Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

И ? ( ' Л | | < - ^ _ .

(8.32)

Введя

обозначение

t — t0

(8.33)

получим

Т = 2К9КФ,

h(f0+n

/ о | | < у

•

(8.34)

Для общего случая

\\<?(t0 + kT), f0\\<n2-\

k =

0,1,2, ... ,

(8.35)

где множитель п в правой части введен

для учета

случая & = 0,

когда

\\(p(t0, t0)

|j = | | I n | l = n. При помощи

равенств

К

Е ^ ^ ~

(8.36)

и

h = t0 + kT

(8.37)

введем

в рассмотрение постоянные

Ке и tk. Тогда

неравенство

(8. 35)

можно записать как

\ЫъМ\<пе-Ке«т*°\

(8.38)

Вводя в рассмотрение переменную т, подчиняющуюся

нера­

венству 0г£]т<Т, будем иметь:

11? & + 1 , fo)\\ = II? it* + f, tk) cp (/„ V l l <

<||ср(/А + т , / й ) | | / г ^ ( ^ о )

< я ^ « р е - ^ ( ^ о )

=

где

=

nK,eKSe-K'it*+4-t<,)

<Кпе~к^^-("\

(8. 39)

= л / С ^ е ^ >

я Я " ^ .

(8. 40)

Так

как любое значение t

£ [0, сю] можно

представить как

t—tk + %, неравенство (8. 39)

можно

записать

в виде

| | с р ( / , / 0 ) ( | < ^ - Ж ' - Ч

(8.41)

где Ь = Кп<.°°

и а = Ке<°°.

Таким

образом,

переходя к

норме

решения однородного уравнения, получим

II* WII < И?(А 'о)|1 Их (4)11 < * ||х (/0)|| *-"«-'.>.

(8. 42)

которой однородной

системы путем

сравнения ее с другой изве­

стной однородной

системой.

Определение 8. 3. Решение однородной системы

x[t) =

A(t)x[t)

(8.43)

устойчиво относительно

свойства

Р

(или просто

Р-устойчиво)

при возмущениях A(t)

типа Г, если решение однородной системы

z(/) = [A(/) + A(/)]z(/)

(8. 44)

х (t)

—

— ax(t), а >

0

Р-устойчивой при Г-возмущениях в

случае

следующего

определения Р и Т:

Р: lim х{ t)—c,

где

с — конечная

величина;

Т: &(t)-±0

при г_>0.

I -+00

Решение возмущенной системы

z(t)

=

[-a

+

\(t)}z(t),

а>0

определяется выражением

Ч

е -а и-to)

z (t) = exp l \ [ — а + Д (тг))] fltt] z

(to) = z (t0)

exp Д (ц) di\

Отсюда видно, что возмущенная

система удовлетворяет свойству Р лишь

в том случае, если e~ a * f ~ ( °'убывает

со скоростью, большей чем скорость воз­

растания exp I I

Д (т\) df\ I,

т. е. при соблюдении

условия

lim

- a

(t

-

t0)

+

f Д ft) dt\

=

Af<co.

to

Пусть, например, Д ( с ) = г ,

что удовлетворяет

условию

Т. Тогда

t

^ Д О rf4 =

Y ( ' 2 - ' o )

lim

•a(t-t0)

+

V ( ^ 2

- ^ )

Рассмотрим теперь возмущения типа Т:

Т :

Д (0 -> 0

при t

-* оо.

1

Пусть, например, Д ( 0 = ~ , что удовлетворяет

условию V.

Тогда

t

[

Д (т)) rf-rj — In * —

In

t0

и

'to

— oo.

lim [ — a (t — t0) +

In t — In

=

Следовательно, свойство P обеспечивается и система при

возмущениях

типа V

является Р-устойчивой. Интересно, однако,

отметить, что для случая

^о = 0

решение возмущенной

системы

при конечных t

является

неограничен­

ным. Таким образом, если определить

свойство Р' то, что x{t) ограничено на

[0,

оо), то система при возмущениях

типа Т'

является

/"-неустойчивой.

8.3. 1. Почти постоянные коэффициентные

матрицы. Коэффи­

циентная матрица А (г)

называется почти постоянной,

если

lim А(/) = А0 О ,

где Асо — постоянная матрица. По интуиции

можно сказать, что

система с почти постоянной коэффициентной

матрицей А(^) име­

ет

ограниченное решение, если все

собственные значения А м

Основная лемма. Если

u(t)^Q,

и(7)>°> Ci — положительная

•постоянная и

и (t) <

Cj - j - [ и (т) v (т) dt,

(8.46)

то

и (t) <

сх ехр

v(t)dt

(8. 47)

Доказательство. Разделив обе части неравенства

(8.46) на

его правую часть и умножив на v{t),

получим

u(t)v(t)

<z>(*).

(8. 48)

d + |

u(x)v(x)d(x)

"to

Интегрируя

обе

части

неравенства

(8. 48)

в

пределах

от

tQ

до t, находим

с х +

t

j" u{x)v(x)dx

-|

t

— l n C l

<

j

u(t)flft.

(8.49)

Опять

используя

неравенство

(8.46),

получим

t

In и (/) - In q <

j*

D (t)

rft.

(8. 50)

to

Произведя

потенцирование,

приходим

к

неравенству

(8.47).

В дальнейшем изложении эта лемма без

каких-либо

допол­

нительных пояснений будет называться «основной леммой».

Важный

результат,

касающийся

ограниченности

переходных

процессов систем с почти постоянными коэффициентными

мат­

рицами, формулируется

следующим

образом.

Теорема 8. 5. Если решения

уравнения

х(/) =

Ах(/),

(8.51)

где А —

коэффициентная

матрица,

ограничены на [0, со),

то

все

решения

уравнения

г ( / ) +

[А +

А ( / ) ] 2 ( Л

(8.52)

также ограничены на [0, с о ) ,

если

00

|'

||Д(/)||й(т<со,

(8.53)

to

где норма

определяется

согласно

уравнениям

(8.

2А)

и

(8. 2Б)

*.

* Приведем без доказательства более общую, чем 8. 5, теорему

(см. Белл-

ман [1]):

Теорема 8. 5А. Если для однородной системы

х (*) «= [А +

Д1 (0

+

Аг (0]

* (О

(8.53А)

выполняются условия:

1)

А — постоянная матрица, все

собственные значения которой

имеют

не­

положительные действительные части, причем собственные значения с нулевы­

ми действительными частями только простые;

оо

2)

Aj (t)

-> оо

при

t-*oo

и

('||д!

Л

<

о о ;

(8.53Б)

оо

3)

J

|1 Д 2 ( 0 1 | Л

< о о ;

(8.53В)

to