Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

Скачать файл (9,19Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.11.2024

Просмотров: 212

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Нетрудно видеть, что

оо
^\^lJ(t)\dt	= KlJ<oo.	(8.7)
Таким образом, из определения нормы		согласно уравнению
(8. 2Б) следует справедливость	уравнения	(8.5). Реакция равно

весной системы на возмущающую функцию опоеделяется фор мулой

		yp(t)='^Q(t-x)u(x)dx					(8.8)
			to
или эквивалентной		формулой
		yp(t)	= ^ Q(x)u(t-x)]dx.				(8.9)
Отсюда			to
Отсюда
	\\УР(Щ<		(	Н З Д \|\|u(^ - t)\|\|rft .			.
Если	сигнал u{t)	ограничен, т. е. \\u(t)			\\ =Ки<.°°,		то
	НУР (011 <		Ка	{ ЦП (т)\|\| dx <	КиК.		(8.11)
Следовательно, ограниченный входной сигнал вызывает ог
раниченный выходной сигнал, т. е. система						нерезонансна. Ис
пользуя	аналогичную аргументацию, можно					придти	к выводу,

что нерезонансность системы означает устойчивость этой систе мы. Однако в этом случае для обеспечения однозначной связи

между соотношением вход — выход и состоянием	системы	тре
буется полная управляемость системы. Следует	отметить,	что
если необходима устойчивость в более строгом	смысле, когда
при всех начальных условиях и t—*-оо стремится	к нулю	как
вектор состояния х(/), так и вектор выходного сигнала y(t),		то
помимо управляемости требуется также и наблюдаемость		си
стемы.

В линейной нестационарной системе устойчивость и нерезо нансность не обязательно эквивалентные понятия. Это иллюст рируется приводимым далее примером.

Пример 8.1. Рассмотрим систему первого порядка, описываемую уравне нием

Решением свободной системы	(f(t)—0)		при начальном условии х ( 0 ) = х о
является
Хс (t)	=	2
Хс (t)	=	-	X q .
w	t	+ 2

234

Нетрудно видеть, что все решения однородного уравнения ограничены и

tim [xc(t)]=0,	а это	указывает	на	устойчивость системы. Решение			неодно-
t -*оо
родного уравнения имеет вид					t
					t
		2			г т> + 2
		t + 2		u	J * + 2
					о
Следовательно, для случая,			когда		f(t)	— единичная ступенчатая	функция,
е. /(/) = 1 при t^O,		решение	принимает			форму

так что

2		1	2
t +2	"	2 у	' t + 2
lim	[х	(t)] =	оо.

t оо

Видим, что данная система имеет неограниченный выход x{t) при огра ниченном входе f(t). Таким образом, система резонансная и в то же время

устойчивая.

Этот пример показывает, что одна лишь устойчивость еще не означает нерезонансность. В следующем разделе доказывается, что выполнение дополнительного требования, состоящего в экс поненциальном затухании переходного процесса, достаточно для обеспечения нерезонансности. Для устойчивых линейных систем с постоянными параметрами это требование, конечно, выпол няется.

8.2. РЕЗОНАНСНЫЕ СИСТЕМЫ [19]

Вэтом разделе критерий нерезонансности выражается чеоез импульсную переходную матрицу.

Теорема 8.2. Скалярная линейная система нерезонансна в смысле определения 8. 2 (устойчива в смысле о. в. о. в.) тогда и только тогда, когда

t
\\Q{t,x)\dx = K<oo.	(8.12)

Доказательство. Достаточность доказывается исходя из пред положения, что входной сигнал u(t) ограничен, т. е. \u(t)\=Ku- Тогда

\Ур(*)\<Ки	( \Q(t,x)dx^KuK.	(8.13)
	to
Необходимость доказывается от противного.		Предположим,
что система нерезонансна и в то же время
ti
f	\Q(t,x)\dx = oo.	(8. 14)

235

Так как

	л
Ур((1)=\	Q(t1,x)u(x)dx,	(8.15)

то, выбирая ограниченный входной сигнал в виде

«(/) =	sign 9 (/,,/),	f
для выходного сигнала получим величину
УР{к) =	] P & , * ) \| d t ,
	to

(8.16)

(8.17)

которая в соответствии с уравнением (8.14) бесконечно велика. Но это противоречит первоначальному предположению о нерезонансности системы.

Следствие 8. 2. Линейная система нерезонансна в смысле оп ределения 8. 2 (устойчива в смысле о. в. о. в.) тогда и только тогда, когда

^\\Q(t,x)\\dx = K<oo.

(8.18)

Доказательство. В соответствии с теоремой 8. 2 каждый эле мент inij{t, х) импульсной переходной матрицы удовлетворяет неравенству

\\uti{t,x)\dx	= Ktj<<x>.	(8.19)
to
Тогда из определения нормы матрицы, выражаемого уравне
нием (8. 2Б), следует, что

j iiQ(*,t)iidt=/c<2 2^<°°'		(8-20>
to	i=l j=l

что и доказывает достаточность. Необходимость, как и в теореме

					ti
8. 2, можно доказать от противного: если					^ \|\|й(^, т)\|\|^т = оо,
		ti			to
		ti
то для некоторых / и /		J К; -(^,x)\dx		= co\ далее доказательство
		to
приводится как в скалярном случае.
Существенные сведения об асимптотическом поведении ли
нейных	нестационарных	систем можно			получить,	сопоставляя
свойства	устойчивости	(определение		8. 1) и резонансности (оп
ределение 8.2). Так, пример			8. 1 ясно показывает,			что устойчи
вая система не обязательно			должна	быть нерезонансной. Возни-

236

кает вопрос, не существует ли каких-либо характеристик устой чивой системы, которые гарантируют нерезонансность этой си стемы. На этот вопрос отвечают две приводимые далее теоремы.

Теорема 8. 3. Если коэффициентная	матрица A (t) непрерыв
на для всех /€[0, со) и существуют	такие		постоянные	а > 0 ,
6>0, ЧТО любое решение однородного		дифференциального
уравнения
х(/) = А(/)х(0				(8.21)
подчиняется неравенству
\|\|х (/)\|\| < b \|\|х (/0)\|\| е-^-1°\	0 <	/0	< / < со,	(8. 22>

то при любой ограниченной и непрерывной на интервале [0, оо)

функции i(t) решение	неоднородного		уравнения
x(t) =	A(t)x(t)	+ t(t),	x(t0) = 0	(8.23)
также ограничено при	всех	/ £ [ 0 , оо). (Эквивалентная		форму

лировка: если переходный процесс однородной системы имеет

экспоненциональное ограничение, то							неоднородная			система яв
ляется нерезонансной.)
Доказательство.			Согласно предположению						(8.22)		решение
х ( 0 = ф ( 4	^о)х(/0 )		однородного		уравнения			(8.21)		подчиняется
условию
		II? (О f„) х (t0) IK b			II x (OH e-a «-<°>.						(8. 24)
Решение		неоднородного уравнения					(8. 23)	имеет вид
						t
		х(/) = ?(/,'о)х(/„) + !					<?(t,x)i(x)dx.				(8.25)
						to
При учете		неравенства		(8. 24) из этого решения						можно полу
чить
\|\|х (0\|\| < b \\х (/„)\|\| е-а«~<о)						t	b \\i (т)\|\| е-а«-*Ых.
\|\|х (0\|\| < b \\х (/„)\|\| е-а«~<о)					- f	j"	b \\i (т)\|\| е-а«-*Ых.				(8. 26)
Предполагая, что вход				ограничен,		т. е. \|\|f (t) \|\| < / С ^ < о о ,					имеем
								t
	Их (/)\|\| <: 6 \|\|х (/0)\|\| в-в ('-'о) + feATy-e-*' f								еаЧх	=
								to
	= 6 \|\|(х (/ , 0 )\|\|е - в « - < «)+ - ^ -										(8.27)
Если x(t0)	= 0 и вход f (0			ограничен, то
		\\хУ)\1^—^[1-е-а«->°Ц,									(8.28)

237

т. е. частное решение также ограничено. Нетрудно видеть, что при любом конечном векторе х(/0 ) дополняющее решение также ограничено. Таким образом, все решения неоднородного урав нения (8. 23) ограничены.

Иллюстрацией	теоремы	8.3	может	служить	пример 8.1.
В этом примере	решение хс	(t) =	х0	однородного уравнения
ограничено на [0, со) и при t—>оо			t + 2
ограничено на [0, со) и при t—>оо			стремится к нулю. Однако ре
шение не имеет экспоненционального ограничения					и поэтому,
в соответствии с теоремой 8. 3, система				может быть	резонансной.

Как было показано, система здесь действительно резонансна, что

выражается в неограниченном росте решения x(t)		при	ограни
ченном входном сигнале f(t) = l.	матрица A (t)
Теорема 8.4. Если коэффициентная		непрерывна
и для t£ [0, оо) подчиняется условию	\|\|А(/) \| \| < С Л А < < С О		И если

при любой ограниченной и непрерывной на [0, со] возмущающей функции f(/) решение х(г) неоднородного уравнения (8.23) так же ограничено, то существуют постоянные а>0 и 6>0, при ко торых любое решение однородного уравнения (8.21) подчиняет ся неравенству (8.22). (Эквивалентная формулировка: если си

стема нерезонансна,	то переходные	процессы	соответствующей
однородной системы	экспоненциально ограничены.)
Доказательство. Доказательство		этой теоремы		основывается
на интуитивно достаточно ясных, но трудно			доказываемых ре
зультатах *, приводимых здесь без		доказательства.		Если пере
ходный процесс
х ( / ) = с р ( / , / 0 ) Х ( / 0 ) + f		9(t,x)f(x)dx		(8. 29)

неоднородной системы (8. 23) ограничен при всех ограниченных входах f (/) и начальных условиях x(t0), то переходная матрица ф(/, t0) также ограничена, т. е.

\k(t,t0)\\<Kv<oo. (8.30)

В соответствии с неравенством (8. 30)