Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

Умножая

неравенство

(2. 48)

на

положительную

величину

е _а|<,-/,1 f п о л у ч

и м

и

| Г х ( У е - " 1 ' ' - ' ° | <

j \А(х)\\е-4т-Ых(х)\е—Чг*»№-''1<1х.

(2.49)

to

В соответствии

с выражениями

(2.41),

(2.43) и

условием

^о<т<;^1 неравенство

(2. 49)

преобразуется

в неравенство

|Гх (ф-*»'-<о\

< ||А (0|| Цх (0Ц

j

ег«*т

dx,

(2.5Q)

где & — т ) > 0 .

Так как

[

e - « « . - O d < r = — [1

< —

,

(2. 51)

J

а

а

<0

неравенство (2. 50) принимает вид

| Г х ( У ^ - - ' » 1 < ^ - | | А ( / ) | (

||х(01|.

(2.52)

Используя уравнение

(2. 43), получим

||Гх(/1 )||=/.и.&.|Гх(/1 )е-а 1^-'о1| =

|Гх(Ое - а 1'' - '»1,

(2.53)

|| Гх & ) | | = |Гх & ) | e - l ' . - ' . ' < -1-1|А (0|| ||х (0||,

(2. 54)

или просто

| | Г х ( 0 | | < ^ - | | А ( 0 | |

||х(0||.

(2.55)

Поскольку неравенство

(2.55) справедливо при любом а > 0 , вы­

берем

а > - 1 | | А ( 0 | | ,

0 < А < 1 .

(2.56)

Тогда

k

А > - 1 | | А ( 0 | | .

(2.57)

Объединяя неравенства

(2. 55) и (2. 57), получим

| | Г х ( 0 К * | | х ( 0 | | .

(2.58)

Аналогичным образом можно показать, что

| | Г « х ( 0 Ц < Л я | | х ( 0 1 | .

(2.59)

Следовательно,

2

г ; х (о

< 2

нг'х (он <

2

I I х (он-

(2.60)

/ - 0

||

1-Х

1-1

х0 (/),

х х

( / ) , . . . , х „ ( * ) , . . . ,

(2.61)

равномерно сходящуюся

на интервале [а, Ь] к решению

уравне­

ния

(2. 38), т. е.

l i m | x ( / ) - x „ ( / ) | =

0.

(2.62)

Если это построение

выполнено, то \imxn(t)

удовлетворяет

л->-оо

уравнению (2. 39) и, следовательно, является

решением

однород­

ного

уравнения

(2.38). В

качестве

такой

последовательности

векторов введем

последовательность

Х о ( 0 « „

(2.63)

и

х „ ( 0 ^ х 0

+ Г х л _ 1 ( 0 ,

« = 1 , 2 , . . .

(2.64)

Отсюда находим

х 1 ( 0 =

х в + Г х 0

= (1 + Г)х 0

(2.66)

х 2 ( 0 = х 0 + Г Х 1 = (1 + П + Г 2 ) х 0

и по методу индукции

х л ( 0 = ( 1 + Г + . . . + Г " ) х 0 .

(2.67)

При

т<^п

х л (*) -

хт

(0 =

(Г»+1 + Г » + а + . . . + Г») х0 .

(2. 68)

Согласно неравенству

(2. 60)

можно

уравнение (2. 68) запи­

сать в виде

Цх„ ( / ) - х т

<

( * т + 1

+ £ т + 2

+ . . . + k » )

||х0 ||.

(2. 69)

При коэффициенте k, подчиняющемся условию (2. 56),

Кт+\

- = #»+1

+ #"+я

+

. . . + k n - \ - . . .

(2.70)

1 —А

Следовательно,

,т+1

(2.7i;

k m + i ^ . k m + 4 - . . . + k n < c j — ^

| х я ( 0 - х т ( 0 1 К ^ | | х „ | | .

(2.72)

l i r a | | x n ( 0 - x m ( 0 l N 0 ,

(2. 73)

что равносильно

hm\xn(t)~xm(q

=

0.

(2.74)

Таким образом, последовательность

(2.61) равномерно схо­

дится на интервале [а, Ь] к некоторому

непрерывному

вектору,

х(*) =

И т х я ( * ) = У Г ' х в .

(2.75)

/to

Переходя в уравнении

(2. 64)

к пределу при п—voo,

получим

Пт х„(t)= И т х 0

+ И т Г х л _ ! (*).

(2. 76)

Поскольку Г не зависит от операции предельного

перехода,

то

х(*) = х„ + Гх(/)

(2. 77)

или, учитывая определение Г, получим

t

(2.78)

х (t) =

х 0 - f \ А (т) х (т) dx.

'о

является искомым

решением

однородного

уравнения (2.38).

Итак, решение уравнения (2. 38) имеет вид

х ( о = 2 г % .

(2.79)

I - 0

Выражение (2. 79) можно

использовать

при нахождении ре­

шения

линейного

однородного

дифференциального

уравнения

(2. 38)

в форме равномерно сходящегося бесконечного

ряда. Та­

ким образом, существование решения доказано.

Приводимые далее примеры иллюстрируют применение фор­

мулы

(2. 79).

Пример 2. 2. Найдем решение линейного однородного уравнения

"0 Г

'XI (О1

\Xi ( 0 ) 1 = Г 1 1

. 1 0 .

J'

1*2(0))

L 0 J •

Используем формулу

(2. 79),

где

Г 0 х 0 =

*

г а

т л

" 1'

t

" 0 "

-

" 0

х

'

П х 0

=

1

0 _

.0 .

dx

=

1'

1

dx

=

j

t

0

r

С "0

т

f °1 rfT =

f

" T2 "

Г 2 Х п

.\)

\

J"

1

0

u

J

0

0

0

0

0

т

-

х з

-=

"

0

~

0 "

ГЗх, - и

3

dx

dx

= 1

:

0

-1

тз

/4

,3

_

.12

Следовательно,

1 +

у < »

+ .

х ( 0 =

V,

r'jco

=

1=0

" i i (О

о

Г

* i

(О"

-*1 (<о)

"Г

> 2

(О

— 2

—3

_*2 (О

_*2 (*0>

_

0

Используем формулу

(2.79), где

Г О Х о

=

П х 0 =

"tof

0

1

1

dx

=

0

— 2

0

2

е-'о),

О

1

0

Г

Г

Г 2 Х ( 1

=

— 2 —3

— 2 --з.

0 (х — t0) dx =

О

Пi 2] Г2 [Пr

( * - * „ ) 2

. —2

— 3 J

[О

2

О

П " П

(< - *о)"

2—3

О

л!

Следовательно,

О

П '

(f -

<о)'

"1

•2

- 3

/!

О

3593

33