Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 67
Скачиваний: 0
". -/(¥Г+1<)' + 1^ |
= ". ■ Л,; |
"°-/(£)’ + (#)' + (£): |
(41) |
Н--УШ+ Ш+Ш- ds.-H.-dw. |
|
Если и, v и w — декартовы координаты:
и = х, v = y, w = z, то Нх = Ну == Hz=\ и dsx = dx\ dsy = dy; dsz — dz,
t. e. в декартовых координатах дифференциал дуги ко ординатной линии равен дифференциалу соответствую щей координаты.
В криволинейных же координатах, как показывают выведенные формулы, дифференциал дуги координат ной линии не равен дифференциалу соответствующей координаты. Для получения дифференциала длины ду ги здесь надо умножить дифференциал координаты на коэффициент Ламэ. В этом и состоит существенное от личие криволинейных координат от декартовых.
В соответствии с этим и элементарные плошадки и объемы выражаются через коэффициенты Ламэ. Так элементарная площадь на координатной поверхности w = const будет:
dSw = dsudsv = HJHdudv, |
(42) |
и на двух других поверхностях: |
|
dSv —■ dsudsw = НUHwdudv, |
(42, а) |
dSu = dsvdsw = Hv H^dvdw, |
(42, б) |
а объем элементарного параллелепипеда |
|
dV =dsadsvdsw = НUHVHWdtidvdw. |
(43) |
В качестве примера вычислим коэффициенты Ламэ для цилиндрических и сферических координат.
1. Цилиндрические координаты. В этом случае зави симость х, у, z от криволинейных координат г, <р, z да-
80
ется формулами (39). Поэтому:
«■= V,=Vш + ш + ш =
=У cos2 «р 4- sin2 © = 1.
Ж)’+(^/+«)г=
= |/(rsin<р)2 -t |
(> cos<p)2 — г; |
»,-н-УШ + |
+ (#)■ - ■• |
Таким образом: dsr=dr, ds,? = rd'i, dsz = dz.
2) Сферические координаты. В этом случае зависи мость х, у, z от криволинейных координат и, v, w дается формулами (40). Поэтому:
«р = ]/Ф’ + (4г)' + (7гУ-
=У(cos <р sin О)2 -р (sin 'f sin 9)2 -р cos2 9 = 1.
=УШ + Ш + Ш=
—~У(— p sin 'p sin Oj2 -j- (p cos <p sin 9)-'+ 0 = p sin 6;
".-/(4У+(4) + Ш=
=У(р cos <p cos 9)2 -J- p sin f cos 6,2 -p (— p sin 9/ = p.
и, следовательно: * t/sp = tZp, ds,? = p sin 9tZ<p; dsn = ?d§.
§4. Вычисление основных величин поля
вкриволинейных координатах
Многие физические поля целесообразно изучать в некоторой криволинейной системе координат, выбран ной в соответствии с геометрическими особенностями поля.
* Читатель без труда заметит, что полученные здесь фоомулы для дифференциалов длин дуг могут быть получены и из геометри ческих соображений.
6 Векторный аналиэ |
81 |
Так, |
например, |
если поверхности =const есть сфе |
ры, то |
поле grad ф |
проще всего рассматривать в сфе |
рической системе координат. Однако формулы длд вы
числения |
основных величин поля |
(grad ф, div Л , rot Л, |
|
Д?) |
(см. |
форм. 4, 17, 23, 33а), |
которые мы установи |
ли, |
не годятся для криволинейных координат. Эти фор |
||
мулы справедливы только в случае, когда поле задано в декартовой системе координат. Напротив, формулы,
которыми определяются проекции на любое направле ние е векторов grad > и rot Л (см. форм. 5 и 26) и фор мулы, которыми определяются дивергенция и Лапласиан
(см. форм. 16 и 33) не связаны ни с какой системой координат, поэтому они .справедливы, для любой систе мы координат. Эти формулы, как говорят, инвариантны (неизменны) по отношению к системе координат. Поэ тому форм. 5, 16, 26 и 33 являются исходными для
вычисления градиента, дивергенции, вихря и Лапласиа на в любой криволинейной системе координат.
1°. Вычисление градиента поля.
Пусть в криволинейной ортогональной системе коорди нат и; У; w задано некоторое скалярное поле функции
(«; о; до).
Зафиксируем в поле произвольную точку М и прове
дем через нее координатные поверхности |
и =Cj; о = с2; |
||
до=.с3. Построим затем в точке М |
единичные векторы |
||
7Ь Ф, 1з, |
направленные по касательным к |
координатным |
|
линиям |
в сторону возрастания координат (см. рис. 34). |
||
Для вычисления вектора grad б |
в точке М достаточно |
||
найти проекции этого вектора на направления векторов
Л, /2, 7з. Согласно формуле (5):
^grad^ = ^., .
где /1 — единичный вектор по координатной линии и:
|
|
1. |
ДД |
= lim |
ibu |
|
—L— == Inn |
|
ssa- |
||||
a |
|
|
о |
4,'° |
||
= |
1- |
—— |
• lim |
bu |
_ |
du |
и гп |
Д su |
ди dAa |
||||
|
ди—о |
Д5и-° |
||||
Но согласно |
формулам |
(41): |
|
|||
|
|
|
du |
_ |
_1_ |
|
|
|
|
dsu |
|
а |
|
82
поэтому:
^grad9 = 4r47-
Аналогично получаются и две другие проекции gr
прг_ grad_ -J-- Д-; |
прГ' grad |
, |
|
поэтому: |
|
|
|
. , 1 дф 7 , 1 |
<?ф 7 , 1 |
т |
(44) |
ег«|ф-д- |
|
l>- |
В частности, в цилиндрических координатах:
(Ha = Hr==]., H0^=H, = r, HW = HZ = 1)
grad ф = 4^- lr + -Ф“ ~ 4 + ~г~ Z? • |
(45) |
|||
ь т |
dr z дер |
г * 1 dz |
||
|
||||
В сферических координатах:
(/7И = /7Р = 1, Нv — Н^ = р sin 6, /7да = 7/о==р)
|
, , |
= |
дЬ |
|
, |
1 |
дф 7 , |
1 |
дф 7 |
(46) |
|||
grad Ф |
-т— /р |
Н----- г-д |
д<р |
L |
4--------/в. |
а |
|||||||
° |
т |
|
др |
р |
1 |
р ыи 0 |
т |
1 |
р |
да |
|
||
Пример. В сферических координатах |
р; |
<?; 0 |
|
дано ска- |
|||||||||
лярное поле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить направление наибольшего изменения поля в точке Л10 (2; 0; к ).
Решение. Наибольшее изменение поля в любой точ ке М происходит по направлению вектора grad ф в этой точке. Вычислим значение grad ф (44 0) (по форм. 46;.
егабф = — |
/Р + 0 • lv + |
-p--J Z6; |
|
------ — /Р- — -22- |
-Z8= —/Р. |
Таким образом, наибольшее изменение поля в точке
Л40(2; 0; л) происходит по направлению радиуса;
maxi4rJ “ 1 &rad^ = "Г'
6* |
83 |
2°. Вычисление дивергенции поля Пусть в криволинейной ортогональной системе коор
динат и, v, w дано векторное поле вектора А (и; v; w).
Зафиксируем в поле произвольную точку М, проведем
через нее координатные поверхности и построим еди ничные векторы 71, 7г, 7з, направленные по касательным
к координатным осям (см. рис. 41)- |
|
_ |
|
|
|||||
Пусть Аи, |
Av, Aw—проекции вектора |
А на направле- |
|||||||
|
|
|
|
ния /1, /г, /з, тогда |
|
|
|||
|
|
|
|
|
А (и; v; |
w) = |
|
||
|
|
|
|
Согласно |
определению |
(см. |
|||
|
|
|
|
форм. |
16): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jAdS |
|
|
|
|
|
|
dlvA= lim s |
z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
(£>($)-» 0 |
v |
|
|
При вычислении предела в качестве поверхности S |
|||||||||
возьмем |
полную |
поверхность элементарного |
паралле |
||||||
лепипеда, грани |
которого параллельны |
координатным |
|||||||
поверхностям, |
а |
ребра |
имеют длины |
Дх„, |
Asv, |
Asw. |
|||
Тогда площади граней и объем параллелепипеда |
опре |
||||||||
делятся по формулам (42) и (43). |
|
|
|
|
|||||
На |
грани |
(1, 2, 3) |
вектор |
dS = — dSи1\, |
тогда |
||||
AdS = —AudSu= —AuHvH^dvdw.
На параллельной ей грани (4, 5, 6) вектор dS = -\-dSul1
и AdS = -f- A aHvHw dvdw. Поток поля через эти две па
раллельные грани будет:
/71=— Д AuHvHwdvdw + Д AUHJiWdvdw.
(1,2,3) (4,5,6)
Интеграл по грани (4, 5t 6) отличается от интеграла по грани (1, 2, 3) лишь тем, что в подынтегральной
функции AuHvHw = F](w;u;u)) на грани (4, 5, 6) ко
ордината и имеет значение w-]-A .u, а на грани (1,2,3) —
значение и. Поэтому:
84
ff |
F^u; v, |
w)dvdw = JJ Л(и4-Да; v;w)dvdw |
(4,5,6) |
1,2,3 |
|
и, следовательно: |
|
|
= |
JJ [Л(« + Ды; и; w) — Fj (u; v; w)] dv dw. |
|
|
(1,2,3) |
|
К подынтегральной разности применим теорему Лаг
ранжа (см. форм. 20, с) по переменному и. Тогда полу чим:
wY b.Mw (O<0<1).
(1,2,3)
Применяя к интегралу теорему о среднем значении (см. форм. 40, с), получим окончательно
П± = |
ди |
Ди Ди Дте/ |
=ь ( —~ v |
W' У |
Lu Lv Дiso, |
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
\ |
|
|
ди |
/м, |
|
|
||
где значок Mi у скобок производной |
показывает, |
что |
|||||||||||
производная |
dAt,HJ1w |
|
«о |
|
|||||||||
---- |
- |
- берется |
в |
некоторой внутренней |
|||||||||
точке Му (и |
ОДи; |
vt; |
|
параллелепипеда. |
и |
||||||||
Аналогичным |
образом |
вычисляются |
потоки поля |
||||||||||
через две другие пары параллельных граней: |
|
||||||||||||
|
/7, ~ |
/ дА НиН \ |
|
|
ада |
|
|
||||||
|
\ |
------------ 1 |
м, |
LuLvLw; |
|
||||||||
|
|
2 |
|
ди |
|
|
|
|
|
|
|||
|
П„ = |
/ дА НиН \ |
|
|
Ди Дv Дw, |
|
|||||||
|
\ |
—j-------1 |
м3 |
|
|||||||||
|
4 |
|
|
дт) |
|
|
|
|
|
|
|||
где М2 (u2; |
v -(-б- Д v; w^) |
и М3 |
(и3; t»3; |
w.t 4- 9 3Д ну) |
— |
||||||||
—некоторые внутренние точки параллелепипеда.
Таким образом,
|
s |
|
|
|
з- |
|
|
Подставив в |
(16) найденное значение |
потока |
|||||
формулу |
|||||||
■§AdS и значение объема |
V = НUHVHW LuLvLw, |
сокра |
|||||
тив дробь на |
ДиДиДда |
и перейдя к пределу, получим |
|||||
окончательно: |
|
|
|
|
d{AvHuHwy |
|
|
divA = —J__ Г |
WV4,) |
■ |
|
||||
'-11V |
/JUL/ |
------------- |
du |
|
|||
|
Zr**U I'W L |
|
Oil |
|
|
||
|
. |
«W,) |
|
(47) |
|||
|
|
|
dw |
|
|
|
|
85
