Файл: Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 115
Скачиваний: 0
Задача 3.14, Найти вероятность яайвероятнейш.ей k o i m 6 h - нации в условиях задачи 3.12 с помощью распределения Пуас сона.
Р е ш е н и е
Как известно, формула Пуассона имеет вид
Ра= Р (Х = |
п )= — ег'\ |
(3.1) |
|
п\ |
|
Следовательно,, |
|
|
Рп-1 = Р [Х = |
( п - 1 )]. |
) 11— 1 |
|
(Л—1)!
Поэтому будем иметь:
пР„ — 1
а это значит, что Рп увеличивается при увеличении и от 0 до п— 'и. Но при дальнейшем увеличении п Рп убывает. Дей
ствительно, имеем:
при п > А
при п < Л
при
Л Дз 7
Рп > Рп-
р пт~Рп-\
Для нашего примера будем иметь
>.= 3
или
З3 о—з__0,2240; А Р = 0,0073. 3!
108
Задача 3.15. Показать, что для распределения Пуассона справедливо равенство
ОО
11 = 0
Задача 3.16. Начертить график дифференциального и инте грального законов для равновероятного распределения.
Задача 3.17. Целеуказание передается периодически через равные промежутки времени. Передача целеуказания осущест вляется указанием номера того квадрата, в любой точке кото рого находится цель в момент очередного целеуказания. Причем целеуказание осуществляется постановкой точки в центр названного квадрата. Определить максимально воз можную ошибку в целеуказании, если сторона квадрата рав на а.
п |
^ |
а ( / 2 |
Ответ. |
о = |
— —. |
Задача 3.18. Случайная величина X распределена по зако ну равной вероятности на отрезке а Ь. Написать дифференци альный и интегральный законы распределения случайной ве личины на отрезке ab.
Ответ.
|
|
|
' |
/(*) = . b —а |
|||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
F(x) = |
|
^ |
53 |
|
1 |
|
|
|
- |
Q |
|
|
|
||
|
|
О |
|
|
|
1 |
|
|
I |
1 |
|
|
|
|
|
при |
|
} |
(3.2) |
|
|
||
при |
л-Цы; х^>Ь. |
] |
|
при |
х < а , |
|
|
При |
а С х ^ Ь , |
|
(3.3) |
при |
х> Ь . |
|
|
109
З а д а ч а 3.19. В у с л о в и я х за д а ч и 3.18 н а й ти зн а ч е н и я М ( Х ) \
D(X); з ( X) и Е, если & = 14, а = 2.
Ответ. |
М (К) = 8 ; D (X) = 12; з (X) = 2 1/ 3: Е ■■=3. |
Задача 3.20. Случайные величины Zj и Z2 существуют в пределах 5<Z , 10 и о xZ2 <10. Найти аналитическое выра жение закона распределения X -=Z,-fZ2, если Zb Z2 подчи
нены закону равной -вероятности и действуют вдоль одного направления.
|
|
Р е ш е н и е |
|
||
Так как Zx и Z.2 заданы в одних и тех же пределах, то в |
|||||
сумме должны |
получить закон треугольника (закон Симпсо |
||||
на). Суммарная случайная величина X будет задана на отрез |
|||||
ке 1 0 < X < 1 |
2 0 |
и будет состоять из двух уравнений: |
|||
|
|
у /, (.') |
при 1 0 < х < !5 |
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
г/= /2 (л) |
при |
15<х.. 20. |
|
Напишем этсгуравнение сначала в общем виде, для чего |
|||||
пусть a x Z |
| |
и a-<Z2 < 6 . Очевидно, что суммарная случай |
|||
ная величина |
будет находиться в пределах 2 а < Х х 1 2 б . Ясно, |
||||
что /, (2а) = |
fn(2b) = 0 , |
а тангенс угла наклона прямых, огра |
|||
ничивающих закон распределения X - |
Z,• :-Z2, определится, как |
||||
K _ |
t |
1 |
1 , |
_ J ____ |
|
|
|
b — а b — а |
(Ь—/а ) 2 |
||
Как известно из аналитической геометрии, уравнение пря мой, проходящей через заданную точку при известном к, име ет вид
у—у0 = к(х—х0).
1.10
Поэтому
1 |
(х - 2 а) + / / 0 |
х — 2 а |
(3.4) |
ш |
Ф - ау |
||
(Ь ~ |
ау |
|
Аналогично получим
2 Ь - х
Ы * ) = (3.5)
(Ь - ау
Объединив (3.4) и (3.5), будем иметь
|
i |
|
при- |
|
л- < 2 й, |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|||
|
х — 2 а |
при 2 a < . v < a f 6 , |
|
|||||
|
ф — ау |
[ (3.6) |
||||||
/(-Ф |
|
|
|
|
|
|||
2 Ь - х |
|
|
|
|
|
|||
|
при а + b |
х ,:2h. |
|
|||||
|
Ф — а У |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
О |
|
рри л> |
2 |
Ь. |
|
|
|
Задача 3.21. С помощью формулы |
|
(3.6) найти |
значение |
|||||
М (Х)-= М (Z,-rZ2), |
если 2 Х и |
Z2 |
существуют |
в |
пределах, |
|||
указанных, в задаче 3.20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. М (А) = 15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание. Для |
случайных |
величин 2, |
и |
Z2 имеем |
|
|
||
м ы - |
1 0 |
=7-5; |
M(Zt) |
|
5 -г 1 0 |
=7,5, |
||
т. е |
|
|
|
|
|
|
|
|
M(Z1 + Z2) = M(Zi)+,W (Z2 )-=lo.
Задача 3.22. Даны две случайные величины (Z, п Z2), действующие в одном направлении. Эти случайные величины
Ш
заданы на |
отрезках: 6 У., 12: |
9 ^ Z 2-;1 5 ., Начертить гра |
фики /(г,). |
/ (г2) и /(л )= / (2 , 4 г2). |
Z, и Z2 имеют равномер |
ное распределение.
Задача 3.23. Две случайные величины с равномерным рас пределением действуют в одном направлении и заданы на от
резках: |
2 / , 9 |
и 10 < Z2<,14. Начертить графики/(г,);/(гг) |
|
и / i.v) |
/ ( д- мр. |
|
|
Задача 3.24. Сформулировать условия получения законов |
|||
треугольника и трапеции. |
|
||
Ответ. 1. Если две случайные величины (2ф и Х2) с равно |
|||
мерным распределением действуют в одном |
направлении и |
||
даны на отрезках: |
a< .X t^ b ,a14iX 2-':bl несли |
b—a-^bl —a l, |
|
то сумма Х\ + Х2 будет подчинена закону треугольника. |
|||
2. При Ь —а |
—ну или b—a ^ b l ~ a l получим закон тра |
||
пеции. |
|
|
|
Задача 3.25. Найти вероятность попадания осколка в пря моугольник, вершины которого имеют координаты Д(10; —5); В (10; 15); С( 20; 15) и Д(20; —5), если рассеивание осколков в вертикальном направлении подчинено нормальному закону, (т = 0 , £ = 1 0 ), а в боковом направлении — закону равной ве роятности заданного на отрезке — 10 ^ Z ^ 1 0 . Прямоугольник расположен перпендикулярно к потоку осколков.
Ответ. Р = 0,12.
Задача 3.26. Плотность распределения осколков в плоско сти, перпендикулярной к потоку осколков, равномерная и сос тавляет 1 осколок на 1 м2. Найти плотность осколков в плос кости, расположенной под углом 60° по отношению к первой.
Ответ. П = 0,5 оск/м2.
Задача 3.27. Плотность распределения осколков равномер ная и имеет значение П = 0,8 оск/м2. Вероятность попадания в. цель одного осколка равна 0,004, а математическое ожидание числа попавших в цель осколков равно 2. Найти число всех
осколков |
N. |
площадь цели и площадь, на которую падают |
' все осколки. |
=500 оск; s4 = 2 ,5 jm2; s =625 м2. |
|
Ответ. |
N |
|
112
