Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.11.2024

Просмотров: 214

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2. 17. Описать скалярную систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dby-

+

d^y

dy

sin t-у

=

*3

d°-r

cos

л

t

dr

+

r

— -

cos t — - + 2 —— +

— - +

 

—

dt3

^

dft

dt

 

 

 

dfi

 

 

 

dt

 

 

уравнениями в переменных состояния.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 18. Привести пример, показывающий,

что

к неравновесным

системам

принцип суперпозиции неприменим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 19. Используя метод вариации параметров,

решить

задачу

2. 14.

2. 20. Известна базисная функция Xi(t)=e~'

 

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

d2x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt2

' •"3

dt +

2х

=

0.

 

 

 

 

 

 

Путем понижения порядка системы определить вторую базисную функцию. 2.21. Описав систему уравнениями в переменных состояния, решить вновь

.задачу 2. 20.

2. 22. Системы Nt и iV2 описываются следующими уравнениями в перемен­

ных состояния:

Ni(0 = A(Ox(0 + B(Ou(o

у(О = С (0 х (О

v(0 = E(Ov(/)+ F(/)q(0

N2:

w(*) = G(0v(*).

Считая в каждом случае размеры матриц такими, что условия их совме­ стности соблюдены (возможность их перемножения обеспечена), определить уравнения в переменных состояния для каждой из показанных далее систем в целом (рис. П2. 22).

Глава 3

ИНТЕГРАЛ СУПЕРПОЗИЦИИ

Наиболее важным свойством линейных систем, в огромной степени облегчающим их анализ и синтез по сравнению с нели­ нейными системами, является свойство суперпозиции (см. тео­ рему 2. 9).

Это свойство позволяет считать, что, например, при удвоении входного сигнала системы ее выходной сигнал также удваивает­ ся независимо от характера входного сигнала. Непосредствен­ ным следствием этого свойства является то, что переходный про­ цесс линейной системы, возбужденной произвольными входными сигналами при произвольных начальных условиях, может быть найден по известным переходным процессам этой системы на отдельные входные сигналы при определенных начальных усло­ виях. Рассматриваемый в этой главе метод определения пере­ ходного процесса линейной системы связан с вычислением инте­ гралов, известных под названием интегралов суперпозиции. Сле­ довательно, ядра этих интегралов являются величинами, игра­ ющими важную роль при исследовании линейных систем. В этой главе изучаются два часто применяемых ядра, называе­

мых соответственно переходной матрицей и импульсной

переход­

ной матрицей.

 

3. 1. ПЕРЕХОДНАЯ МАТРИЦА q>(t, т)

Учитывая полученные ранее результаты, видим, что непо­ средственный способ определения реакции \(t) системы, опи­ сываемой уравнением

 

 

 

x ( 0 =

A(/)x(*) +

f (t),

(3-1)

на

входной

сигнал

i(t)

состоит

в

применении или

форму­

лы

(2. 105)

 

 

 

 

 

 

 

x(t)

= Ф*-1

(0 Ф* (/„) х0 + j

Ф*-1 (/) Ф* (т) f (t) dt,

(3. 2)

 

 

 

 

to

 

 

 

59

или формулы (2. 122):

 

 

t

[x)dx.

 

x(0 = W(*)W-i(/0 )x0 4-

j" W(/)W-1 (r)f

(3.3)

Согласно формуле

(2. 102), функция Ф*(/) получается из ба­

зиса однородной сопряженной системы, а функция

W ( / ) — и з

базиса исследуемой

однородной

системы. Ясно,

что

определя­

ющими величинами при нахождении переходного процесса ли­

нейной

системы

являются

произведения

Ф*- 1 (^)Ф* (т)

и

W ( ^ ) W - 4 ( T ) . Сравнение выражений (3.2) и (3.3) показывает,

что эти произведения

 

фактически

являются

идентичными. Это

дает основание ввести следующую функцию:

 

 

 

 

 

 

 

<р(/,

т ) = Ф*- 1 (/)Ф*(г) —W(t)W-i(t).

 

 

(3.4)

Здесь ф ( / , т) называется переходной^матрицей

(или

фунда­

ментальной

матрицей,

характеристической

матрицей,

матрицан-

том). Таким

образом,

выражения

(3.2) и (3.3) можно

записать

в следующей форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х (t) =?

{t, Q х 0 +

j 9 (/, т) f (т) dx.

 

 

(3.5)

 

 

 

 

 

 

 

to

 

 

 

 

 

 

 

Д ля

случая свободной

системы [f (^) = 0] дополняющее

реше­

ние, т. е. решение

однородного

уравнения,

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

хс (') = <р(Мо)х0 .

 

 

 

(3.6)

Отсюда

видно,

что

элемент

ц>ц{1,

х)

переходной

мат­

рицы ф(£, т) представляет собой переходный

процесс по <-й пере­

менной

состояния

Xi(t) от единичного начального

условия

по

/-Й переменной состояния

[т. е. Xj(to) — l],

протекающий

в

сво­

бодной системе при нулевых начальных значениях по остальным переменным состояния.

Для случая равновесной

системы

(х0 = 0) выражение

(3.5)

сводится к интегралу

t

 

 

 

 

 

xp(t)=^{t,

x)i(x)dx,

(3.7)

to

 

 

называемому интегралом суперпозиции.

Таким образом,

видим,

что реакция линейной системы на любые выходные сигналы при любых начальных условиях может быть определена по извест­ ным реакциям этой системы, входящим в выражение переход­ ной матрицы.

Решение однородной системы можно получать также, ис­ пользуя сходящийся итеративный процесс интегрирования со­ гласно формуле (2. 79):

х (0 = | г ' х 0 .

(3.8)

i=0

 

60

Принимая во внимание, что оператор Г определяется инте­ гральным соотношением

t

Гх (/) = J' А (т) х (т) dx,

(3.9)

приходим к выражению

 

Гх 0 = ( A(x)xQdx = H1{t, / 0 )х 0 ,

(3.10)

где

 

t

 

H i ( U 0 ) = [ A ( t ) r f t .

(3.11)

'о

Поскольку х0 — постоянный вектор, можно в данном случае рассматривать интегральный оператор Г как матричную функ­ цию:

 

Г = Нг

(/,/„).

 

 

(3.12)

Аналогичным образом, из рассмотрения

 

 

 

r'x0

=

H,(/,

^0 )х0 ,

 

 

(3.13)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

Н, (t, g = f A ( t j

dxx

] А

(т2 )

dx2...

 

A (x^dXi,

(3. 14)

to

 

to

 

 

 

h

 

 

легко заключить, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г' =

Н, (/,*„).

 

 

(3.15)

Итак, подставляя

уравнение

(3.15)

в

уравнение

(3.8), по­

лучим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х ( / ) = Н ( 7 , / 0 ) х 0 ,

 

 

(3.16)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

Н(/,

/ 0 ) = \ Н , . ( / ,

/0 ) =

^ Г

г .

(3.17)

 

 

;=о

 

 

1-0

 

 

Сравнивая уравнения (3.6) и (3.16), находим выражение переходной матрицы в виде равномерно сходящегося бесконеч­ ного ряда

ср(/, *0 )=Vr'.

(3.18)

i-0

 

Далее приводятся два примера, иллюстрирующие примене­ ние формулы (3. 18)

61

Смотрите также файлы