Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.11.2024

Просмотров: 215

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Это решение можно переписать в итеративной форме:

 

 

t

 

хп

(/) = cos mt-|——

\ хп-г(х) cos 2ах sin m(t~x)dx.

(7. 134)

 

т

J

 

 

 

о

 

Принимая в качестве нулевого приближения

 

 

 

 

x0(t) — c<ysmt,

(7.135)

путем подстановки этого выражения в правую

часть уравнения

(7.

134)

найдем

следующее

выражение первого приближения:

хх

(t) =

cos mt

—~- cos (т +

2а) t

,

cos mt

cos (m — 2a) t

 

 

 

2a (m + a)

-

nfl — a?

2a (m — a) J

 

 

 

 

 

 

 

(7. 136)

Таким образом, приближенно определена полная система ба­ зисных функций уравнения Матье.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Б е л л м а н Р. Теория устойчивости решений дифференциальных урав­ нений. М., ИЛ, 1954.

2.М а к-Л а к л е н Н. В. Теория и приложения функций Матье. М., ИЛ,

1953.

3.

У и т т е к е р

Э. Т., и В а т с о н

Дж. Н. Курс

современного

анализа.

М„ Физматгиз, 1962.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

C e s a r i ,

L.,Asymptotic Behaviour

and Stability

Problems

in

Ordinary

Differential Equations, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin,

1963.

 

 

 

 

5.

F 1 о q u e t,

M., Sur les

equations

differentielles

lineaires

a

coefficients

periodiques, Annales

Scientifiques

de l'Ecole Normale Superieure, series 2, vol. 12

(1883),

pp. 47—89.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

K a p l a n ,

W., Operational Methods

for Linear

Systems,

Addison-Wesley,

Reading, Mass.,

1962.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. L e e , I., On the Theory of

Linear

Dynamic Systems

with

Periodic

Para­

meters,

Information and Control, vol. 6,

(1963), pp.

265—275.

 

 

 

 

8.

P i p e s ,

L. Matrix Solutions of

Equations of

the

Mathieu-Hill

Type,

J . Appl. Physics, vol. 24 (1953), pp. 902—910.

 

 

 

 

 

 

 

9.

S m i t h ,

0. J . , A Method of Solving Mathieu's Equation,

A I E E

Trans.,

vol. 74, part. 1 (1955), pp. 520—525.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи

7. 1.

Показать, что

<p0(kT)=Ch.

сделано заключение, что перио­

7. 2.

Из уравнений

(7.38)

и

(7. 39) было

дическая

система асимптотически

устойчива,

если

п различных характеристи­

ческих корней Сг, i=\

п

лежат внутри круга

единичного радиуса с цент­

ром в начале координат комплексной плоскости. Показать, что такое заклю­ чение справедливо и для случая, когда характеристические корни не являются различными.

229

7.3. Используя дискретную переходную матрицу, определить, имеют л» приводимые ниже системы периодические решения (если имеют, то каков пе­ риод); имеют ли эти системы устойчивые решения:

F(t)

 

 

1.

х

=

(sin

*)

х,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

х = (sin2 *)

х,

 

 

 

 

 

3.

*х=

— ( s i n 2 * ) * ,

 

 

 

 

 

 

 

 

,

1

 

 

 

 

 

 

 

 

х

=

J —

sin2 * I

x,

Г,

^

 

5.

x

=~

(~

 

sin2

*

x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. П7.4.

 

 

6.

je =

(l

+

sin2 *)

x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

x=

—

(l+

 

sin2 *)

x.

7.4. Исследовать устойчивость

системы,

описываемой

 

уравнением

d2x

+ F

dx

x =

 

0,

 

 

 

 

 

 

d*2

it) — +

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где график периодической функции F(t) показан на рис. П7. 4.

7. 5. Показать, что система, описываемая уравнением

 

 

 

d2 x

„

 

X : :0,

 

 

 

-dW +

G « )

T t +

в случае периодической функции G(t),

подчиняющейся условию

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

[а

(*)

d*<0 ,

неустойчива.

 

 

 

 

 

7.6.

Доказать,

что

матрица

R(*), определяемая выражением (7.27), пе­

риодическая, имеет непрерывные производные и неособая.

7. 7.

Доказать,

что

замена переменной

согласно уравнению (7. 95) приво­

дит уравнение (7.94) к канонической форме

(7.96).

7. 8.

Привести

дифференциальное

уравнение второго порядка

 

 

(Рх_

 

dx

 

x — sin *

 

 

dP

 

dt

 

 

 

 

кканонической форме (7.96).

7.9.Привести дифференциальное уравнение второго порядка

d2x

dx

—— +

(1 + cos *) — + sin * x = 0

d*2

dt

к канонической форме (7.

108).

7.10.Используя способ аппроксимации, изложенный в разделе 7.5.3,

определить решение линейного дифференциального уравнения второго поряд­ ка в задаче 7.9 [начальные условия: д:(0) = 1, *(0)=0]; используя таблицу 7. 1,

230

исследовать устойчивость решения.

Дать точное решение

на интервале

[200 ж, 202 я].

 

 

7. 11.

Вывести уравнение (7. 117)

из уравнения (7. 116).

 

7. 12.

Показать, что определитель дискретной переходной

матрицы С, оп­

ределяемой уравнением (7. 118), равен единице.

 

7. 13.

Используя результаты разд. 7.5.3 и 7.5.4, получить решение диф­

ференциального уравнения

 

 

сР-х

•+ (1—2 cos 20* = О

х(0) = 1, *(0)=0

в первом и во втором приближениях. Сравнить эти приближения и оценить разницу.

Глава 8

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

СПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

8.1. ВВЕДЕНИЕ. СРАВНЕНИЕ С ЛИНЕЙНЫМИ СТАЦИОНАРНЫМИ СИСТЕМАМИ

Чтобы лучше понять специальные проблемы, связанные с ис­ следованием устойчивости линейных систем с переменными па­ раметрами, остановимся сначала на понятии устойчивости ли­ нейных систем с постоянными параметрами, уделяя особое внимание возможным неясностям в определениях. В частности, довольно часто путают понятия устойчивости и резонансности.

Определение 8. 1. Линейная система называется устойчивой, если выходные сигналы y(t), соответствующие некоторому вход­ ному сигналу и(^), при различных начальных условиях с тече­ нием времени сближаются. Следовательно, для системы, описы­ ваемой уравнениями

x(/) = A ( / ) x ( / ) + B ( / ) u ( 4 х(*0 ) = х,

(8.1)

y(t) = C(t)x(t),

должно быть справедливо при всех х0 следующее условие:

(8.2)

Эквивалентная формулировка: линейная система устойчива, если переходный процесс на выходе свободной системы от произволь­ ных начальных условий х0 при t—>-оо стремится к нулю.

Определение 8.2. Линейная система называется резонанс­ ной, если некоторому ограниченному * при t^O входному сиг-

* Далее символом ||х(7)|| будет обозначаться норма вектора х(*), а сим­ волом |[А(*)||— норма матрицы А(*). В частности, принимаются следующие

определения нормы:

 

п

(8.2А)

||Х {Щ = 2 |Х;

л

л

 

пА (он = 2

2 Iй " (01-

(8.2Б)

232

налу

u(t)

(llu(/) || <const.)

соответствует

неограниченный при

t^O

выходной сигнал y(t).

Система, не являющаяся

резонанс­

ной, часто называется устойчивой

в смысле

о. в. о. в.

(ограничен­

ный вход •— ограниченный выход).

 

 

Следовательно, понятие

устойчивости

системы

заключается

в том, что

переходный процесс

от любых

начальных условий с

ростом времени стремится к нулю, т. е. система устойчива, если

Нт[С(Л«р(*Л)х0 ] = 0.

(8.3)

С другой стороны, понятие нерезонансной

системы заклю­

чается в том, что если \\u(t)

\\ = Ки, то

 

f Q(t,

x)u(x)dx

(8. 4)

где Ки и Ку — конечные постоянные величины. В общем случае понятия устойчивости и нерезонансности не эквивалентны, т. е. система может быть устойчивой и резонансной. Однако частая путаница обусловливается здесь тем обстоятельством, что боль­ шинство разработчиков имеют дело с линейными стационарными системами, для которых понятия устойчивости и нерезонансности обычно совпадают.

Теорема 8. 1. Для полностью управляемой линейной стацио­ нарной системы

х(Л = Ах(Я + Ви(Л, х(/0 ) = х0 , у(Л = Сх(Л

с импульсной переходной матрицей Q(t, х) эквивалентны следу­ ющие утверждения:

а)

система

устойчива,

 

б)

система

нерезонансна,

 

в)

j * ||Q( \dt = K < о о .

(8. 5)

 

'о

 

 

Доказательство. Если линейная стационарная система устой­ чива, то каждый элемент.импульсной переходной матрицы Q(t) имеет вид

 

(8.

6)

где Re[sr ]<;0, a kr-—конечное

неотрицательное целое число при

всех г.

 

 

233

Смотрите также файлы