Файл: Сисоев-Термодинамика.pdf

поверхні, яку розташовано нормально до вісі xk . Можна показати, що для

ізотропних тіл (тобто флюїдів) компоненти тензору напруг при рівномірному всебічному стисненні можна записати у вигляді σik = −pδik ,

де δik – символ Кронекера, тобто його компоти, відмінні від нуля, дорівнюють тиску p . Відзначимо, що σik є функцією температури t і

тензора деформацій uik : σik = σik (t,uik ). Залежність σik = σik (t,uik ) є

термічним рівнянням стану неізотропної системи.

Звернемо увагу, що у виразі (39) розглядається робота зовнішніх сил, але при цьому у формулі стоїть знак “+” на відміну від виразів для роботи, яку виконують зовнішні сили над флюїдами. Пояснити це можна, розглянувши нормальну деформацію твердого стрижня (див. рис. 6). Нехай ми розтягаємо металевий стрижень. Легко побачити, що роль деформації відіграє зміна довжини стрижня dx , а напрям сили протилежний напряму деформації. Аналогічна ситуація має місце і при стисненні стрижня. Це означає, що в цьому випадку робота δA зовнішньої сили f визначається

формулою:

але коли розтягнутий стрижень сам виконує роботу внаслідок існуючих в ньому механічних напружень (тобто він зменшує свою довжину), то робота, яку виконує така система, визначається формулою

Нагадаємо, що існує клас твердих тіл, які мають ізотропну внутрішню структуру – аморфні тіла. Для них роботу необхідно обчислювати за виразами, аналогічними виразам для флюїдів (35) – (37), але знову з протилежним знаком.

Інший вигляд формули для механічної роботи можна отримати, якщо розглянути однокомпонентну двофазну систему, наприклад систему рідина та її насичена пара. Для збільшення площі поверхні, що розділяє ці фази, на величину dσ , необхідно виконати елементарну механічну роботу:

δA = αdσ , (42)

де α – коефіцієнт поверхневого натягу рідини. Слід зазначити, що α є функцією температури t : α = α(t ) .

35

Рис. 7. Графічне зображення роботи, яку система виконала при квазістатичному нагріванні від температури t1 до t2 (t1 < t2 , p1 < p2 ).

В подальшому викладенні матеріалу, якщо це не буде відзначено окремо, механічну роботу будемо обчислювати для флюїдів, використовуючи формули (36) та (37).

Знання термічного рівняння стану дозволяє обчислити найбільш поширені відгуки внутрішніх параметрів системи на зміну зовнішніх параметрів, зокрема: ізобаричний коефіцієнт теплового розширення αp ,

ізотермічну стисливість γt , термічний коефіцієнт тиску γV , ізотермічний модуль стисливості Kt .

Ізобаричний коефіцієнт теплового розширення задається виразом

36

Індекс “ p ” у формулі (43) означає, що частинна похідна обчислюється при

сталому тиску. Таке традиційне для термодинаміки позначення ми будемо використовувати і надалі. Фізичний зміст коефіцієнту αp полягає в тому,

що він визначає відносну зміну об’єму системи (внутрішнього параметра) при зміні температури (зовнішнього параметра) на один градус емпіричної шкали температур при сталому значенні іншого зовнішнього параметру – p . Як зазначалося вище, саме сталість цього коефіцієнту і його сталість в

певному інтервалі температур дозволяє для деяких речовин побудувати емпіричну шкалу температур. Цікаво відмітити, що для переважної більшості речовин цей коефіцієнт додатний в усьому інтервалі зміни температур. Виключенням на певних інтервалах є вода, чавун, вісмут, германій та деякі інші речовини.

Ізотермічна стисливість задається виразом

Фізичний зміст ізотермічної стисливості полягає в тому, що вона визначає відносну зміну об’єму системи (внутрішнього параметру) при зміні тиску (зовнішнього параметру) на одиницю при фіксованому значенні іншого зовнішнього параметру – t .

Термічний коефіцієнт тиску можна ввести, якщо тиск розглядати як внутрішній параметр:

Фізичний зміст термічного коефіцієнту тиску полягає в тому, що він визначає відносну зміну тиску системи при зміні температури (зовнішнього параметру) на один градус емпіричної шкали температур при сталому значенні зовнішнього (в цьому випадку) параметру V .

В технічній термодинаміці замість βt часто використовують обернену величину – модуль ізотермічної стисливості:

37

яку виконує система, та кількість теплоти, надана системі δQ12 , при переході із стану ( p1,V1 ) в стан ( p2,V2 ) в різних процесах a , b , c (Рис. 8), мають різні значення, тобто:

(δA12 )a ≠ (δA12 )b ≠ (δA12 )c , (51)

(δQ12 )a ≠ (δQ12 )b ≠ (δQ12 )c .

Рис. 8. Графічне зображення довільних квазістатичних процесів a , b , c , які переводять систему із стану 1 в стан 2.

Зокрема, з Рис. 8 та Рис. 9 легко бачити, що згідно з формулою (37) робота системи в різних процесах a , b , c різна, так як площа під кривими

39

a , b , c має різні значення. Таким чином, звідси можна зробити висновок, що виконана системою робота над зовнішніми тілами δA та надана системі кількість теплоти δQ не описується зміною певної функції термодинамічного стану системи, тобто не можна записувати такі рівності:

δA12 = A( p2,V2 ) − A( p1,V1 ) та δQ12 = Q ( p2,V2 ) −Q ( p1,V1 ) .

Рис. 9. Графічне зображення довільних квазістатичних процесів a , b , c , які переводять систему із стану 1 в стан 2 в координатах (V,t, p ) .

Слід відзначити, що до відкриття першого закону термодинаміки одиниці виміру роботи та кількості теплоти не співпадали. Зокрема, робота вимірювалась у відповідних механічних одиницях, а кількість теплоти – у теплових одиницях (калоріях), які не мали між собою нічого спільного. Лише у результаті значної експериментальної та теоретичної роботи багатьох вчених, зокрема Р.Ю.Майєра, Дж.П. Джоуля, Г.Л.Ф. Гельмгольца, У. Томсона (Кельвіна), в середині XIX століття було встановлено, що

40