Файл: Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 42

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

(знаменатель вычитаемой дроби не разложен на множители

{V x-V ~ a ){V x-\-V ~ a )).

8.Распределительный закон распространяется на извле­

чение корня из суммы и разности.

Примеры.

 

1) у 9 ^ :=:25 = Зх2- 5.

2) Ух* +

16*У + у* = х2 + 4ху + у2.

3) 3a/ ^ W - + y W = \ га? - 2b2 + 2Ь2= / а5 = а.

9. Поверхностное понятие абсолютной величины дейст­ вительного числа и арифметического корня приводило

кневерным заключениям.

Примеры.

1)

] /( 4 - У 32)~2=

4 -

/ 3 2 = 4 -

4 / 2 = 4(1 - / 2).

 

 

/;2 J—

^

М

(по условию

т и п — действи­

 

 

=

т — п

тельные

числа).

 

 

 

 

оч т / * + 1

/ й + 1 ,

, ^ , ч

3)

|/

"(1 — /г)~2~ ~

~~Т~— ife

(по Условию & > !)■

В связи с последними примерами напомним некоторые определения.

Определение 1. Абсолютной величиной действительного числа а называется неотрицательное действительное число, удовлетворяющее условиям

а,

если

а >

0;

|а | = ■ 0,

если

а — 0;

— а,

если

а <

0.

Из определения следует, что а -< | а |.

С понятием абсолютной величины числа тесно связано понятие арифметического корня.

14

Определение 2. Неотрицательное значение корня п-й степени из неотрицательного числа а называется арифме­ тическим корнем.

Примеры.

4) у'81 = 3 — арифметический корень.

5) V ^ l 2 b = — 5 — неарифметический корень.

6) Va2= \а{ =

/

а,

если

а ^

0;

 

 

-

[ — а,

если

а <

0.

74

I7 (а — bf

~

 

| а — ь\

{

1, если а > Ь\

^

а — b

 

а — Ь — 1 — 1, если а < Ь.

 

 

_

f

х3,

если х >

0;

8)

/ х в= | X3

| =

\ — х3,

если х < 0.

Теперь, видимо, нетрудно объяснить ошибки, допущен­ ные абитуриентами в примерах 1) — 3). Очевидно, следо­ вало писать:

1)

У

(4 - V 32)2

(4 -

Y 3 2 )= 4 |/ 2—4 = 4 (Y 2 - 1);

94

l

/ (m + n f _

I

 

 

 

L)

У

(m - n f

I

 

 

/ * 4-1

з)

 

k + 1

■ /* -

 

/ Л +1

У-.(1 — kf

Y( \ —kf~

— (!1 — k)*)

k — l

Попутно заметим, что все правила действий над ради­ калами, изучаемые в школьном курсе алгебры, установ­ лены лишь для арифметических корней. Некоторые за‘бывают об этом и допускают грубые ошибки при подведении мно­ жителя под знак корня.

Например, пишут

— 4 |/ 5 = 1 / 5 - ( - 4)2 = / 5 0 6 = УЧЮ-

На вступительных экзаменах по математике абитуриен­ там часто предлагаются примеры, где требуется дать за­

3*

15

ключение о правильности приведенного решения. Напри­ мер, верно ли

V

1/5 -

 

 

 

 

V n f

 

=

 

= Y ( |/т г ^ v W = j/ V tt - у ъ ?

Ответ следует немедленно:

«Конечно, верно».

В действи­

тельности же совершенно не верно.

Равенство

р"а = р а 2

справедливо

только

при

условии,

что

а

0.

Если же

а < 0, то левая часть

его отрицательна,

правая поло­

жительна. При а <

0

следует писать

\/ а2 =

| / — а. Когда

знак а неизвестен,

надо

записывать

р а2=

у7] а |.

10.При решении уравнений область допустимых зна

чений неизвестного, как правило, не устанавливается, хотя это полезно и выгодно (мы' здесь исключаем случаи, когда установление области допустимых значений неиз­ вестного вызывает большие затруднения).

Например, абитуриенты решают уравнение

lg (* — 5) — lg (3 — 2х) =

1

следующим образом:

 

 

 

 

х — 5

,

х — 5

=

Ю;

lg 3 - 2 *

“ 1 ’

3 — 2*

 

 

х—5 = 3 0 —20л:; 21* = 35; х

5_

=

3 •

Выполняют проверку:

5 ) - 1е ( з - 2 . 4 - ) = 1;

16

Делают заключение: при положительном основании отрицательные числа логарифмов не имеют, значит, корень

х = ---- посторонний. Уравнение решения

не имеет.

Все верно, но

проделано много бесполезной работы.

К такому выводу

можно прийти, гораздо

быстрее, если

установить область допустимых значений неизвестного, пользуясь приведенным определением.

Определение. Множество всех значений неизвестного, при которых обе части уравнения имеют смысл, назы­ вается областью допустимых значений неизвестного.

Установим область

допустимых значений

неизвестного

данного уравнения. Уравнение

имеет

смысл,

если

I х — 5 >

0;

( х >

5;

 

[ 3 — 2х > 0 или

I х ^

3

 

Как видим, система неравенств не имеет решений, а сле­ довательно, и уравнение не имеет решений.

11. Решение двучленных уравнений обычно ограничи­ вается указанием только действительных корней.

Например, уравнение

х3125 = 0

решалось так:

х3 = 125; х = у' 125; х = 5.

Следует его решать

(х — 5) (х2 + 5х + 25) = 0,

откуда

х — 5 = 0; х2 + 5х + 25 = 0 и т. д.

Аналогично проводилось решение уравнения х4—81=0:

х4 = 81; x — y^ei; х = ± 3 .

Следовало его решать

 

 

 

(х2- 9) (х2+ 9) = О,

 

отсюда

 

 

 

 

 

х2— 9

=

0;

х2.= 9; Xi,2 = ± 3 ;

 

х2 + 9

=

0;

х2= — 9;

x3i4 = ±: Зг.

 

12. Часто абитуриенты

неверно

пользовались

методом

аналогии, полагая, что

если произведение равно

единице,

то по крайней мере один из сомножителей равен единице. Имея уравнение

(х -f 1) (х2— х + 1) = 1,

писали'

 

 

* + ■ 1 =

1;

 

х2— х -)- 1 = 1 и т. д.

Данное же уравнение решается очень просто. Заметив,

что левая

его часть есть сумма кубов, получим

 

х3+ 1 = 1; х3 = 0; хг = х2 = х3 — 0.

13. Многие не могли решить такого трехчленного

уравнения:

 

 

 

_i_

 

 

 

 

 

5(х — З) 4 — 6 = (х — З) 2 .

Ошибка у всех была

одна

и та

же. Полагая, что

 

 

( х - 3 ) 2

= z ,

уравнение

переписали

в виде

 

 

 

5z2 -

г -

6 = О

и, конечно, не получили нужного результата.

Где ошибка? Рекомендуем читателю найти ее самостоя­ тельно.

14. Распространенная ошибка — сокращение всех чле­ нов уравнения на множитель, содержащий неизвестное,

18

из-за чего довольно часто происходит потеря корней. На­ пример, уравнение

3х (х2 ~ 2х — 3) = 9 (х2— 2х — 3)

решалось так: сократив члены уравнения на (х2— 2х — 3), получим

3* = 9; 3* = З2; х = 2.

Такое решение приводило к потере двух корней. П& кажем, как следовало решать данное уравнение.

Перенося член 9 (х2— 2х — 3) в левую часть, получим

3* {х2- 2х - 3) - 9 (х2 - 2х - 3) = 0.

Выносим общий множитель за скобки:

(х2 - 2 х - 3 ) (3х - 9) = 0.

Отсюда:

 

 

 

а) х2— 2х — 3 = 0; лу = 3; хг — — t ;

б)

3* -

9 = 0; 3* = 9; 3х =

З2;

= 2.

15.

Уравнение

 

 

 

 

lgx2 =

lg81

(1)

решалось

так:

 

 

 

 

lgx:2 =

lg 92;

 

 

 

2 lg д: =

2 lg 9;

 

 

 

lg ас=

lg 9;

(2)

 

 

x =

9.

 

Решение

неверно,

так как

потерян корень х = — 9.

Это произошло потому,

что при

переходе от уравнения (1)

к уравнению

(2) произошло сужение области допустимых

значений неизвестного. Областью допустимых значений неизвестного уравнения (1) является множество всех действительных чисел, за исключением х — 0, а уравне­ ния (2) — множество положительных чисел.

19

Смотрите также файлы