Файл: Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие.pdf

а вторая сумма равна единице. Поэтому, учитывая (1.12). можно записать

D (X) — Np [(N—1 )р -И ]-Л *р * =

= N p —Npi = Np (1—p)=Npq.

Итак,

Рассмотрим случай, когда имеет место система двух слу­ чайных величин X и У, каждая из которых подчинена бино­ миальному распределению. Здесь уже, кроме характери­ стик М (X), М (У), D{X),D (У), нужно находить характеристику,

учитывающую взаимную связь между X и У. Такой характе­ ристикой является смешанный корреляционный момент K{X,Y), который определяется по формуле

К (Х,У) = { \ Х - М (X)] [Y - M (У)]} =

= М { X Y - X M (У) - У М (Х )+ М (X) М (У)} =

= M{XY)—M{X)M (Y)—M(Y)M (X)-f М (Л)А)(У) =

43

пользуются коэффициентом корреляции, представляющим со­ бой нормированный корреляционный момент:

H X ) i ( Y )

Задача 1.17. По мишени производится три независимых выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле рав­ на р. Найти значения М(Х)\ М (У); D(A'); D (У); з(А ); -(К); К (Х,У): г(Х,У). если X — случайная величина числа попада­ ния и У — случайная величина числа промахов.

Р е ш е н и е

Составим ряд распределения случайной величины ХУ

i=-U

= 3 рф -+6 р 29 + 3 р 3 = 3 р (^ 2 + 2 р ^ + р г) =

= 3 Р ( р + д ) 2= 3 р.'

44

Как известно, равенство единице нормированного коэффи­ циента корреляции означает, что случайные величины X и Y связаны между собой чисто функциональной связью, т. е. если будет названо какое-нибудь значение X, значение Y можно определить достоверно. Действительно,

Знак минус у r(XY) означает, что при X f К | или при

K f .

Математическое ожидание и дисперсию числа поражен­ ных целей можно отыскать еще проще при следующем рас­

суждении. Случайная величина числа пораженных целей (X) при обстреле групповой цели может быть представлена в ви­ де суммы

Действительно, если P t — вероятность поражения Хмелей, то ряд распределения будет иметь вид

Xi О 1

Pi ■<7i Pi

D(X) = M (X*)-M »(X),

то по аналогии

0(Х ,) = М ( Х Ь - М *( Х ,) .

Далее имеем

М (Х П -0 2 ^r f l 2-Pi -pv

Следовательно,

D {X i)-^pl~p°r^pi ( l - p l) = p 1q.v

Учитывая, что

D ( X ) = V M l .

i—I

Если pi —p2 =... =jU}}, то будем иметь

M ( X ) ~ N p и D(X) = N pq.

47

Задача 1.18. Обстреливается поток из четырех целей. Ве­ роятность поражения каждой цели равна Р. Найти матема­ тическое ожидание числа пораженных целей с использова­ нием ряда распределения.

Задача 1.19. Обстреливается поток из 6 целей. Найти ма­ тематическое ожидание числа пораженных целей, если ве­ роятности их поражения имеют значения

P i= p 2 = /?3 = 0,6; /?4 = /?5 = 0,7; р6 = 0,5.

Ответ.'М (X) =3,7 цели.

Задача 1.20. Найти вероятность поражения одной цели, если математическое ожидание числа пораженных целей при обстреле четырех целей равно 1,2 и цели поражаются с оди­ наковой вероятностью.

Ответ. Р —0,3.

Задача 1.21. Найти математическое ожидание числа пора­ женных целей, если обстреливается поток из 4 целей с веро­ ятностями поражения = 0,6; Р2 = Ря= 0,7; р4 = 0,4. Однако в силу некоторых обстоятельств одна из'этих целей (любая) пропускается.

Ответ. М (X) —1,8 цели.

48

Задача 1.22. Из четырех целей, которые поражаются с ве­ роятностями 0,3; 0,7; 0,6 и 0,8, обстреливается только одна. Найти математическое ожидание числа пораженных целей.

Ответ. Л4(Х)=0,6 цели.

Задача 1.23. Из групповой цели, состоящей из 5 отдель­ ных целей, для обстрела наугад выбираются 2. Вероятности поражения целей имеют значения:

P i= p 2 = 0,5; lh = P4= 0,6; р5 = 0,3.

Найти математическое ожидание числа пораженных целей.

Ответ. М (X) = 1 цель.

Задача 1.24. Даны две случайные величины X й Y. Ряды их распределения заданы таблицами:

Найти M(X);M(Yy,M(X-\-Y)-M(XYy,D{X+Y)\r(XY)-, D (X):