Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

1. Применение теоремы 8. 10а

приводит

к неравенству

t

\ (

1

1

, -

N

1

С

по которому при заданном K(t)

можно

определить

устойчивость

на

конеч­

ном интервале в отношении е, С, Т.

2. Применяя теорему 8. 11,

приходим

к

неравенству

1

С \2

1

С

1

№(t)>

О,

—

In

+

^—

In —

— —

2Т

е

/

'2Г

е

4

из которого получаем

Таким образом, ограничение на коэффициент

усиления

K(t),

необходимое для

целей конструирования, найдено.

Пример 8. 8. Для системы, описываемой уравнением

=

- 1

2

9 ( 0

-*3 -

1

9 (0

2"

необходимо определить ограничения на p(t)

и

q(t),

при

которых

система

устойчива на конечном интервале в отношении

Г = 1

и

значений

е,

С, под­

чиняющихся условию

—

In (С/е) =

3.

Для данной системы

>

(0

0

1

U ( 0

=

О

2

9(0

? (О

2 .

•/>(0

0

— 1

о

1

— q

(t)

• 1

-q(t)

1

Применение теоремы 8. 11 показывает, что

система

устойчива

на

конеч­

ном интервале,

если

выполняются

следующие два неравенства:

1 — qt

(0

> О,

[ 3 - p ( 0 ]

[

I

- ?

2

(01 - 1

> о .

му понятию

резонансности

согласно

определению 8. 2.

Дадим

определение

нерезонансности

на конечном

интервале

времени

(понятие устойчивости

в смысле о. в. о. в. в отношении

предпи­

санных ограничений).

Определение 8. 5. Линейная система, описываемая

неоднород­

ным уравнением

х(0=-А(/)х(*) + f

(/),

(8.140а)

y ( 0 - C ( 0 x U ),

(8.1406).

где вход f(7)

подчиняется

условию i(t) = 0

при

t<t0,

называется

нерезонансной

на конечном

интервале в отношении е, С, Т, если

при соблюдении неравенства

||f(0||<e

(8.141)

выполняется

неравенство

||у(0||<С

(8.142)

на интервале [to,

t0+T].

Теорема о необходимых и достаточных

условиях

нерезонанс­

ности на конечном интервале времени

линейной скалярной си­

стемы формулируется следующим образом.

Теорема 8. 13. Для линейной скалярной

системы, описывае­

мой уравнениями

(8. 140)

и имеющей

импульсную

переходную

функцию Q(t, т), необходимое и достаточное

условие

нерезо­

нансности на конечном

интервале-в

отношении

е, С, Т заключа­

ется в том,что

to+T

\Q(t,

x)\dx4

— , to<t<t»+T-

(8-143)

to

£

Доказательство. Достаточность

доказывается путем

исполь­

зования выражения

выходного сигнала

равновесной

системы

t0+t

y\t)=

jI

Q(t, x)f{x)dx,

t0<t<to

+ T.

(8. 144)

to

Отсюда

to + T

|*/(*J|<

f

\Q(t,

x)\\/(x)\dx,

t 0

^ t ^ t 0

+ T.

(8.145)

Поскольку принимается,

что \f(t)

на [t0, to + T], то

t0+t

|(/(0|<e

[ \Q(f,x)\dx,

t0Kt<t0

+ T.

(8.146)

to + t

\

\Q[t,

x)\dx^~

на [t0,

t0-\-T]

to

имеет место \y(t)

| ^ С .

2. Необходимость

обосновывается

показом, что если

^ |S (/, t)| dx^>

— , то может быть найден ограниченный значением

о

f(t),

\y(t)\>

е входной сигнал

обусловливающий

неравенство

>С хотя бы для одного значения t на [to, U+Т].

Предположим,

что

при

некотором

t=t0+ti

неравенство

(8. 143) не выполняется, т. е.

<0 +

<1

^ \Q(tltx)\dx>-^-,

t0Kti<t0+T.

(8.147)

Выберем такой входной сигнал / (г), что

1 - е ,

2(* х ,

т ) < 0

Тогда

у^)=

°J

Q

x)f(x)dx

= st°y\Q(t1,

x)\dx.

(8.149)

to

to

Подставляя неравенство (8.147) в уравнение

(8. 149), нахо­

дим, что y(t)>C.

Отсюда становится

очевидной

необходимость

неравенства (8.143).

to + t

^ \\Q((, x)\\dx

/ в < * < * 0 + 7 \

(8.150)

) \Q(t, x)|rfis =

1

+ ч |

d x = - \ t

о

о

1

+ 1

t + l

возрастает монотонно,

т а х ^ \ Q

(t,

х)\

dx

= y

(Т+

1

1

[О,

Г]

Т +

Следовательно,

система

нерезонансна

на

конечном

интервале, если

1

Т

+

1

1

2

Т + 1J

или, что эквивалентно,

С

Т

<

+ 1 .

ние на K{t),

обеспечивающее

нерезонансность

на

конечном интервале в от­

ношении £ =

1, С— 10, 7"= 1.

Применяя теорему 8. 13, находим

10

\K(t)\

< j

— - , 0 < t

<

1.

Пример 8. 11. Необходимо

систему с постоянными

параметрами,

имеющую

импульсную

переходную функцию

& (t) — 2te

,

исследовать

на нерезо­

нансность на конечном интервале в отношении

е = 1 ,

С=5, 7"==оо.

Заметим,

чтохотя Г = о о ,

понятие устойчивости

на конечном

интервале

налы указаны. Поскольку для систем с постоянными параметрами Q(t,

х) =

= Q(* — т), то, полагая t, — t — т, получаем

необходимое и достаточное

усло­

вия нерезонансности на конечном интервале в следующем виде:

| £ 2 ( S ) | r f S < — ,

0<t<T.

то указанное неравенство не выполняется

и система является резонансной

на конечном интервале.

8. 4. 3. Ограниченность

решения

на конечном

интервале (об­

щий случай). Применение

теоремы

8. 13 (или

следствия 8. 13)

системы. Однако в общем

случае импульсная переходная функ­

ция системы не известна

и определение ее — трудная задача.

дем понятие ограниченности

на

конечном

интервале

времени

(аналогичное устойчивости

на конечном интервале и

нерезонанс­

ности на конечном интервале).

Определение 8.6. Система, описываемая

дифференциальным

уравнением

x(t) = A(t)x(t)-\-i(t),

x(t0) =

x0,

(8.151)

| | х ( / 0 ) | | < в 0

(8.152)

и

1 М 1 < е ,

(8.153)

выполняется неравенство

| | х ( / ) | | < С

(8.154)