Файл: Горюшко, В. Е. Планирование эксперимента в бытовой химии [обзор].pdf

Дисперсия коэффициента

случае Д6 = 0,57).

Сучетом значимости коэффициентов

у=32,688— П769Х!— 1,594х2—0,646х3—1,116x^2-

Из полученного уравнения регрессии следует, что моющая спо­ собность в области эксперимента повышается с уменьшением со­ держания компонентов А, В и С.

5. Крутое восхождение по поверхности отклика

На основании использования результатов многофакторного планирования эксперимента Боксом и Уилсоном был предложен комплексный метод поиска оптимума для сложных процессов [1 1 ]. Идея метода заключается в том, что области, далекие от оптимума, аппроксимируются гиперплоскостью у = Ь0-т-Ь1х 1+ ... + Ьпхп, по ко­ эффициентам bj которой определяют направление движения к оп­ тимуму и совершают это движение, пользуясь шаговой процедурой. После выхода в область оптимума аппроксимация гиперплоскостью становится неадекватной и движение заканчивается.

При необходимости исследовать область оптимума, обладаю­ щую большой кривизной, для получения математического описания можно применить центральное композиционное планирование.

Проверка адекватности модели — это проверка соответствия ее экспериментальным данным.

Возможность аппроксимации гиперплоскостью определяют, сравнивая экспериментальное значение критерия Фишера с его табличным значением.

Подсчет дисперсии адекватности желательно производить дву­ мя методами. Это позволит проверить правильность арифметиче­ ских операций. Для указанной цели предлагаются соответственно две формулы:

N k

52

В знаменатель формулы для расчета экспериментальных значе­ ний критерия подставляется дисперсия воспроизводимости.

Для эксперимента с дублированием в вершинах гиперкуба

= N ■— (&+1) и /2 = ^0—1, где По— число параллельных определений в единственной точке.

Например, при планировании эксперимента на пятикомпонент­ ном герметике

F SKc„<F табл*

Линейная модель адекватна.

Если поставлена задача получить интерполяционную формулу, исследование заканчивается получением адекватной модели. При постановке задачи оптимизации далее планируют крутое восхож­ дение к оптимуму.

Расчет крутого восхождения состоит в том, чтобы выбрать шаг движения по одному из факторов и пропорционально произведени­ ям коэффициентов регрессии на интервалы варьирования вычис­ лить шаги по другим факторам.

Фактор, для которого произведение коэффициента на шаг мак­ симально, называют базовым. Для него выбирают шаг крутого восхождения kjK.B. Шаги движения по другим факторам выбирают пропорционально базовому.

Вычислив значение Д ==.*'J'K-n. для базового фактора, можно оп- bjlj

ределить шаг крутого восхождения для других факторов:

^■jk.b=

53

Предсказываемые значения выхода рассчитывают последова­ тельно:

И Т. Д.

Реализуя некоторые из расчетных (мысленных) опытов, выби­ рают наилучший и принимают его за новую отправную эксперимен­ тальную точку. В этой точке выполняют новую серию опытов.

Поскольку по мере приближения к оптимуму возрастают коэф­ фициенты взаимодействия, от серии к серии следует уменьшать шаг.

Рассмотрим оптимизацию рецептуры синтетического моющего средства (пример 2 ) по моющей способности.

Наибольшее произведение bjXj = —3,538 имеет фактор x lt кото­ рый будем считать базовым. : ■ :

Принимая по этому фактору шаг A i k .b = —0,72, получим

-0,72

Л=0,204

-3,538

и соответственно

hi<.B = b2l 2k = -3,188 -0,204= —0,65, А3к.в = &3Х3д = — 0,646 • 0,204= - 0,13.

Как видно из табл. Ш.З, были реализованы опыты 1, 2, 5 и 7. Наиболее высокая моющая способность достигнута в пятом опыте. Многочисленные проверки рецептуры подтвердили высокую мою­ щую способность композиции при пониженном суммарном содер­ жании поверхностно-активных веществ.

6. Планирование эксперимента в области экстремума

Выполнив одно-два крутых восхождения, экспериментатор, как правило, выходит в область экстремума. В этой области линейная модель неадекватна. Эффекты взаимодействия выше линейных или соизмеримы с ними.

Близость области экстремума (почти стационарной) легко уста­ новить, если провести дополнительные опыты в центре эксперимен­ та на нулевом уровне и вычислить отклик у0, являющийся оценкой свободного члена уравнения регрессии: г/о-^-ро.

Величина у0 сравнивается с оценкой Ь0, вычисляемой по форму­ ле (III.5). Поскольку Ьо является совместной оценкой для свобод-

Ъо—yo->~2f5jj может служить оценкой меры кривизны поверхности,

;'=1

по которой можно оценивать адекватность линейной модели.

54

Для описания поверхности отклика приходится пользоваться полным уравнением второго порядка

чем построение планов первого и неполного второго порядка.

Для вычисления коэффициентов регрессии второго порядка не­ обходимо варьировать переменные на трех уровнях. Число опытов полного факторного эксперимента равно 3й.

Бокс и Уилсон [11] предложили сократить число опытов при по­ мощи так называемых композиционных планов. «Ядро» такого пла­ на составляют факторный эксперимент при числе факторов менее 5 и дробные реплики — при числе факторов более 5.

В случае неадекватности линейного уравнения регрессии необ­ ходимо добавить «звездные точки» (число их равно удвоенному числу факторов), расположенные на координатных осях факторно­

При ортогональном планировании коэффициенты регрессии и дисперсии коэффициентов рассчитывают по формулам

N

2 х шУа

(III. 17)

А

(III. 18)

ЫN

2

и = 1

55

Боксу и Хантеру принадлежит идея так называемого ротатабельного планирования, обеспечивающего одинаковую точность предсказанных значений функции отклика на равных расстояниях от центра плана.

Число нулевых точек увеличено с таким расчетом, чтобы сохра­ нить постоянное значение дисперсии функции отклика в окрестно­ сти центра (принцип униформпланирования).

Число опытов и значения а в центральном композиционном ротатабельном планировании: