ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 54
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Тема 8. Метод Гаусса
4. Методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида (4.22 - см. Тема 7). Для этого составляют расширенную матрицу коэффициентов (АВ), приписывая к матрице А столбец свободных членов В , затем матрицу (АВ) с помощью элементарных преобразований приводят к ступенчатому виду (так называемый «прямой ход»); далее по полученной матрице выписывают новую систему и решают ее методом исключения переменных: начиная с последних (по номеру) переменных находят все остальные (так называемый «обратный ход»).
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 35.
Определение 8.50. Элементарными преобразованиями системы называются:
1) умножение уравнения на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.
3) перестановка двух уравнений;
4) отбрасывание уравнения 0 = 0.
Если получено уравнение 0 = k , то система несовместна.
Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 149–150.
2.3. Методом Гаусса решить систему:
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы. Необходимо на первом шаге, чтобы а11 ≠ 0, но удобнее для вычислений, чтобы а11 = 1. Поэтому поменяем местами первую и четвертую строки, чтобы а11 стал равным 1:
Шаг 1. Умножим элементы первой строки на – 5, 3 и – 2 и прибавим их соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строк, чтобы под элементом а 11 в первом столбце образовалась «ступенька» из нулей.
Для проведения второго шага необходимо, чтобы в новой матрице а22 ≠ 0 , но удобнее, чтобы а22 = 1 или а22 = –1. Поэтому переставим вторую и третью строки:
Шаг 2. Элементы второй строки умножаем на 4 и 3 и прибавляем соответственно к элементам третьей и четвертой строк, тогда под элементом a22 во втором столбце появится вторая «ступенька».
Шаг 3. Так как в полученной матрице а33 = 26 ≠ 0 , умножаем элементы третьей строки на
и прибавляем к элементам четвертой строки. Получим:
Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду. Соответствующая ей система имеет вид:
Из последнего уравнения х4 = 1, из третьего
из второго х2 = 11 + 11х3 – 4х 4 = 11 + 110 – 41 = 7,
из первого х1= –4 + х2 – 4х3 + 2х4 = –4 + 7 – 4 × 0 + 2 × 1 = 5.
Ответ: (5; 7; 0; 1) .
Замечание. Обратный ход метода Гаусса можно проводить и с расширенной матрицей, не переходя к системе, если эту матрицу с помощью элементарных преобразований привести к диагональной. Умножим элементы четвертой строки на 13/19. Затем элементы последней строки (а44 =1 ≠ 0) умножим на 7, 4, 2 и прибавим соответственно к элементам третьей, второй и первой строк:
Далее умножим элементы третьей строки на 1/26, а затем, учитывая, что а33= 1 ≠ 0, — на (–4) и (–11) и прибавим к элементам первой и второй строк, а потом от первой строки отнимаем вторую (а22= – 1 ≠ 0):
Левая часть расширенной матрицы приведена к диагональному виду. Выпишем систему:
Ответ: (5; 7; 0; 1) .
2.4. Методом Гаусса решить систему:
Решение. Выпишем и преобразуем расширенную матрицу системы. Сначала прибавим к элементам первой строки элементы второй:
Последняя строка соответствует уравнению 0 × x1 + 0 × х2 + 0 × x3 = –7, которое не имеет решений; следовательно, система несовместна.
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 36–39.
Пример. Найти общее решение системы:
Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду Гаусса:
.
Первые две строки последней матрицы составляют расширенную матрицу системы, которая равносильна исходной. Выпишем систему линейных уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:
Неизвестные x1 и x2 , соответствующие опорным элементам строк полученной матрицы, называются базисными, каждое из них входит в новую систему с коэффициентом единица и только в одно уравнение. Остальные неизвестные называются свободными . Выразим базисные неизвестные через свободные:
Свободные неизвестные — это произвольные числа, которые можно обозначить: x3 = с1 ; x4 = c2 , тогда x1 и x2 однозначно вычисляются и общее решение системы имеет вид:
Число констант равно разности между числом неизвестных 4 и рангом матрицы системы 2.
Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /
Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. —
Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 6.10.
Тема 9. Матричная форма решения системы
Матричная форма решения системы
Обозначим через X столбец неизвестных, а через B столбец свободных членов. A — матрица системы:
.
Тогда система может быть записана в виде: A × X = B (4).
Это матричный вид системы .
Рассмотрим случай, когда число уравнений равно числу неизвестных. Тогда матрица системы A является квадратной. Если определитель A отличен от нуля, то r ( A ) = n. Так как r ( A / B ) = n, следовательно, r ( A / B) = r (A) = n и по теореме Кронекера-Капелли система имеет решение. Это решение может быть записано формулой:
X = A –1 × B, A –1 существует, так как | A | ≠ 0.
Пример. Решить систему уравнений:
Решение. Составим матрицу этой системы:
Ранее мы нашли обратную матрицу для A :
Ответ: x1 = 2; x2 = 3; x3 = –1; x4 = –2 .
Рассмотрим применение систем линейных уравнений в экономике.
Пример. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждого банка).
В начале года 3/8 вклада, который составляет 800 тыс. руб., вложили в первый банк, 1/8 во второй банк и оставшуюся часть вклада в третий банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 907 тыс. руб. Если бы первоначально 1/8 вклада положили в первый банк, 4/8 вклада — во второй банк, оставшуюся часть вклада — в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов стала бы равна 894 тыс. руб. Если бы 4/8 вклада вложили в первый банк, 3/8 вклада — во второй банк, оставшуюся часть вклада — в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов была бы равна 903 тыс. руб.
Какой процент начисляет каждый банк?
Решение. Введем следующие неизвестные:
Вклад в первый банк составил (3/8) × 800 = 300 тыс. руб.
Вклад во второй банк составил (1/8) × 800 = 100 тыс. руб.
Вклад в третий банк составил (4/8) × 800 = 400 тыс. руб.
Начислено в первом банке за год
тыс. руб.
Начислено во втором банке за
год тыс. руб.
Начислено в третьем банке за
год тыс. руб.
Всего на вклад в 800 тыс. руб., сделанный в три банка (в первый было начислено 300 тыс. руб., во второй — 100 тыс. руб., в третий — 400 тыс. руб.), было начислено за год:
907 — 800 = 107 тыс. руб.
Таким образом, первое уравнение системы:
3x1 + x2 + 4x3 = 107
Аналогично получим два других уравнения системы:
x1 + 4x2 + 3x3 = 894 – 800 = 94
4x1 + 3x2 + x3 = 903 – 800 = 103.
Получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Решим эту систему методом Гаусса.
4. Методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида (4.22 - см. Тема 7). Для этого составляют расширенную матрицу коэффициентов (АВ), приписывая к матрице А столбец свободных членов В , затем матрицу (АВ) с помощью элементарных преобразований приводят к ступенчатому виду (так называемый «прямой ход»); далее по полученной матрице выписывают новую систему и решают ее методом исключения переменных: начиная с последних (по номеру) переменных находят все остальные (так называемый «обратный ход»).
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 35.
Определение 8.50. Элементарными преобразованиями системы называются:
1) умножение уравнения на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.
3) перестановка двух уравнений;
4) отбрасывание уравнения 0 = 0.
Если получено уравнение 0 = k , то система несовместна.
Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 149–150.
2.3. Методом Гаусса решить систему:
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы. Необходимо на первом шаге, чтобы а11 ≠ 0, но удобнее для вычислений, чтобы а11 = 1. Поэтому поменяем местами первую и четвертую строки, чтобы а11 стал равным 1:
Шаг 1. Умножим элементы первой строки на – 5, 3 и – 2 и прибавим их соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строк, чтобы под элементом а 11 в первом столбце образовалась «ступенька» из нулей.
Для проведения второго шага необходимо, чтобы в новой матрице а22 ≠ 0 , но удобнее, чтобы а22 = 1 или а22 = –1. Поэтому переставим вторую и третью строки:
Шаг 2. Элементы второй строки умножаем на 4 и 3 и прибавляем соответственно к элементам третьей и четвертой строк, тогда под элементом a22 во втором столбце появится вторая «ступенька».
Шаг 3. Так как в полученной матрице а33 = 26 ≠ 0 , умножаем элементы третьей строки на
и прибавляем к элементам четвертой строки. Получим: Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду. Соответствующая ей система имеет вид:
Из последнего уравнения х4 = 1, из третьего
из второго х2 = 11 + 11х3 – 4х 4 = 11 + 110 – 41 = 7,
из первого х1= –4 + х2 – 4х3 + 2х4 = –4 + 7 – 4 × 0 + 2 × 1 = 5.
Ответ: (5; 7; 0; 1) .
Замечание. Обратный ход метода Гаусса можно проводить и с расширенной матрицей, не переходя к системе, если эту матрицу с помощью элементарных преобразований привести к диагональной. Умножим элементы четвертой строки на 13/19. Затем элементы последней строки (а44 =1 ≠ 0) умножим на 7, 4, 2 и прибавим соответственно к элементам третьей, второй и первой строк:
Далее умножим элементы третьей строки на 1/26, а затем, учитывая, что а33= 1 ≠ 0, — на (–4) и (–11) и прибавим к элементам первой и второй строк, а потом от первой строки отнимаем вторую (а22= – 1 ≠ 0):
Левая часть расширенной матрицы приведена к диагональному виду. Выпишем систему:
Ответ: (5; 7; 0; 1) .
2.4. Методом Гаусса решить систему:
Решение. Выпишем и преобразуем расширенную матрицу системы. Сначала прибавим к элементам первой строки элементы второй:
Последняя строка соответствует уравнению 0 × x1 + 0 × х2 + 0 × x3 = –7, которое не имеет решений; следовательно, система несовместна.
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 36–39.
Пример. Найти общее решение системы:
Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду Гаусса:
.Первые две строки последней матрицы составляют расширенную матрицу системы, которая равносильна исходной. Выпишем систему линейных уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:
Неизвестные x1 и x2 , соответствующие опорным элементам строк полученной матрицы, называются базисными, каждое из них входит в новую систему с коэффициентом единица и только в одно уравнение. Остальные неизвестные называются свободными . Выразим базисные неизвестные через свободные:
Свободные неизвестные — это произвольные числа, которые можно обозначить: x3 = с1 ; x4 = c2 , тогда x1 и x2 однозначно вычисляются и общее решение системы имеет вид:
Число констант равно разности между числом неизвестных 4 и рангом матрицы системы 2.
Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /
Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. —
Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 6.10.
Тема 9. Матричная форма решения системы
Матричная форма решения системы
Обозначим через X столбец неизвестных, а через B столбец свободных членов. A — матрица системы:
.Тогда система может быть записана в виде: A × X = B (4).
Это матричный вид системы .
Рассмотрим случай, когда число уравнений равно числу неизвестных. Тогда матрица системы A является квадратной. Если определитель A отличен от нуля, то r ( A ) = n. Так как r ( A / B ) = n, следовательно, r ( A / B) = r (A) = n и по теореме Кронекера-Капелли система имеет решение. Это решение может быть записано формулой:
X = A –1 × B, A –1 существует, так как | A | ≠ 0.
Пример. Решить систему уравнений:
Решение. Составим матрицу этой системы:
Ранее мы нашли обратную матрицу для A :
Ответ: x1 = 2; x2 = 3; x3 = –1; x4 = –2 .
Рассмотрим применение систем линейных уравнений в экономике.
Пример. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждого банка).
В начале года 3/8 вклада, который составляет 800 тыс. руб., вложили в первый банк, 1/8 во второй банк и оставшуюся часть вклада в третий банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 907 тыс. руб. Если бы первоначально 1/8 вклада положили в первый банк, 4/8 вклада — во второй банк, оставшуюся часть вклада — в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов стала бы равна 894 тыс. руб. Если бы 4/8 вклада вложили в первый банк, 3/8 вклада — во второй банк, оставшуюся часть вклада — в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов была бы равна 903 тыс. руб.
Какой процент начисляет каждый банк?
Решение. Введем следующие неизвестные:
-
x1 — процент, начисляемый вкладчику в первом банке; -
x2 — процент, начисляемый вкладчику во втором банке; -
x3 — процент, начисляемый вкладчику в третьем банке.
Вклад в первый банк составил (3/8) × 800 = 300 тыс. руб.
Вклад во второй банк составил (1/8) × 800 = 100 тыс. руб.
Вклад в третий банк составил (4/8) × 800 = 400 тыс. руб.
Начислено в первом банке за год
тыс. руб.Начислено во втором банке за
год тыс. руб.Начислено в третьем банке за
год тыс. руб.Всего на вклад в 800 тыс. руб., сделанный в три банка (в первый было начислено 300 тыс. руб., во второй — 100 тыс. руб., в третий — 400 тыс. руб.), было начислено за год:
907 — 800 = 107 тыс. руб.
Таким образом, первое уравнение системы:
3x1 + x2 + 4x3 = 107
Аналогично получим два других уравнения системы:
x1 + 4x2 + 3x3 = 894 – 800 = 94
4x1 + 3x2 + x3 = 903 – 800 = 103.
Получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Решим эту систему методом Гаусса.
