Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf

Скачать файл (4,94Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 81

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 7]	Производная сложной функции	27
При Ди ^0 из (13) следует
	Ay = f(u)Au-f-аАи;	(14)

откуда ясно, что это соотношение имеет место также и при

Аи = 0 и, следовательно,	всегда.
Разделив соотношение (14) на Ах, получим
Дж	' ( ' йх		Дж
Когда Ах -> 0, имеем
-> ср (ж) и а -> 0.
Следовательно, существует предел
lim	— f' (м)	• lim	,
дх~оДж	7	Дх^0Дж’
или				(15)
^- = /'(ц).ф'(х).				(15)
Этот предел и представляет собой			искомую	производную
сложной функции.

Формулу (15) можно написать также в виде: df [? (ж)] _ df(u) . d'f (ж) . .

dx	du dx ’	' '
или
	Ух^Уиих-	(17)

Таким образом, производная сложной функции по незави симой переменной равна производной этой функции по про межуточной переменной, умноженной на производную про межуточной переменной по независимой переменной.

Сложную функцию можно		образовать через	посредство
нескольких промежуточных		функций. Производная такой
функции	находится путем	последовательного	применения
правила	(17).

В самом деле, если сложная функция содержит две про межуточных переменных и и v:

y = f(u), u = q>(v), t> = 0(x),

то, применяя формулу (17), получим

Ух = Уиих'>

28	Общие правила дифференцирования			[гл. II
но, в силу той же формулы,
	и/ =
Следовательно,				(18)
	Ух = Уи%М-
Поступая подобным же образом,		можно найти		производ
ную сложной функции в случае любого числа			промежуточ
ных переменных.		функции	(16)	является
Формула	производной сложной

одной из наиболее важных формул дифференциального ис числения. Применяя эту формулу и зная формулы производ ных простейших элементарных функций, мы можем продиф

ференцировать любую элементарную функцию.

§ 8. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть

y = f(x) и х = ф(г/).

На основании формулы производной сложной функции (16) имеем:

dy	dy	dx
dy	dx	dy ’

Но согласно		(2)
	dy __ .
	dy
Следовательно,
	dy	dx __
	dx	dy
Откуда	dx _		1
	dx _		1	(19)
	dy	~ dy ’		(19)
			dx
t. e. производная обратной
функции	равна		величине	об
ратной	производной прямой
функции.
Выясним геометрический смысл этой формулы.
Функция
y = f{x)
и обратная ей функция
x = <p(z/)
изображаются одной и той же кривой	(черт. 7), только			для
первой функции независимая переменная откладывается				на
оси ОХ, а для второй — на оси ОУ.

§ 9]	Производная неявной функции	29
Проведем	к этой кривой касательную в точке	М(х;у).

Эта касательная образует с осью ОХ угол а, а с осью ОУ — угол р. Для данной функции имеем

для обратной же функции получим
		d®	, о
Но
			— и,
,а	потому			1
	tg = tg	— а	— ctg а	1
	tg = tg	— а	— ctg а	tga ’
т.	е.	dx___ 1_
		dx___ 1_
		d#	dy ’
			dx

§ 9. ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Неявными функциями называются функции, удовлетво ряющие нерешенным уравнениям

F(x,y)=0.

Чтобы найти производную от неявной функции, надо диф

ференцировать то уравнение, которому удовлетворяет эта функция, рассматривая у как функцию от переменной х, и за тем из полученного нового уравнения, содержащего производ ную в первой степени, найти эту производную.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ

Процесс дифференцирования можно провести для всех

важнейших функций.

Найдем производную степенной функции

где и есть некоторая функция от х, а показатель п — целое положительное число.

Дадим независимой переменной х приращение Ах. Тогда переменная и получит приращение Au, и функция у — прира щение Аг/. Таким образом, наращенное значение функции будет

у + \у=

Вычитая из наращенного значения функции ее прежнее значение, найдем приращение функции

Аг/= (u-j-Au)”— ип.

Разлагая по формуле бинома, имеем

\у = ип 4- пип~^и 4- —ип~2 (Au)2 4-- . . Д-(Аи)я — ип=

■= пи"-1 &и -|- п (п~ ПилЛ (Au) 2 4- . . ,4-(Ди)л.

Таким образом, при Ах бесконечно малом будет бесконеч но малым и Ду, следовательно,

z/ = u"

есть непрерывная функция.

§ 1] Дифференцирование степенной функции 31

Отношение приращения Аг/ функции у к приращению Ах независимой переменной х равно:

-Д-= пи"-1-г---- ---- —-ип~2 х— -Ьи 4- .					1	.	.-к-г—(Ди)”-1 .
Дж	Дж 1	2	Дж		1		1 Дж 1	'
Переходя к пределу, получим
		d(un)	„ .	du				(1)
		dx	= nun~l	dx				(1)

т. е. производная степени некоторой переменной равна пока зателю степени, умноженному на степень переменной с пока

зателем, на единицу меньшим, и на производную данной пе ременной по независимой переменной.

Производная степени выведена для целого положительно го показателя. Но легко убедиться, что эта формула справед лива для любого показателя — положительного, отрицатель

ного, целого или дробного. Пусть

п = — т.

Тогда

у =.- и ~т = —~ . J ит

Применяя правило дифференцирования частного, находим

,ит^-\-тит~хд^-

d\u	)	=	х	dx	—	—	т л du
—j------		=	х		—	—	тит-1-2т -у- —
dx			и2т				dx
				т 1		du
			= — ти~т~1-г-,
						dx
что совпадает с формулой (1),				если заменить —т через п.