600

+ 6 -1 0 2 - 1• 103-6 • Ю2^ ! . to,1. 2,24-10»= 0=876-10-4 +

+ 0,765 • 10~ 4 = 1,641.10-".

Остальные коэффициенты определяем по Верещагину:

6 22 = 2 ^ - = 1,07-10-4; EJ

пр

5. Грузовые члены (температурные перемещения в осно ной системе) определяются по формуле (17), так как нагре­ вается только ригель, а его сечение и температура по длине постоянны.

48