Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.11.2024

Просмотров: 213

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

(2. 1506). Тогда символическое умножение дифференциальных уравнений обозначается как

С = ВЛ,

(2. 163)

где С — скалярное дифференциальное уравнение

(2.162).

Определим единичный элемент как систему, вход и выход которой при нулевых начальных условиях одинаковы. Легко ви­

деть, что описываемая

уравнением

(2.148) система

является

la<('(t)) =

Lbr(f(t))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La(LcM)=L#ab(f))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

i -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2. 4. Операторное

представление

Рис. 2. 5. Символическое

представле-

последовательного

соединения

двух

 

ние каскадирования

двух

систем

систем,

описываемых

уравнения­

 

 

 

 

 

 

 

ми (2. 150)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

единичным элементом,

если

Ьа = Ьь, т. е. если

дифференциаль­

ное уравнение системы имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

^ 4

 

dt1

 

 

 

dt1

 

 

 

(2.164)

 

 

 

 

 

i=0

 

 

 

 

 

 

/ - 0

 

 

 

v

 

 

 

 

 

Такая

система,

символически обозначаемая

как /,

показана

на рис. 2. 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система В

называется

мультипликативно

обратной

систе­

ме А, если

 

 

АВ = 1.

 

 

 

 

(2. 165)

 

 

 

 

 

 

 

 

Мультипликативное

обращение

А символически

обозначает­

ся через А-1. Мультипликативно

обратные системы

показаны на

рис. 2.7,

откуда видно, что В

мультипликативно

обратно А,

если

 

 

 

 

 

2п

^ (/)-dtd '1

 

 

 

 

 

 

 

L d

= L

 

 

 

 

(2.166а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.1666)

Следовательно,

обратная

система описывается

уравнением

 

 

jLi

 

dt1

 

—A

dt1

 

 

 

(2. 167)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1=0

 

 

 

y=U

 

 

 

 

 

52

Сложение двух

дифференциальных уравнений символиче­

ски представлено на

рис. 2. 8, а. На рис. 2. 8, б—ж показано, что

сложение — пошаговый процесс и что, определяя некоторый опе­ ратор Ьь, можно сложение двух дифференциальных уравнений осуществить достаточно просто.

•x=f

Рис. 2. 6. Единичный элемент

 

2.4. 2. Синтез. Метод синтеза может быть разработан на ос­ нове операторной алгебры и, в частности, понятия мультиплика­ тивного обращения, рассмотренного в предыдущем разделе. Процедура синтеза существенно упрощается при использовании схемы на рис. 2. 9. Здесь К и G — символические обозначения дифференциальных уравнений, связывающих входной и выход­ ной сигналы соответствующих блоков.

Рассматриваемая здесь задача синтеза заключается в опре­ делении дифференциального уравнения, описывающего компен­ сирующую систему К, при известном дифференциальном урав­ нении объекта G и заданном дифференциальном уравнении всей системы W.

 

А

 

В=А1

•v=f

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

1

 

Гв =А~1

 

~i

 

I

Z

\х=д

1

 

I

 

 

i

• V=T

I*

La'

1

1* l-d

Li

i

%

iI

 

1

|

 

I

 

 

 

I

 

 

1

 

 

L

_ i

6)

L

 

-J

 

Рис. 2. 7. Мультипликативно обратные системы

Преимущество применения в задаче синтеза операторной ал­ гебры заключается в том, что она использует очень простые по­ нятия. Все преобразования можно выполнять в символической форме, а числовой анализ производить лишь в конце процесса.

Например, обозначая символом (•) операцию, заключаю­ щуюся в преобразовании дифференциальным уравнением одной переменной в другую, можно дифференциальное уравнение всей показанной на рис. 2. 9 системы записать как

y{t) = W-u{t).

(2.168)

53

Итак, легко показать, что

W = QK(I + GK)-l = {I + GK)-WK.

(2. 169)

Следовательно, при известных W и G процесс синтеза закан­ чивается определением дифференциального уравнения К соглас­ но соотношению

K = Q-1{f-W)-1W

= Q-1W{f-W)-1.

(2. 170 >

eft) vft)

К

W

Рис. 2. 9. Схема с единичной обратной связью

Пример 2. 6.

Изложенный процесс синтеза проиллюстрируем, рассматри­

вая следующую

задачу. Пусть на рис. 2. 9 G представляет дифференциальное-

уравнение

 

 

 

(2.

171)

Необходимо определить такое дифференциальное уравнение К, чтобы диф­ ференциальное уравнение всей системы W было

d4(t)

d%(t)

(2. 172>

_

+ 2 — + * < o = « W .

Формируем дифференциальное уравнение / — W, выполняя процесс сло­ жения:

d2Z (t)

 

dz(t)

d*y(t)

 

dy(t)

173>

dt*

 

dt ~

dt*

 

dt

(2.

 

+

 

 

+ 2

 

+ Ш >

 

где z(t) — входной, a y(t) — выходной сигналы.

Затем формируем дифференциальное уравнение (/— W)-iW:

dty (О

dy (t)

(2.174>

dP

dt

 

После этого, в соответствии с формулой (2. 170), находим дифференциаль­ ное уравнение

d*e (t) +f2

+ 3e~l \

de (t)

+ (1 + e~') e (0 =

 

dfi

e

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d^v (t)

•4е~*

dv(t)

2 -f

3e~'

v(t).

(2. 175)

d&

—t

dt

+ 1 +

e~'

 

 

Компенсирующая система К, полностью определяемая уравнением (2. 175), легко реализуется при использовании обычной техники аналогового моделиро­ вания.

55

Описанный метод синтеза сводится к нейтрализации влияния объекта введением компенсирующей системы, которая обеспечи вает также желаемые свойства разомкнутой системы. Как и вся­ кий метод компенсации влияния объекта, описанный метод обла­ дает недостатками, к которым относятся: 1) сложность компен­ сирующей системы; 2) невозможность точной компенсации по технологическим соображениям. Однако, несмотря на эти недо­ статки, изложенный метод синтеза представляет ценность, так как сразу приводит к желаемой цели и является практически реализуемым.

Ограничивая выбор дифференциального уравнения W всей системы (разность порядков интегрального и дифференциаль­ ного операторов всей системы W должна быть равна или боль­ ше такой же разности для постоянной части системы G), можно развить простой приближенный метод синтеза, причем компен­ сирующая система не обязательно должна нейтрализовывать влияние объекта [11].

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

 

 

 

 

1.

 

Б е л л м а н

Р. Теория устойчивости решений дифференциальных

урав­

нений. М., ИЛ,

1954.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

Д е р у с с о

П. М. и др. Пространство

состояний в

теории управления.

Для

инженеров. М., «Наука»,

1970.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

З а д е Л. и

Д е з о ер .

Теория

линейных

систем. Метод

пространств.!

состояний. М., «Наука», 1970.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

К о д д и н г т о н

Э. и Л е в и н с о н

Н. Теория

обыкновенных дифферен­

циальных уравнений. М., ИЛ, 1958.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

П е т р о в с к и й

И. Г. Лекции

по

теории

обыкновенных

дифференци­

альных

уравнений. М.,

1964.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

В i г к о f f,

R.,

a n d

G. R о t a,

Ordinary

Differential

Equations,

Bos­

ton,

1962.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

H o c k s

t a d

t, H., Differential Equations, Holt,

New

York,

1964.

 

 

8.

К i n a r i w a 1 а В., «Analysis of Time—Varying Networks*,

IRE Internatio­

nal Convention

Record, vol. 9, part 4 (1961),

pp. 268—276.

 

 

 

 

 

9.

 

M i l l e r

K., Linear Differential Equations

in the Real

Domain, Norton,

New

York, 1963.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!0.

S c h w a r z

R., a n d

F r i e d l a n d ,

Linear

Systems,

MsGraw-Hill,

New

York, 1965.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

S t u b b e r u d ,

A., A

Thechnique

for the Synthesis of Linear Nonstatio-

nary

Feedback

Systems — Part

II: The

Synthesis

Problem,

I E E E

Transactions

on Applications

in Industry, vol 67, (July, 1963),

pp. 192—196.

 

 

 

Задачи

2. 1. Проверить уравнение (2. 12).

 

 

 

2. 2. Найти в форме интегрального выражения решение

уравнения

x(t)

+ cos t-x(t)

=

e~sia *

 

при начальном условии х(0) =

1.

 

 

 

2. 3. Показать, что выражение

(2. 6)

и,

следовательно,

выражение (2. 16)

справедливы лишь, когда a0(t)

не обращается в нуль на [а, Ь].

2.4. Доказать неравенство (2. 44).

2.5. Доказать неравенство (2. 45).

2.6. Доказать неравенство (2. 46).

56

2.7. Используя формулу (2.79), найти решение однородного скалярного уравнения

x(t) — ax(t) = 0,

x(to)—Xn.

2.8. Привести подробные аргументы, позволяющие получить из уравнения (2. 73) уравнение (2. 74).

2. 9. Привести подробные аргументы, позволяющие сделать вывод о непре­ рывности вектора x(t), получающегося из (2.58).

N1

у=д

N2

а)

Рис. П2. 22. Система в зада­ че 2. 22

 

 

. l t = =

N2

<=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 10. Используя формулу

(2.79), определить решение однородного скаляр

ного уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t)

— tx=0

 

дг(0) =

1.

 

 

 

 

2.

Используя

формулу

(2.79), определить

решение

однородного

урав-

нения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х\

(О

 

 

 

 

 

'xi

(ty

~xi (0)-

-

И

 

 

 

 

х2

(t)

 

 

 

 

 

. х 2

00

*2(0).

 

 

2.12. Из теоремы .2.3 вывести ограничения, которые должны быть нало­

жены

на коэффициент

a0(t)

скалярного

уравнения

(2.29),

чтобы решение су­

ществовало и было единственным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 13. Вывести уравнение (2.81).

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 14. Используя

формулу

(2. 105), найти

решение уравнения

 

 

XI

(0

 

-

0

 

Г

'xi

(()'

+ '

0 "

'•MOV

' Г

 

 

х2

(t)

 

 

— 2

— 3

х2

(О.

 

 

х2

(0)

.0

 

2. 15. Выбрать п начальных условий

xt(t0),

t = l , . . . ,

п,

при которых

полу­

чается п линейно независимых решений однородного уравнения

(2. 84).

 

2. 16. Вывести выражения

(2. ЗЗБ) — (2. ЗЗД).

 

 

 

 

 

57

Смотрите также файлы