Файл: Сисоев-Термодинамика.pdf

Скачать файл (1,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.03.2024

Просмотров: 83

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рис. 45. Цикл Карно ідеального газу в координатах ( p,V ) .

В процесі 2 → 3 ненасичена пара адіабатично охолоджується від температури T1 до T2 , після чого приводиться в контакт з термостатом,

температура якого T2 . Ця гілка відповідає відрізку 2 → 3 вертикальної

прямої на Рис. 43.

Процес 3 → C → D → 4 в реальному газі, зображений на Рис. 44, відповідає відрізку 3 → 4 горизонтальної прямої на Рис. 43. В цьому процесі система, що знаходиться в контакті з термостатом, віддає кількість теплоти QII . На ділянці 3 → C ненасичена пара ізотермічно стискається

до стану насиченої пари, якому при даній температурі відповідає об’єм VC .

На горизонтальному відрізку C → 4 при сталій температурі та сталому тиску p2 відбувається конденсація насиченої пари. Зрозуміло, що на

ділянці C → 4 , так само яка і на ділянці A → B , насичена пара знаходиться у стані рівноваги із своєю парою.

В процесі 4 → 1 рідина адіабатично стискується, при цьому вона нагрівається від температури T2 до T1 . Ця гілка відповідає відрізку 4 → 1

вертикальної прямої на Рис. 43.

Слід відзначити, що, на жаль, саме Рис. 45 для циклу в ідеальному газі в координатах ( p,V ) часто наводиться в більшості підручників для

ілюстрації циклу Карно з міркувань зручності – саме в цих координатах площа заштрихованої області відповідає механічній роботі, яку було виконано за один цикл. Але ще раз підкреслимо, що цикл Карно будується на довільному робочому тілі, а не лише на ідеальному газі.

В теорії теплових машин термостат з температурою T1 прийнято називати нагрівачем, а термостат з температурою T2 – холодильником.

Нагадаємо, що речовину, над якою в даному випадку виконується процес, називають робочім тілом теплової машини.

Обчислимо коефіцієнт корисної дії циклу Карно ηC

(див. формулу

(112)). Згідно з формулою (124) QI

= T1 (S2 − S1 ) та QII

= T2 (S2 − S1 ) .

Тоді

T1 (S2 − S1 ) −T2 (S2 − S1 )

ηC =

= 1 −

(137)

− S

)

Очевидно, що коефіцієнт корисної дії циклу Карно ηC

не залежить

від типу робочого тіла та його агрегатного стану і визначається тільки температурами холодильника та нагрівача, точніше, відношенням тільки

їхніх абсолютних температур T2 . Це дає змогу використати цикл Карно

для побудови абсолютної шкали температур, яка не залежить від термометричної речовини.

Згідно з формулою (137) коефіцієнт корисної дії циклу Карно ηC

збільшується із зменшенням відношення			T2	, тобто збільшується із

			T
		1
збільшенням температури нагрівача	T1 або із зменшенням температури
холодильника T2 . Зрозуміло, що значення коефіцієнту корисної дії циклу
Карно ηC лежать в межах 0 ≤ ηC	< 1 . Зрозуміло, що строга нерівність
ηC < 1 є наслідком того, що при T2	= 0 згідно з (124) QII = 0 , тобто при

нульовій абсолютній температурі T = 0 адіабата будь-якого тіла співпадає з ізотермою. Таким чином, побудувати цикл Карно, у якого температура холодильника T2 = 0 , неможливо.

Доведемо, що серед теплових машин, які працюють при максимальній температурі нагрівача T1 та мінімальній температурі

холодильника T2 , максимальний коефіцієнт корисної дії має теплова машина, що працює за циклом Карно.

Розглянемо	довільний		циклічний	рівноважний	процес
A → B → C → D → E → F → A (див. Рис. 46). Зрозуміло,					що процес
B → C → E → F є циклом Карно. В процесі A → B → C → D система
отримує кількість теплоти		QI′ , а в процесі D → E → F → A – віддає
кількість теплоти QII′ . Згідно з другим законом термодинаміки ці кількості
теплот визначаються		криволінійними		інтегралами,	а саме
S2′			S2′
QI′ = ∫TABCD (S )dS	та	QII′	= ∫TAFED (S )dS , де		залежність
S1′			S1′

температури від ентропії TABCD (S ) та TAFED (S ) визначає рівняння

кривих ABCD та AFED відповідно. Тоді коефіцієнт корисної дії цього процесу можна записати у вигляді:

S2′

Q′ −Q′

∫TABCD (S )dS − ∫TAFED (S )dS

S ′

η =

(138)

Q′

S2′

∫TABCD (S )dS

S1′

Згідно з теоремою про середнє для визначених інтегралів для

теплоти QI′

можна

записати

QI′ = T1′(S2′ − S1′) ,

де T1′

– деяка

температура, причому очевидно (див. Рис.

46),

що T1′ < T1 . Аналогічно

QI′ = T2′(S2′ − S1′), причому зрозуміло, що для довільного T2′ > T2 . Отже,

вираз (138) можна представити у вигляді:

T ′(S ′ −

S ′ ) −T ′(S

′ − S ′)

T ′

η =

= 1 −

(139)

T1′(S2′ − S1′)

T1′

Очевидно, що

T2′

, отже

T ′

ηC > η .

(140)

Таким чином, теплова машина, що працює за циклом Карно, має

максимальний коефіцієнт корисної дії
T2
ηC = 1 −		,	(141)
	T
1

який не залежить від типу робочого тіла. Це твердження отримало назву теореми Карно.

Рис. 46. Довільний цикл A → B → C → D → E → F та цикл Карно B → C → E → F між нагрівачем з максимальною температурою T1 та

холодильником за мінімальною температурою T2 .

Для ілюстрації розглянемо цикл Карно, який виконується для ідеального газу (Рис. 45), рівняння адіабати та ізотерми якого відомі. Обчислимо для одного молю ідеального газу кількість теплотиQI , надану

системі нагрівачем в ізотермічному процесі 1 → 2 . Так як для ідеального газу внутрішня енергія системи залежить тільки від температури (55), то за першим законом термодинаміки

δQ = pdV = RT1						dV		,	(142)
							V
що після інтегрування дає

Q	= RT ln		V2		.				(143)

I	1	V
		1
Аналогічним чином можна обчислити кількість тепла QII , яку
система віддає холодильнику в ізотермічному процесі 3 → 4 :
Q	= RT ln			V3			.		(144)

II	2		V
		4

Отже, коефіцієнт корисної дії циклу Карно визначається виразом:

	T		lnV2V
η = 1 −		1		1	(145)
η = 1 −	T		V3	V	(145)
	T		V3
	2		ln
				4

Доведемо, що відношення логарифмів в рівнянні (145) дорівнює одиниці. Так як згідно з (90) при адіабатичному розширенні або стисненні ідеального газу δQ = CV dT + pdV = 0 , то

dV	= −	CV	dT	(146)
V		R T

Так як теплоємність ідеального газу залежить лише від температури, то після інтегрування останнього виразу вздовж адіабати 2 → 3 та адіабати 4 → 1 одержимо наступні вирази:

V			1 T2		dT
3		= −		∫CV (T )		,
ln
	V		R		T
2				T1

V			1 T1		dT
1		= −		∫CV (T )		. (147)
ln
	V		R		T
4				T2

Звідси випливає, що	ln	V3	= ln	V4	та		V2	=	V3	, і вираз для
						V
	V		V					V
	2		1			1		4

коефіцієнту корисної дії (145) співпадає з загальним виразом (141) для циклу Карно. Важливо відмітити, що при доведенні теореми Карно ми не обмежувались лише ідеальними газами, в яких показник адіабати γ не

залежить від температури.

16 Реалізація циклу Карно

Побудувати теплову машину, що працює за циклом Карно, можна на довільному робочому тілі: газі, рідині, твердому тілі, двофазній системі (рідина – пара) тощо. Для реалізації циклу Карно, крім робочого тіла, треба мати два термостати при різних температурах T1 та T2 (T1 > T2 ),

адіабатичну оболонку та пристрій (теплова машина), який дозволяє реалізувати квазістатичні процеси над робочим тілом. Цим пристроєм може бути циліндр з теплоізольованим поршнем та стінками (дно циліндра вважаємо абсолютно теплопровідним), на якому знаходиться вантаж із змінною масою. Вважаємо, що поршень в циліндрі рухається без тертя. Під поршнем знаходиться робоче тіло (див. Рис. 47 – Рис. 49). Для простоти далі будемо розглядати у якості робочого тіла флюїд.

Рис. 47. Пристрій для реалізації циклу Карно. Робоче тіло – тверде тіло

(ТТ).

Рис. 48. Пристрій для реалізації циклу Карно. Робоче тіло – флюїд.

Рис. 49. Термостати з температурами T1 (нагрівач, a ) та T2 (холодильник, b ), адіабатична перегородка (c ).

Спочатку ми приводимо наш пристрій в контакт з термостатом при температурі T1 , тобто ставимо на нагрівач a (див. Рис. 49). В якості

змінної маси можна використати купку піску. Початковий стан системи обираємо таким чином, щоб він був рівноважним, тобто для системи можна

записати рівняння стану. Таким чином p1 = p (V1,T1 ) = mgs , де m – маса поршня з піском, s – площа поршня. Для реалізації ізотермічного процесу

1→ 2 (див. Рис. 43) будемо знімати малі порції піску (або окремі піщинки)

ікласти їх на полиці, розташовані поруч із поршнем на тій самій висоті, звідки вони взяті (див. Рис. 50). Оскільки процес виконується настільки повільно, що його можна розглядати як квазірівноважний, тобто в

довільний момент часу характеризувати систему певними значеннями ( p,V,T1 ). Кінцеве положення поршня показано на Рис. 51. При цьому стан

системи характеризується величинами ( p2,V2,T1 ) , причому p2 = p (V2,T1 ) .