Файл: Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 98
Скачиваний: 0
Задача 1.11. Найти наивероятнейшую комбинацию и ее вероятность, если обстреливается поток из четырех целей, а вероятность поражения каждой цели равна 0,6.
Ответ.
0 |
|
1 |
2 |
3 |
| |
4 |
^i, N 0,02 |
56 |
0 ,1536 |
0 ,3456 |
0 ,3 4 5б |о ,12 9 6 |
||
Получены две наивероятнейшие комбинации: из двух по раженных и двух непораженных целей и трех пораженных и одной непораженной цели. Эта вероятность равна 0,3456.
Задачи 1.10 и 1.11 были решены непосредственным под счетом вероятностей всех четырех комбинаций. Очевидно, что такой метод нахождения максимума ряда распределения не приемлем при большом числе опытов. В таких случаях за дача нахождения наивероятнейшей комбинации решается с помощью одного из двух неравенств:
P(N + |
1 |
) - |
1 < z + . P(N + |
1), |
I |
q(N + |
1) |
— 1 |
< /< z ? (/V + |
1). |
< |
Задача 1.12. Та же, что и задача 1.10. Требуется найти наивероятнейшую комбинацию и ее вероятность.
|
|
Р е ш е н и е |
|
Первое неравенство (1.3) |
дает |
||
0 ,7 (4 + |
1 ) - |
1 < / < 0 , 7 ( 4 + 1), |
|
или |
|
|
|
2.5 < / < |
3,5; |
/ -- 3; / = 4 — 3 = 1 ; |
|
Рз. n = |
^ |
7 |
0,7я-0,3 = 0,4116. |
Можно воспользоваться и вторым неравенством. Тогда по лучим
0 . 3 ( 4 + ! ) - 1 < / < 0 , 3 ( 4 + 1),
38
или
0,5 < j <1 1,5; / = 1, т. е. i —4 — 1 = 3.
Задача 1.13. Та же, что и задача 1.11.
( Р е ш е н и е
0 ,6 (4 + 1) - 1< г < 0 ,6 (4 + 1),
или
2 < i < 3.
Так как между 2 и 3 не может быть промежуточного це лого числа, то считаем, что
г, = 2 и /„ = 3.
Следовательно,
|
Д = 4 - 2 = 2; /2 = 4 — 3 — 1; |
|
Р4-2 = — |
0,62-0,4°- = 0,3456; Р4;3 = |
0,64),4 = 0,3456. |
212! |
|
311! |
Задача 1.14. По мишени производится пять выстрелов. Ве роятность попадания при одном выстреле равна 1/3. Найти наивероятнейшую комбинацию и ее вероятность.
Ответ. |
а = 1; |
г2 = |
2; /, = 4; /2 -= 3: |
|
Р5;, = |
Р5;2 = |
0,3293. |
Задача 1.15. При стрельбе по цели вероятность попада ния при одном выстреле равна 0,1. Найти наивероятнейшую, комбинацию и ее вероятность при 20 выстрелах.
Ответ. |
i — 2; / = 18; Ягод = 0,23519. |
39
Задача 1.16, Та же, что и задача 1.15. Найти наивероят нейшую комбинацию и ее вероятность при 5 выстрелах.
Ответ. |
i — 0; / = 5; Ps-о = 0,59049. |
1.3. Числовые характеристики биномиального распределения
Из теории вероятностей известно, что математическим ожиданием случайной величины называется ее среднее ожи даемое значение. Для дискретной случайной величины имеем
М ( Х ) = V * i P i . |
( U ) |
i = I
По аналогии
|
i = i |
|
Если, например. ср(А') = |
X я -j- sin X, |
то |
Л4[Х3 + sin X] |
= V (л:3 -f |
sin х{) р {. |
|
1=1 |
|
Найдем математическое ожидание для биномиального распределения. Согласно формуле (1.4) будем иметь
|
N |
N1 |
|
|
|
Щ Х ) |
ХЧ ; |
O' p Y |
( 1.6) |
||
i-u |
i \ (4N |
||||
|
|
где
x, - (0; 1; 2;... : г ... ),
40
|
|
|
\l I |
|
|
|
N |
|
|
P ii, N |
Л- |
|
p'g"-'; |
V |
|
||
|
|
|
/! (Л' — г)! |
|
|
|
|
|
Вынося за знак суммы |
N р |
и |
разделив г на г!, получим |
|||||
|
|
|
(i l)=0 |
v |
' |
4 |
' |
|
= л/р |
N-1 |
|
(/V — |
П! |
|
|
p'/-yN 1)—(i—I) _ |
|
у |
|
|
|
|||||
|
(i= l)=0 |
( i - |
1)![(Л /- |
1) — (/— 1)]! |
||||
Обозначив |
N — 1 = |
s и i — 1 = к, |
будем |
иметь |
||||
|
|
|
|
|
|
s! |
|
|
|
|
ЩХ) = Np 2 Й Д = Т ) ! 4 |
||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s! |
p Kq s~ K= |
1, |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
к=0 Kl(S — K)l |
|
|
|
|||
то окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(X) = Np. |
|
(1.7) |
|||
Дисперсия случайной величины определяется по формуле
D(X) = M {[Х -М (Л ')р ). |
(1.8) |
Для дискретной случайной величины имеем |
|
D ( X )= У] (xi - m*)*Pr |
(1.9) |
i=0 |
|
41
Из формулы (1.8) можно получить более удобный для применения вид дисперсии
D(X) = M [ [Л' /И(Л')]2} =Д1 [Л'*—2 X М (Х )—М1(Л')] =
= М ( А ' 2) — Л1 [2 X .1/ ( Л ) 1— /VI [Л/- (Л')] =- Д /(Л '-) |
ЛГ- ( А ) ( 1 . 1 0 ) |
||
НЛП |
|
|
|
0 ( A ) - V А |
Pi |
( 1. 1 1) |
|
|
i=0 |
i-0 |
|
Учитывая |
1.11, дисперсия |
биномиального |
распределения |
определится, |
как |
|
|
^Л/1
|
|
Л1(Л')= |
V |
i * ----p 'q K -'- W f fi , |
(1.12) |
|||
|
|
|
|
ГГ? |
г! (Л |
- г)! |
|
|
но |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
N1 |
|
р' qN~i = |
V |
( - |
/V! |
|
V r |
|
|
- p'qn- i=, |
|||||
i-i |
|
г! (.V - |
г)! |
|
i- О |
(/-1)! |
(A - /)! |
|
- .V p V |
f(t—П +1] ■ — |
(У — 1)! |
|
pi-1 ^((N—D—(i—1)1 = |
||||
|
|
|
|
(/-1 )! [(/V—! ) - ( / —l)j! |
|
|||
= Np |
V |
( . - l ) _______ ------------------- |
pi—1q l(N—1)—(i 1)1 -|- |
|||||
|
irj |
|
( < - l ) l |( W - l ) - ( / - ! ) ] ! |
|
||||
|
|
N |
|
|
(У— 1)! |
|
pi-i g\[N~i)—(i in |
|
|
|
V |
|
|
|
|||
|
|
( i - l ) ! f ( / V - l ) - ( i - |
l)j! |
|
||||
Первая сумма в скобках, согласно (1.6), есть математи ческое ожидание, т. е. в данном случае сумма равна (У— 1) р ,
42
