Файл: Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 45
Скачиваний: 0
Данное уравнение решается иначе. Если логарифмы
чисел по основанию |
10 |
равны, |
то равны и сами числа, |
т. е. х2 = 81, откуда |
х = |
r t 9. |
|
16. При решении уравнения |
|
||
(3 |
|
19)2 = |
10000 |
многие писали |
|
|
|
3°’5* + 3 8 - 3 ^ + 361 = 10000.и т. д.
Здесь, во-первых, без надобности левая часть возве дена в квадрат, во-вторых, допущена ошибка при возве-
дении в степень 3 |
о кх |
|
как правильно |
|
|||
’ , так |
|
||||||
|
|
^2 Y 0,5.Vy2 |
д2/0,5л: |
|
|
||
Как же следовало решать данное уравнение? |
|
||||||
Извлекая корень |
из обеих частей |
уравнения, получим |
|||||
|
|
3Ко'5* + 1 9 = |
100 |
|
|
||
(в правой части нельзя писать ± |
100, |
так как |
сумма по |
||||
ложительных чисел отрицательной быть не может), откуда |
|||||||
|
^ V 0,5* |
g | ■ g V 0,5* |
g4 |
|
|||
|
1/0,5л: = 4; |
0,5л: = 1 6 ; х = 32. |
|
||||
Проверкой |
убеждаемся, |
что |
х = |
32 — корень |
уравнения. |
||
17. |
Значительная |
часть ошибок при решении логариф |
|||||
мических уравнений является результатом нарушения правил потенцирования и действий над логарифмами.
Примеры. |
|
|
1) Из уравнения |
log4(10 —л) |
2 log, 4 |
bg4 4 -}- |
||
получают |
k>gi* |
l°g4* |
|
|
|
4 [(10 — x) — x\ = |
16 — x. |
|
20
Здесь частное логарифмов ошибочно заменено логариф мом разности.
2) Уравнение
log3* ■log3 (За-) = loga (81а)
решалось так:
log3(За2) = log3(81а);
За2 = 81а;
а= 27.
Врешении допущены две грубые ошибки. Во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во вторых, при решении уравне
ния За2 = 81 |
потерян |
корень а = 0; |
правда, |
этот |
корень |
||||
не является корнем данного уравнения, |
но, |
к сожалению, |
|||||||
абитуриенты |
этого не отмечают. Решение данного уравне |
||||||||
ния должно быть следующим: |
область допустимых |
значе |
|||||||
ний неизвестного а > 0; |
|
|
|
|
|
|
|||
log3A (log33 + log3A) = log3 81 + |
log3a; |
|
|||||||
|
logsA(l + |
log3x) = |
log334-f log3A; |
|
|||||
|
log3A + |
logaA = 41og,3 + |
logaA; |
|
|
||||
|
|
log3A = |
4; log3A = ± |
2; |
|
|
|||
|
ax= 32= 9; a2= 3-2 = |
|
|
|
|
||||
Ответ: |
a2 = 9; a2 = |
-i-. |
|
|
|
|
|
||
3) Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg2 + |
lg (4*~2+ |
9) = |
1+ lg (2*-2+ |
1) |
|
||||
переписывалось |
в виде |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
+ 4х-2+ 9 = |
10 + 2*~2+ 1. |
|
|
||||
Здесь логарифмы чисел незаконно приравнены к самим числам.
21
Данное уравнение решается так:
lg[2(4*-2 -f 9)l = lgll0(2* -2+ l ) ] ,
отсюда
2 (4х-2 + 9) = 10 (2*“ 2 + 1) и т. д.
4) Решение уравнения
4* — 5* = 0
записывалось в виде
lg (4* — 5*) = 0; л: lg 4 — х lg 5 == 0; х (lg 4 — lg 5) = 0;
х = 0.
Ответ получен правильный, но решение порочно. Мо жет возникнуть вопрос: «Почему же решение порочно, если ответ верный?» В решении допущены две ошибки. Вопервых, при логарифмировании уравнения 4х — 5* = 0 IgO принят равным нулю, а в действительности он не суще ствует; во-азторых, почленно прологарифмирована разность (4х — 5х). Одна ошибка исключила другую и получился пра вильный ответ. Покажем, как надо решать данное уравнение:
Деление уравнения на 5х возможно, так как ни при каком значении х степень 5х ф 0. Далее,
Степени числа |
равны, значит, равны и показатели |
этих степеней. Итак, х = 0.
Уравнение, конечно, можно решить и с помощью ло гарифмирования. Логарифмируя равенство
22
получим.
х lg 4 = х lg 5,
отсюда
x (lg 4 — lg 5) = 0; x = 0.
18. Обычно у поступающих в вузы вызывают большие затруднения действия над логарифмами с разными основа ниями, так как абитуриенты либо не знают, либо не умеют пользоваться формулами:
loga N = |
log& Af |
( 1 ) |
|
|
|
log* a ’ |
|
где a > 0; b > 0; N > 0; |
а ф 1; Ь ф 1; |
|
|
1о^ |
= 1 Б ^Г - |
. f 2) |
|
Последняя формула является следствием формулы (1). Незнание формул (1) и (2) приводило к тому, что решения уравнений, содержащих логарифмы, зачастую выполнялись крайне нерационально или с грубыми ошибками. Учитывая это, приведем полное решение некоторых уравнений, пред лагавшихся на вступительных экзаменах.
Пример 1. Решить уравнение
log25 logs* logs* — (2 — log62) log2x log35 = |
0. |
||||
Р е ш е н и е . |
Область допустимых |
значений |
неизвест |
||
ного х > 0. Пользуясь формулой (1), |
перепишем |
уравнение |
|||
в виде |
|
|
log2x- logg5 |
|
|
log25 • logs* |
log2* |
loga2 |
= 0. |
||
log25 |
log23 |
log25 |
|
log23 |
|
После упрощений |
получим |
|
|
|
|
logs* + |
log2x (1 — 2 log25) = |
0; |
|
||
|
log2x (log2x -f 1 — 21og25) = |
0; |
|
||
23
отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
log2x = |
0; |
хх = 2° = |
1; |
|
|
|
|
||
2) |
log2x + |
1 — 21og25 = |
0; log2x = |
log225 — log22; |
||||||
|
|
|
log2A; = |
|
|
25 |
x2 = |
12,5. |
|
|
|
|
|
log2—g-; |
|
||||||
От в е т : xx = 1; x2 — 12,5. |
|
|
|
|
||||||
Пример 2. Решить уравнение |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(logx5 + |
2) logix = |
1. |
|
||||
Р е ш е н и е . |
Область |
допустимых |
значений |
неизвестно |
||||||
го х > 0 (х ф 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пользуясь формулой |
(2), |
перепишем уравнение |
||||||||
|
|
|
(log' 5 + |
2) ' i |
^ |
“ |
1- |
|
||
Освобождаясь от дроби, |
получим |
|
|
|||||||
или |
|
|
log,5 + |
2 = |
log*5 |
|
|
|||
|
|
log?5 — log^.5 — 2 = |
0, |
|
||||||
отсюда |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
log,5 = |
(logA5)i = |
2; |
(log,5)„ = - |
1. |
|||||
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
x2= 5, |
xx = У 5 (учитывая |
область допустимых зна |
|||||||
чений х, отрицательное значение корня не берем); |
||||||||||
2) |
х~ 1= |
5, |
х2 — |
Проверка |
показывает, |
что значе |
||||
ния хх и х2 удовлетворяют уравнению. |
|
|||||||||
О т в е т : |
хх — У 5; х2 = -g-. |
|
|
|
|
|||||
24