Файл: Горюшко, В. Е. Планирование эксперимента в бытовой химии [обзор].pdf

Выбор интервалов варьирования — задача трудная, поскольку она не формализована и ее решение зависит от априорных данных о процессе.

Первый этап планирования эксперимента для получения линей­ ной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях. В этом случае число опытов для всех возможных сочетаний факто­ ров N = 2h, где k — число факторов.

Эксперимент, в котором реализуются все уровни, называется полным факторным экспериментом.

Математическая обработка результатов опыта существенно уп­ рощается, если при построении матрицы планирования эксперимен­ та были учтены следующие требования {7—9]:

г = 1, 2, ..., N — номер опыта (строки);

нормировка — сумма квадратов элементов столбца равна числу опытов

N

г = 1

ортогональность — сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю

N

X j i X y i ^ ^ O , j ^ и , У, it 0 ,1 ,2 ,...jk-

1=1

Для построения матрицы планирования эксперимента удобен прием чередования знаков. В первом столбце матрицы знаки фак­ тора меняются поочередно, во втором они чередуются через 2 , в третьем — через 4 и т. д.:

№ опыта *2 *3 У

38

Для движения к точке оптимума достаточна линейная модель

У — ^о~Ь Ьгхг-\- Ь%хг-\- ••• 4~ bhx k, (III. 3)

где Ъо, Ъь .... bk — выборочные оценки коэффициентов.

Точность и достоверность этих оценок нуждаются в статистиче­ ской проверке. Для их расчета используется формула

В задачах математического описания (интерполяции) процесса для оценки взаимодействия факторов представляет интерес непол­ ная квадратичная модель вида

Например, при исследовании композиции СМС потребовалось определить зависимость моющей способности от концентрации ПАВ типа сульфонол и «Прогресс».

По изложенным выше правилам составляется матрица планиро­ вания эксперимента:

39

3. Дробный факторный эксперимент (см. Приложение 4)

Если ставить целью не интерполяцию, а оптимизацию при по­ мощи крутого восхождения к оптимуму, потребуются коэффициен­ ты линейной модели.

Заведомо постулируя линейную модель, можно полагать, что эффекты взаимодействия близки к нулю.

Если в уравнении (III.6 ) заменить взаимодействие х хх2 третьим фактором Хз, для изучения влияния трех факторов окажется воз­ можным вместо 8 опытов поставить 4. Полный факторный экспе­ римент 2 3 разбивается на две так называемые полуреплики ти­ па 2 3-1.

Дробные реплики обозначают как 2h~P, где р — число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия. Для полу­

±1, называется определяющим контрастом. С помощью контраста оценивают смешанные эффекты, т. е. эффекты, которые наклады­ ваются на оценки коэффициентов в результате уменьшения числа опытов.

Чтобы определить, какой эффект смешан с данным эффектом, нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту.

40

Так, например, умножив обе части определяющего контраста

1=Х1ХгХз на Х\, получим xl— Xizx2X3 = X2X3, х2= х 1х3, х3 = Х\Х2. Это значит, что коэффициенты линейного уравнения являются оцен­ ками &l->Pl + p23, &2-»-Р2+ Pl3i 63-Э-Р3+ Р12.

Соотношение, которое показывает, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим.

Рассмотрим пример с заданным генерирующим соотношением X4 = XjX2X3 . Определяющим контрастом в этом случае является 1 = = Х1Х2ХзХ4. Умножая его последовательно на х\, х% х3 и х4, можно получить совместные оценки b\—.>-j3j+ Р234, b2—>-Рг+ Рш. b3—>-рз+ fii24,

&4—>-§4+P123, &12->-р12+ р34, &13-^р13+ Р24, ^23->,р23+Рн-

Заданному генерирующему соотношению соответствует матри­ ца планирования следующего вида:

Применение дробного факторного эксперимента целесообразно в тех случаях, когда коэффициенты при произведениях факторов малы по сравнению с коэффициентами типа bi, диапазон варьиро­ вания переменных мал или ситуация неясна и значимые коэффи­ циенты ожидаются только для некоторых факторов.

Особенность рецептурных и технологических экспериментов со­ стоит в том, что опыты могут проводиться постадийно, причем вто­ рая серия может быть начата после обработки результатов первой серии. Условия проведения последующих опытов можно поставить в зависимость от предыдущих. Очевидно, что нет смысла всегда проводить сразу полный факторный эксперимент, поскольку уровни могут оказаться неправильно выбранными и работу придется пере­ делать.

При постановке 1/2, 1/4 и 1/8 полного факторного эксперимента потери сокращаются соответственно в 2, 4 и 8 раз.

Самым малым по объему работы является планирование из че­ тырех опытов, которое может включать не более трех факторов и позволяет получить только1три независимые оценки.

Восемь опытов можно использовать, чтобы найти три коэффи­ циента bj и все коэффициенты Ьц для полного факторного экспери­ мента при числе факторов п = 3 или четыре коэффициента bj и три коэффициента Ьц при остальных Ьы= 0 для дробного факторного эксперимента при п=4 и т. д,

Число' факторов при восьми опытах не будет превышать семи. Это 1/16-реплика от полного факторного эксперимента 27= 128.

41