Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 60

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Поэтому

С С (х—Зг) dydz = J f (2 — У z — 3z) dydz —

AbC

овс

2

2—z

= f

dz } (2—tj—4z)dy = —2 -j--

о

b

d

 

Аналогичным образом заменяются и два другие поверх­ ностные интеграла через двойные интегралы:

JJ (х4-2у+г)dxdz = [л-|-2(2 — х— z) + z]dxdz =

АВС

ОАС

 

2

2-х

 

= j’ dx J (4 — х — г) dz = 5 —;

о о

 

 

JJ (4x-\-y)dxdy = JJ

(4% + y]dxdy=

ABC

AOB

2

2

2-Jf

= J dx J (4x -j-y)dy=6-^-.

о

о

 

Таким образом:

9 19 1

/7=-2-f+54 +6^=94.

§ 2. Дивергенция векторного поля

Как было замечено в § 1, величина потока поля че­ рез данную поверхность

Z7= lim

V А (/Иг.)

dSt = lim V А(М.) Д Sz cos

Д5Г°

 

Д5Г° /-1

физически

определяет

объем жидкости, протекающей

через данную поверхность в единицу времени. Установим теперь физический смысл знака потока поля через дан­

ную замкнутую поверхность, а затем введем понятие расходимости или дивергенции'' поля. Пусть, как и рань­

ше, вектор А (М) означает скорость течения жидкости.

Из рис.

17-Непосредственно усматриваем; если угол

между

Д Sz и А (М z) тупой и, следовательно, произве­

дение

A(A1t) Д S; cos ?« < О,

 

29

то через площадку Д8г. жидкость втекает в объем, ограниченный поверхностью 8.

Если же угол <pz —острый и, следовательно, произ­

*ведение:

A (MJ Д8г cos ft>0,

то через площадку Д8;

жидкость вытекает из объ­

ема. Таким образом, в

случае замкнутой поверхности,

п

 

рые жидкость втекает в объем, и б) из положительных слагаемых, соответствующих площадкам, через которые

жидкость вытекает из

объема. Поэтому, если вся

сум-

п _ _

то в объем V, ограниченный

по-

ма: S А (2И;) Д8г <0,

<—i

 

 

верхностью S, втекает жидкости больше, чем из него вы­ текает.

П—

Если же: S А (Л<Г J Д8,, >0, то, наоборот, из объема z~i■

V, ограниченного поверхностью 8, вытекает жидкости

30

больше, чем в него втекает.

Предположим, что поток поля вектора А(Л4) через данную замкнутую поверхность положителен:

77= 11m У Л(Л4,)Л£,>0.

Тогда, начиная с некоторого разбиения S на А3(., все

п_ _

суммы У,

/(A1Z)ASZ остаются положительными,

т. е.

Z= 1

V вытекает жидкости больше, чем в него

вте­

из объема

кает. А это свидетельствует о том, что в объеме V «по­ рождается» жидкость. Поэтому, если поток поля вектора А через некоторую замкнутую поверхность S положи­ тельный, то говорят, что в объеме, ограниченном S,

имеются источники поля.

Например, пусть по трубе течет газ под давлением Pi и внутрь трубы помещен шар, в котором находится тот же газ под давлением P^>Pi. Окружим шар неко­ торой проницаемой замкнутой поверхностью S и сделаем в шаре небольшое отверстие. Тогда часть газа из шара будет выходить в основной поток газа и из объема, ог­ раниченного поверхностью S, будет выходить газа боль­

ше,

чем в него входить. Отверстие в шаре в этом случае

и будет являться источником.

 

 

 

п

 

 

 

Если же П Игл У А (МAS, <0,

то,

начиная

с некоторого разбиения поверхности 5 на

ASZ,

все сум-

 

п

 

 

мы

У A{M^Si < 0. В" этом случае

через

поверх-

7=1

ность 5 в объем V втекает жидкости больше, чем из не­ го вытекает. А это свидетельствует о том, что в объеме

V жидкость «застревает». Поэтому, если /7<^0, то гово­

рят, что в объеме V, ограниченном поверхностью S, име­ ются стоки поля. Так, пусть в предыдущем примере газ в шаре находится под давлением /э2<7)1. Тогда че­ рез отверстие в шаре часть газа из потока будет входить внутрь шара. Отверстие в шаре в этом случае будет яв­ ляться стоком.

Если поток поля через некоторую замкнутую поверх­ ность равен нулю, то в этом случае или отсутствуют

31

Источники и стоки внутри V, или имеются И ИСТОЧНИКИ и стоки, но они друг друга компенсируют. В этой связи существенно отметить, что и в случае, когда 77^>0, воз­ можно существование в объеме не только источников, ио и стоков. Только в этом случае источники преобла­

дают над стоками. Аналогичвное положение может быть

и в случае, когда /7<0. Так, например, если в

поток подогретой воды по­ местить кусок льда, то каж­ дый небольшой объем льда при таянии будет выделять воду и представлять источ­

ник воды. В то же время объем, ранее занимаемый

стаявшим льдом, займет во­ да потока. -И так как удель­ ный вес воды больше, чем удельный вес льда, то в объ­ ем, занимаемый стаявшим льдом, втечет воды больше, чем вытечет из него. Таким

рис. 18), точка, в которой помещен заряд -\-q,

будет

источником поля, а точка, в которой помещен

заряд

— q будет стоком.

плот­

Установим теперь численную характеристику

ности источников и стоков поля в любой его точке. За­

фиксируем в поле вектора А произвольную точку М.

Окружим ее некоторой замкнутой гладкой поверх­ ностью S (например, сферой с центром в точке М). Вы­ числим поток поля через S:

n=$AdS.-

S

Пусть V означает объем, ограниченный S; тогда отно­

шение:

_ _

П

<6 A dS

s

V —

V

определяет среднюю плотность источников (если /7>0)

или стоков (если /7<Ю), распределенных в объеме V.

Определение. Предел отношения -р-, когда поверх­

ность S стягивается к точке М, называют дивергенцией или расходимостью векторного поля в точке М, и обоз­

начают

символом div

А

(А1)

(читают:

«дивергенция

поля А в точке Л1»),

определению

 

Таким образом, по

 

 

 

 

 

$74 d~S

 

 

div Л (Al) =; lim

---- •

(16)

 

 

 

D(5)-0

 

 

(Здесь

D(S) означает

диаметр поверхности S, т. е.

расстояние между двумя наиболее удаленными друг от друга точками поверхности. Запись D (S) 0* означает,

что поверхность S стягивается к точке А1.)

В этом определении, конечно, предполагается, что предел существует независимо от того, как поверхность

S стягивается к точке.

Из предыдущего

ясно, что если div А (А4)>0, то в

точке М имеется источник плотности div

Л

(А4); если

div А (А1) <Д то в точке М имеется

сток

плотности

div Л (А1); если div Л

(А4) = 0, то в точке М нет стоков

и источников.

 

 

 

3 Векторный аналиа

33

Формула (16) мало пригодна для вычисления дивер­

генции. Кроме того, она только определяет понятие ди­ вергенции и не гарантирует существование дивергенции. Здесь мы докажем основную теорему о дивергенции по­ ля.

Теорема. Если проекции вектора

А = A xi -J— Ayj A

непрерывны вместе со своими частными производными

дАх

d-4v

oAz

то

дивергенция поля существует,

 

и

1

~ ду~ K~dz~'

 

при этом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

div

дА

(ЛЛ

=

<5Я„(ЛГ)

------

дА,(М)

 

 

 

'

А

(М)

‘ Оу

4--------------(17)

 

'

их

 

 

dz

'

7

Доказательство.

Согласно,

определению:

 

 

 

 

 

 

 

 

ф AdS

 

 

 

 

 

div А

(Л1)

= lim ---- у---- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(S)^0

 

 

 

 

Для вычисления написанного здесь предела возьмем в качестве поверхности S (см. рис. 19) поверхность эле­ ментарного параллелепипеда МАВСДА1В1С1, грани которого параллельны координатным осям ох, оу, oz, а

ребра

имеют длины:

&у и Az,

соответственно.

Объем

параллелепипеда

V = Ах • Ду •

Дг. Вычислим

теперь поток вектора А через полную поверхность парал­ лелепипеда как сумму потоков через три пары параллель­

ныхграней.

34

Пусть

А = Ах (х; у; z) i -ф- Ау (х; у, z)~j -ф- A z (х\ у, z) k.

На грани МДС вектор dS =■■ — idS (знак минус взят по-

тому, что за положительное направление вектора dS, в

случае

замкнутой поверхности,

берется направление

внешней нормали)'.

 

Поток по грани МДС будет:

 

JJ AdS = JJ (Ax7-t AyJ+Az'k) (—7dS) ——JJ Ax(xyz)dS

MDC

MDC

MDC

(два других слагаемых здесь обращаются в нуль, так

как ij—ik = Q).

 

_

На параллельной грани ААД вектор dS = idS и по­

ток по грани AAiB будет равен:

 

JJ AdS =

Ах(х; у; z)

dS.

AAtB

AAJ3

 

Интеграл по грани ААДЗ отличается

от интеграла по

грани МДС лишь тем, что в подынтегральной функции

Ах на грани ААД абсцисса имеет значение не х,

а х-ф

-ф Д х. Поэтому можно написать:

 

JJ Ax(xyz) dS —: JJ ЛЛ(х4-Дх; у; z) dS.

 

АА,В

MDC

 

Тогда поток по этим двум параллельным граням

пред­

ставится интегралом:

 

П\ =

[Ах(х + А х; у; z) — Ах (х; у; z)]dS.

 

MDC

 

К подынтегральной разности применим теорему

Лаг­

ранжа (см.

20, с) по переменному х, тогда получим:

Пх =

ff 4? Ах(х+№х‘, у; zjhxds.

 

 

MDC

 

Применяя к полученному интегралу теорему о среднем значении (см. 40, с), получим окончательно:

n дАг(М.) ц л .

771

3*

35.

Смотрите также файлы