Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2024
Просмотров: 210
Скачиваний: 1
Можно показать, что если k |
векторов базиса известны, то, |
||||
вводя |
матрицу |
|
|
|
|
|
"1 0 |
0 |
• |
xn(t) |
|
|
0 1 о |
• *2l(0 |
|
||
|
О 0 1 |
|
X3k |
W |
|
|
V(/) = |
|
|
|
(2.146) |
|
О О О |
|
|
|
|
|
О О О |
|
|
|
|
можно |
аналогичным |
образом |
понизить |
порядок системы |
|
до п — k.
2.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГЕБРЫ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ОБЪЕДИНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Объединение в одно уравнение двух скалярных дифференци альных уравнений, описывающих соответственно две последова тельно соединенные системы, представляет собой, вообще гово ря, нетривиальную задачу. В этом разделе рассматриваются способы такого объединения, а также правила преобразования дифференциальных уравнений, основанные на использовании алгебры линейных преобразований. Показано (см. задачу 2.22), что при описании каждой из последовательно соединенных си стем уравнением состояния получить уравнение состояния всего соединения в целом не представляет большой трудности.
2.4.1. Анализ. Рассмотрим скалярную систему, описываемую дифференциальным уравнением n-го порядка
|
|
|
d]f(t) _ |
(2.147) |
|
dt1 |
Jaei ' ' |
dt1 |
|
(-0 |
|
|||
|
j-0 |
|
|
|
|
|
j-0 |
|
|
Введем следующие операторные обозначения:
п. п
,d'f{t)_
j-0 |
(=0 |
(2. 148)
где
(2. 149а)
(2.1496)
dt1
48
Описываемая таким образом" система |
графически |
представ |
|||
лена на рис. 2. 1. |
|
|
|
|
|
При использовании введенных обозначений здесь развивает |
|||||
ся метод |
каскадирования |
скалярных систем, т. е. метод пере |
|||
множения |
линейных |
дифференциальных |
уравнений. |
Предполо |
|
жим, что требуется |
найти |
скалярное дифференциальное уравне- |
|||
|
f(t)- |
|
zft) |
•xft) |
|
|
|
|
|
||
Рис. 2. 1. Графическое представление линей ной нестационарной системы, описываемой уравнением (2.148):
/—дифференциальный оператор; 2—интегральный оператор
ние, описывающее систему, состоящую из последовательного соединения следующих двух систем:
У ^ О ^ У |
|
|
(2.150а) |
|
ш4 |
dt1 |
JmJ |
dt1 |
|
1=0 |
|
j-0 |
|
|
У с Д Л ^ ^ У d№d^& |
. |
(2. 1506) |
||
Последовательное соединение заключается в том, что выход первой системы служит входом второй системы, т. е.
x(t) = g{t). |
(2.151) |
1 |
Z |
}'х=9 г |
w |
|
|
i |
|
|
г |
|
\ |
1 l-d |
|
|
1i |
|
|
L |
Li! |
Lc |
|
1 |
* |
|||
1 * |
|
1 |
1* |
|
|
1 |
11 Hi |
|
1 |
|
|
|
|
||||
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
L |
|
_| |
|_ |
|
|
|
|
|
Рис. 2.2. |
Последовательное |
соединение |
|
двух |
си |
|||
стем, |
описываемых |
уравнениями |
(2. |
|
150) |
|
||
Используя введенные уравнением (2. 148) операторы, можно нею систему в целом описать следующим образом:
z(t) = La[X(t)] |
= |
Lb[f(t)], |
(2.152а) |
w{t) = Le\v{t)\ |
= |
Ld[x{t)\. |
(2.1526) |
Эта каскадная система показана |
на рис. 2. 2. |
|
|
49
Так как отдельная система представляется последователь ным соединением дифференциального и интегрального операто ров (рис. 2. 1), предположим, что каскадную систему можно привести к такому виду, как на рис. 2.3.
I
Рис. 2. 3. Возможное представление двух последо вательно соединенных систем, описываемых урав нением (2. 150)
Другими словами, предположим, что можно найти такие опе раторы Z-5 и La, что
|
|
|
|
|
La[w(t)] |
= y(t), |
|
|
|
|
(2.153а) |
|||
т. е. |
|
|
|
Ls[z(t)] |
|
= y(t), |
|
|
|
|
(2.1536) |
|||
|
|
|
/..[да (/)] = /.» [*(/)]. |
|
|
(2.154а) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Подставляя |
выражения |
(2. 152) |
в |
уравнение |
(2. 154а), по |
||||||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
La[La(x)] |
= Lt[La(x)]. |
|
|
|
(2.1546) |
|||||
|
Примем операторы |
L a |
и L b |
в следующей форме: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.155а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1556) |
|
Подставляя |
выражения |
(2. 150) |
и |
(2. 155) |
в уравнение |
||||||||
(2. 1546), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
п |
г |
|
т |
|
. |
-л |
|
т |
|
|
|
•- п |
|
. |
V |
a, { t ) 4 |
V |
а,т'Лш]-У |
ь,и4 |
V « , |
|
||||||||
|
dt1 |
|
JmJ |
|
dt1 |
|
|
JmA |
|
|
dt1 |
J-4 |
|
d t ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.156) |
|
Уравнение |
|
(2. 156) |
можно |
привести |
к |
следующему виду: |
|||||||
|
|
|
|
л |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 2 <*.«>-j |
1 - Й |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
j=0 |
; - 0 ft |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
т |
! |
|
|
d'-kdj |
|
(t) |
dj+kx |
(t) |
(2. 157) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;_0 |
;=0 |
ft=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
|
Приравнивая коэффициенты при одинаковых производных от |
||||||
х(1), |
получим (т + п+1) |
уравнений |
с (т + п + 2) |
неизвестными |
|||
щ((), |
i = 0, 1 , . . . , п, |
6j(t), |
/ = 0, 1,..., |
т. Полагая, |
например, что |
||
un(t) |
= l, получаем |
(т + п+1) |
уравнений |
с (т + п+1) неизве |
|||
стными. Отсюда находим |
операторы |
L a и |
Lb в принятой фор |
||||
ме |
(2. 155). |
|
|
|
|
|
|
|
Вводя дифференциальные |
операторы |
|
|
|||
Lb< = |
Li\Lb |
Lat = Laj |
L c , |
(2.158a)
(2.1586)
получаем последовательное соединение систем, показанное на рис. 2. 4.
Отсюда видим, что скалярное дифференциальное уравнение, описывающее две последовательно соединенные системы, имеет вид
|
|
La.\v(t)\ |
= |
Lb.[f(t)\ |
|
(2.159) |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
La[Lc{v)\ |
= Lt\Lb(f)]. |
|
(2.160) |
||
Это уравнение |
можно |
записать в развернутой |
форме |
||||
|
п |
|
г |
т |
|
- |
|
|
|
|
|
|
\d>v |
(О |
|
|
/=0 |
|
L ;=о |
dt' |
|
||
|
|
|
|
у-о |
|
|
|
|
|
|
|
г |
я |
|
|
|
|
|
|
|
d}f(t) |
(2.161) |
|
|
|
|
|
|
|
dt' |
|
|
|
i=o |
|
L ]=о |
|
||
|
|
|
|
|
|||
После преобразования и иного расположения членов урав |
|||||||
нения (2. 161) получим общую форму |
|
|
|||||
2 2 „ |
|
|
fecy (0 d'+kv (О |
|
|||
|
|
1 - Й |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
/=0 |
;=0 *-0 |
|
|
|
|
|
|
|
771 |
П |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2. 162) |
|
i=0 |
/_0 |
ft-0 |
|
|
dt1 +к |
|
Для удобства |
записи |
каскадирование |
двух |
систем будем |
|||
обозначать как |
операцию определяемого |
далее |
символического |
||||
умножения. Рассмотрим две скалярные линейные нестационар
ные системы, |
последовательно |
соединенные так, как |
показано |
||
на |
рис. 2. 5. Пусть А — скалярное дифференциальное |
уравнение |
|||
(2 |
.150а), |
а |
В — скалярное |
дифференциальное |
уравнение |
51