Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf

Задача 3. Прочность балки с прямоугольным поперечным сечением, имеющей данную длину, при определенной на­ грузке и определенном расположении опор, пропорциональна ширине поперечного сечения и квадрату его высоты. Из круг­

Черт. 48

лого бревна, диаметр которого равен d, требуется выпилить прямоугольную балку наибольшей прочности. Определить

размеры этой балки (черт. 49).

Обозначим прочность балки через у, ширину балки Ь че­ рез х; тогда высота, Л будет равна h~yd2— х2 и, следова­ тельно,

уx(d2 — х2).

Первая производная будет равна

у' = d2 — Зх2.

Приравнивая первую производную нулю и решая полу­ ченное уравнение, находим

d

х /“з"’

причем перед корнем имеет смысл взять только положитель­ ный знак. Так как вторая производная равна

у" = —6х,

будет равна

h = d ]/-%-.

Таким образом, отношение высоты балки к ее ширине

равно]/2: 1, или приближенно 7:5. На основании этого для построения требуемого прямоугольника надо разделить диа­ метр на три равные части, в точках деления восстановить

перпендикуляры до пересечения с окружностью, и получен­

Производные этой функции равны:

s' = p — (4 + л)х, s" = — (4 +л).

Приравнивая первую производную нулю и решая получен­ ное уравнение, находим

найденном значении х будет наибольшее значение исследуе­

мой функции. Подставляя найденное значение х в выраже­ ние для у, находим

Таким образом, для получения сечения закрытого канала, пропускающего наибольшее количество воды, необходимо вы­ соту прямоугольника взять равной радиусу крута.

ГЛАВА ШЕСТАЯ

КРИВИЗНА КРИВОЙ

§ 1. ДЛИНА ДУГИ

Как мы видели, знак второй производной определяет на­ правление вогнутости кривой (гл. V, § 7); но это дает лишь,

в некотором смысле качественную характеристику изогну­ тости кривой. Так как кривая может быть изогнута больше или меньше, то важно установить количественную характе­ ристику изогнутости кривой. Для этого-служит величина, на­

зываемая кривизной кривой.

Для вывода формулы кривизны кривой установим пред­ варительно понятие длины дуги кривой и найдем дифферен­

циал дуги кривой.

Положим, что дана кривая, определяемая уравнением y = f(x)

(черт. 51). Возьмем на этой кривой определенную точку А и подвижную точку М(х; у). Если кривая представляется как

один непрерывный след движущейся точки М, то всякая часть этой кривой, ограниченная двумя точками, называется ее ду­ гой. Отрезок прямой, соединяющий концы дуги, называется ее хордой.

Длиной дуги кривой называется предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной в предположении,

что число звеньев ломаной бесконечно возрастает, причем сами звенья бесконечно уменьшаются (черт. 52).

Обозначая длину дуги через I, а периметр вписанной в нее ломаной через р, будем по определению иметь

Игл р = 1.

Применяя определение длины дуги кривой, можно дока­ зать следующую лемму.

§ U Длина дуги 93

Если выпуклая дуга ММ' лежит вся внутри треугольника,

образованного ее хордой и касательными в конечных ее точ­ ках М и М', то длина дуги больше длины хорды и меньше суммы отрезков МР и М'Р касательных между точками их

выпуклой, то и ломаная будет выпуклой. В таком случае, как

известно из элементарной геометрии,

Бесконечно увеличивая число звеньев ломаной так, чтобы сами звенья бесконечно уменьшались, получим

lim р = 1\

в силу этого неравенства (**) в пределе обратятся в нера­

венства (*).

Длина дуги зависит от положения точки М. Обозначая длину дуги AM через s, мы можем написать, что $ есть неко­ торая функция от х:

s = ср(х).

При исследовании этой функции рассмотрим сначала из­

94 Кривизна кривой [гл. VI

Рассмотрение этого отношения приводит к выводу:

1

Ml /

М->■ А,

т. е. имеет место теорема: предел отношения бес­ конечно уменьшающейся дуги к ее хорде равен единице.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим дугу ММ'

(черт. 55), причем предположим, что точка М' взята на­ столько близко к точке М, что дуга ММ' является выпуклой

и что эта дуга лежит внутри треугольника, образованного

хордой и касательными в концах дуги. Обозначим длину дуги ММ' через I, длину хорды через с и угол между хордой и ка­

сательной МР через со. Из точки М' опустим перпендикуляр» M'Q на касательную МР. Тогда

МР 4- М'Р <MQ-\- M'Q,

а потому согласно лемме

с < I < MQ —M'Q,

или

с<!<с oos со с sin со.

Разделив на с, получим:

Следовательно,

Откуда

s'dx = У dx2 4- dy2,

или

Из формулы (1) становится ясным геометрический смысл дифференциала дуги (черт. 57): дифференциал дуги пред­ ставляет отрезок МР касательной от точки касания М до точки Р пересечения с ординатой, соответствующей прираще­ нию абсциссы Ах = dx.

Формула (1) представляет дифференциал дуги в прямо­ угольных координатах. Для выражения дифференциала дуги

в полярных координатах заметим, что из соотношений ме­ жду прямоугольными и полярными координатами точки:

х — rcosq), у = г sin ф,

следует, что

dx = cos фс?г — г sin фйф,

dy = sin фб/г -ф- г cos фс?ф.

98 Кривизна кривой [гл. VI

Однако одного угла смежности Да недостаточно для ха-

рактерйстики кривизны кривой. Одна и та же величина угла

смежности может оказаться при разной кривизне (черт. 60).

Поэтому, для измерения искривления плоской кривой бе­ рется отношение угла между касательными, проведенными в концах дуги, к ее длине

Ла

-К’ср= Д§

Это отношение называется средней кривизной дуги кривой.

Но, имея некоторую среднюю кривизну, рассматриваемая кривая может иметь различную степень искривленности на разных участках (черт. 61). Отсюда ясно, что> чем меньше дуга ММ', тем лучше средняя кривизна характеризует сте­ пень искривленности кривой вблизи точки М.

В соответствии с этим кривизной кривой в дан­ ной точке называется предел, к которому стремится сред­ няя кривизна дуги, когда длина дуги стремится к нулю.

Положим, что в прямоугольной системе координат дана кривая

y = f(x),

причем функция f(x) дважды дифференцируема (черт. 62). Найдем выражение для кривизны этой кривой в какой-

нибудь ее точке М(х; у).

будет равен Да. Обозначим длину дуги ММ' через Дх.

При таких обозначениях средняя кривизна будет равна

zz _ .

ср~ д8 ’