Файл: Сисоев-Термодинамика.pdf

Скачать файл (1,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.03.2024

Просмотров: 72

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

U =	3		NkT		,	(186)
	2

U =		3		pV .		(187)
	2

Оскільки δQ = TdS , то				рівнянню		адіабати відповідає

співвідношення S = S0 = const . Тоді з рівнянь (183) та (184) для

одноатомного ідеального газу можна отримати рівняння адіабати в термодинамічних змінних (T,V ) :

	2			2			h2	exp(	2 S				5		),
TV		3	= N		3					0		−					(188)
							2πm		3	Nk			3
або в змінних ( p,V ) :
	5			5			h2	exp(	2 S				5			).
pV		3	= N		3						0	−					(189)
						2πm			3		Nk			3

Отже якщо термодинамічний підхід дає загальне рівняння адіабати у формі (96) або (97) з невідомими сталими, то методами статистичної механіки ці сталі можна визначити (див. (188) та (189)). Значення S0

можна знайти за допомогою третього закону термодинаміки, який буде розглянуто пізніше.

Ентропію для ідеального одноатомного газу в змінних (U,V,N ) можна отримати з формули (182):

			2 U	3		2			3		52
V	(		2 U	)		2	(2πm ) 2 e
S (U,V,N ) = Nk ln												,	(190)
S (U,V,N ) = Nk ln			3 N					h	3			,	(190)
N			3 N					h

а в змінних (T,V,N ) – виразивши ентропію з формули (183):
S (T,V,N ) = Nk ln		(2πmkT )32 Ve52								.			(191)
S (T,V,N ) = Nk ln										.			(191)
					Nh3

Для знаходження виразу для вільної енергії F в її природних змінних (T,V ) , згідно з перетворенням Лежандра (158) треба від

119

внутрішньої енергії в	змінних (T,V )		U =	3	NkT		відняти	добуток

абсолютної температури	T на функцію		2			(див. вираз (191)).
			S (T,V,N )
Отримуємо:
F (T,V,N ) = −NkT ln		(2πmkT )32 Ve1					.	(192)

			Nh3

Тоді згідно з (172) для тиску одноатомного ідеального газу в змінних (T,V,N ) маємо:

p (T,V, N ) =	NkT	.	(193)

	V
Як бачимо, формула (193) – відоме рівняння стану ідеального газу.
Для отримання виразу для ентальпії H			в її природних змінних

(S, p,N ) згідно з перетворенням Лежандра (162) треба до внутрішньої енергії в змінних (S,V,N ) (див. вираз (182)) додати добуток тиску на функцію V (S, p,N ) (див. формулу (185)). Тоді маємо:

	5		2		h	2	3	5			2	S
	5			5	h						2	S
H (S, p,N ) =	2	Np							exp	(5 Nk			−1	)	.
	2				2πm					(5 Nk				)

Згідно з (173) для температури T (S, p,N ) та об’єму одноатомного ідеального газу в змінних (S, p,N ) отримуємо:

	p	2		5		h	2		35			(	2 S					)
T (S, p,N ) =	p					h							2 S			−1			,
											exp
	k					2πm					exp		5 Nk
	k					2πm							5 Nk
				3			h	2		3	5			2	S
			−		5		h							2	S
V (S, p,N ) = Np											exp		(5 Nk				−	1	)	.
						2πm							(5 Nk						)

(194)

V (S, p,N )

(195)

(196)

Для знаходження виразу для термодинамічного потенціалу Гіббса

G в його природних змінних (T, p,N ) можна використати перетворення Лежандра у вигляді (166) , або (167), або (168). Оскільки термічне рівняння

стану V = NkTp (див. вираз (193)) має простий вигляд, для отримання

120

виразу для потенціалу Гібса G зручно скористатись виразом (167). Отже, остаточно отримуємо:

				p	h	2	3	2
		= NkT ln		p	h				.	(197)
G T, p,N	)	= NkT ln							.	(197)
(	)
			kT		2πmkT

Тоді згідно з (174) для ентропії				S (T, p,N )			та об’єму V (T, p,N )

одноатомного ідеального газу в змінних (T, p,N ) маємо:

				p		h	2		3	2		5
S T, p,N		= −Nk ln		p		h					e	−	2	,	(198)
S T, p,N	)	= −Nk ln									e			,	(198)
(	)
			kT			2πmkT

		V (T, p,N ) =			NkT			.							(199)
		V (T, p,N ) =						.							(199)
						p

Відзначимо, що з отриманих виразів для термодинамічних потенціалів одноатомного ідеального газу випливають термічне та калоричне рівняння стану, а також вираз для зміни ентропії ідеального газу

(134).

22 Співвідношення Максвела та їх застосування

Оскільки термодинамічні потенціали є функціями стану, то їхні диференціали є повними диференціалами відповідних змінних стану. Тоді, після обчислення другої мішаної похідної, наприклад, внутрішньої енергії по її природнім змінним V та S , отримаємо такі вирази:

∂2U

∂

∂U

∂T

∂2U

∂

∂U

∂p

≡

= −

∂V ∂S ∂V

∂S V

∂V S

(200)

∂V ∂S ∂S

∂V S

∂S V

Звідси на основі відомої теореми математичного аналізу про зміну

порядку диференціювання

∂2U

випливає, що

∂V ∂S

∂S∂V

∂T

∂p

(201)

= −

∂V S

∂S V

Розглядаючи другі мішані похідні

F , H та G по їнім природнім

змінним, можна аналогічним чином отримати

121

	∂T	∂V			,	(202)
		=

	∂p S	∂S p
	∂S	∂p
		=			,	(203)


	∂V T	∂T V
∂S			∂V			(204)
		= −		.

∂p T			∂T p

Ці та подібні їм вирази мають назву співвідношень Максвелла. Набір аналогічних співвідношень можна отримати, якщо розглянути термодинамічні функції в змінних, що не є їхніми природними змінним. Наприклад, якщо використати очевидні вирази для змішаних похідних функцій U (T,V ) та H (T, p ) :