Файл: Сисоев-Термодинамика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.03.2024

Просмотров: 79

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

pV γ = Const .

(97)

Рівняння адіабати (97) у змінних ( p,V ) називається рівнянням С.Д.

Пуассона (S.D. Poisson, 1781-1840 рр.). На Рис. 34 зображено адіабатичний процес в ідеальному газі в координатах ( p,V ) .

Рис. 34. Адіабатичний процес в ідеальному газі в координатах (V, p ) .

Використовуючи рівняння стану для одного молю ідеального газу в інших змінних, а саме T та p , рівняння адіабати можна записати у вигляді

T−γpγ−1 = Const

(98)

70

На Рис. 35 зображено адіабатичний процес в ідеальному газі в координатах (T, p ) .

Рис. 35. Адіабатичний процес в ідеальному газі в координатах (T, p ) .

Оскільки γ > 1 , то очевидно, що адіабата в координатах ( p,V ) йде

крутіше, ніж ізотерма. Аналіз Рис. 33 – Рис. 35 дозволяє зробити висновок, що при адіабатичному розширенні ідеального газу газ охолоджується, і навпаки – при адіабатичному стисненні ідеального газу його температура підвищується. Остання термодинамічна властивість ідеального газу дозволила побудувати новий тип двигуна внутрішнього згорання – двигун Р. Дизеля.

10 Загальне рівняння політропного процесу. Політропний процес в ідеальному газі

Розглянемо в якості ще одного прикладу застосування першого закону термодинаміки загальне диференціальне рівняння політропного процесу. Оскільки за визначенням цього процесу C = const , то з загального виразу для першого закону термодинаміки (60) чи (61) та визначення теплоємності (28) випливає, що в цьому випадку

Cdt = dU + pdV .

(99)

Оскільки внутрішня енергія U є функцією стану, то це співвідношення

71

можна записати, вибираючи незалежними термодинамічними змінними p та V у вигляді:

 

∂U

 

∂U

 

+ p (t,V )dV ,

(100)

Cdt =

 

dt +

dV

 

 

 

 

 

 

 

 

∂t V

 

∂V

t

 

 

або, враховуючи вираз для CV (73), одержуємо загальне диференціальне

рівняння політропного процесу для флюїду:

 

 

 

 

 

∂U

dV + p (t,V )dV .

(101)

(C −C )dt =

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

∂V t

 

 

 

Ще раз зазначимо, що цей вираз не залежить від обраної температурної шкали.

Щоб одержати рівняння політропи в аналітичній формі, треба конкретизувати систему, тобто задати термічне рівняння стану (9) та калоричне рівняння стану (54).

Розглянемо рівняння політропи для ідеального газу. Так як рівняння стану в цьому випадку має найпростіший вигляд в абсолютній шкалі температур, перейдемо від t до T , крім того, для простоти будемо розглядати 1 моль газу, об’єм якого позначимо V . Тоді диференціальне рівняння адіабати можна записати у вигляді:

 

 

 

 

 

RT

dV ,

 

(c −cV )dT =

 

 

 

 

V

 

 

де враховано, що згідно із законом Джоуля

 

∂U

= 0 . Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂V t

 

c −cV dT

dV

 

 

 

 

 

 

−

 

 

= 0 ,

 

 

R

 

T

V

 

що після інтегрування дає

c −cV lnT − lnV = Const . R

Це вираз можна записати у еквівалентних формах:

c−cV

T R V −1 = Const .

або

72

(102)

(103)

(104)

(105)

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TV

cV −c

 

 

 

= Const .

 

 

 

(106)

 

Використовуючи співвідношення Майєра

(78) для 1

моль газу

cp −cV = R , вираз (95) можна записати у вигляді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cp −cV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TV

cV −c

= Const .

 

 

 

(107)

 

Якщо ввести так званий показник політропи n =

C −Cp

, то вираз

 

 

 

C −C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(107) можна переписати у іншому вигляді

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TV n−1 = Const .

 

 

 

(108)

 

Табл.

2. Характеристики ізопроцесів в ідеальному газі

 

 

 

Назва

 

Рівняння

 

 

Зв’язок

між

Кількість

теплоти,

 

 

процесу

 

процесу

 

 

параметрами

отримана в процесі

 

 

 

 

 

 

 

стану

 

 

 

 

 

 

 

Ізотермічний

 

T = const

 

 

pV = const

δQ = δA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q = A

 

 

 

Ізобаричний

 

p = const

 

 

V

= const

δQ = CpdT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

Q = Cp (T2 −T1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ізохоричний

 

V = const

 

 

 

p

= const

δQ = CV dT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

Q = CV (T2 −T1)

 

 

Адіабатичний

 

δQ = 0

 

 

pV γ = const

δQ = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

pT

 

 

γ

= const

q = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

1−γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VT

γ−1

 

= const

 

 

 

 

 

 

Політропний

 

C = const

 

 

pV n = const

δQ = CdT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

= const

Q = C (T2 −T1 )

 

 

 

 

 

 

 

pT 1−n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

= const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VT

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

73

Табл. 3. Робота в ізопроцесах в ідеальному газі

Назва процесу

Робота в процесі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ізотермічний

δA = pdV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

m

RT ln

V2

 

 

 

 

=

m

RT ln

p1

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

µ

 

 

 

 

 

V1

 

 

 

 

 

 

µ

 

 

 

 

 

Ізобаричний

δA = pdV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = p ( p2 − p1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ізохоричний

δA = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Адіабатичний

δA = pdV = −dU

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = −δU = CV (T1 −T2 ) =

 

=

1

 

( p1V1 − p2V2 )

 

 

 

 

 

 

γ −1

 

 

 

 

 

 

m RT

 

 

 

 

p

 

γ−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

=

 

 

 

µ γ −1

1

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−γ

 

 

 

 

 

 

 

 

p V

 

 

 

V

 

 

 

 

 

=

 

1 1

 

 

1

−

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ −1

 

 

 

 

V1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Політропний

δA = pdV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

 

( p1V1 − p2V2 )

 

 

 

 

 

n −1

 

 

 

 

 

 

m RT

 

 

 

 

p

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ n −1

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−n

 

 

 

 

 

 

 

 

p V

 

 

 

V

 

 

 

 

 

=

 

1 1

 

1

−

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Використовуючи рівняння стану для одного молю ідеального газу в

інших змінних, а саме p та V

або T

та p рівняння політропи можна

записати у вигляді

 

 

 

c−cV

= pV n

 

 

pV c−cV

= Const ,

(109)

74

c−cp

n

 

pT cp −cV = pT 1−n = Const .

(110)

Проаналізуємо рівняння політропи ідеального газу (107) – (110).

У випадку ізотермічного процесу, в якому, очевидно, c → ∞, з рівнянь (107) та (110) випливає, що T = const , а з рівняння (109) – pV = const , що і відповідає закону Бойля-Маріотта (80). У випадку

ізобаричного процесу, в якому c = cp , з рівнянь (109) та (110) випливає,

що p = const , а з рівняння (107) – VT = const , що відповідає закону Гей-

Люсака (81). У випадку ізохоричного процесу, в якому c = cV , з рівнянь

(107) та (109) випливає, що V = const , а з рівняння (110) – Tp = const , що

відповідає закону Шарля (84). У випадку адіабатичного процесу, в якому, очевидно, c = 0 , рівняння (107) – (110) переходять у відповідні рівняння адіабатичного процесу (96) – (98).

В Табл. 2 та Табл. 3 наведено характеристики деяких ізопроцесів в ідеальному газі, в Табл. 4 та Табл. 5 – теплоємність, показник політропи, зміна внутрішньої енергії та ентальпії в ізопроцесах.

Табл.

4. Зміна внутрішньої енергії та ентальпії в ізопроцесах

Назва

 

Зміна внутрішньої енергії

Зміна ентальпії

 

процесу

 

 

 

 

 

 

Ізотермічний

 

dU = 0

dH = 0

 

 

 

 

 

∆U = 0

∆H = 0

 

 

 

Ізобаричний

 

dU = CV dt

dH = dU + pdV = δQ

 

 

∆U = CV (T2 −T1 )

∆H = ∆U + A = Q

Ізохоричний

 

dU = CV dT

dH = dU +VdP = CpdT

 

 

∆U = CV (T2 −T1 )

∆H = C

p

(T −T )

 

 

 

 

2

1

Адіабатичний

 

dU = CV dT = −δA

dH = CpdT = −γδA

 

 

∆U = −A = CV (T2 −T1 )

∆H = −γA = Cp (T2 −T1 )

Політропний

 

dU = CV dT

dH = CpdT

 

 

 

∆U = CV (T2 −T1 )

∆H = C

p

(T −T )

 

 

 

 

2

1

75

Смотрите также файлы