Файл: Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие.pdf

Действительно, М (X-\-Y)=M (X)-j-М (У) = 2,3-| 2,6 = 4,9.

Находим

D ( X \ Y ) = И-0,02+22 • 0,03-К.. + 72-0,20--4,92 =

=26,26 —24,01 =2,25.

Осуществим проверку и получим

D(X + Y) = D{X)-\-D(Y) = 1,64 + 0,61 =2,25.

Вычислим К (ХУ):

К (X Y) — M (AY)—/И (X) M(Y)~=\ - 2 - 0,1 -| 2 2 -0 Л 5+ ...Д

-!-3-4-0,20-2,3-2,6 = 5 .98 -5,98=0 .

Это значит, что случайные величины X и Y независимы. Задача 1.25. Даны случайные величины X, Y и их ряд

распределения

4 0,25 0 0

Найти значение K(X,Y) и r(X,Y).

Ответ. К (ХУ) = 2; r(XY) = 1.

Задача 1.26. Найти математическое ожидание числа по­ раженных целей при обстреле потока из 5 целей. Известно,

59

что все цели поражаются с равной вероятностью, а вероят­ ность поражения хотя бы одной цели равна 0,99968.

Ответ. М ( Х )= А цели.

Задача 1.27. Обстреливается поток из 3 целей. Первая цель обстреливается ракетой № 1, вторая — ракетами № 2 и 3, третья — ракетами № 4, 5, 6. Ракеты № 1 и 2 поражают цель с вероятностью 0,5; ракеты № 3, 4, 5 — с вероятностью 0,7 и ракета № 6 — с вероятностью 0,7. Найти математиче­ ское ожидание числа пораженных целей.

Ответ. М{Х) =2,252 цели.

Задача 1.28. По ведущей цели запускается одна ракета. Цель поражается от осколочного воздействия с вероятностью 0,8 и от инициирования боеприпасов с вероятностью 0,4. В случае подрыва боеприпасов на ведущей цели, ведомая цель поражается с вероятностью 0,7. Найти математическое ожи­ дание числа пораженных целей.

Ответ. М (20=4,46 цели.

1.4. Средний расход ракет

Составим ряд распределения расхода ракет (снарядов) до поражения цели (до первого попадания в цель)^_

Если X — случайная величина числа расхода ракет до поражения цели, то нам предстоит отыскать вероятности ви­

Р ( Х — п) = qn~ l р.

Как и для любого распределения, в данном случае сумма _ вероятностей всевозможных значений X равна единице. Дей­ ствительно,

ОС

У qalP ^ - p q + p q *+ .. - + p q n- t--=p{i-\-q+q2+ —+ q a~ l)=a

П—I

Математическое ожидание расхода ракет до поражения цели найдется по формуле-

оо

+ qn ( \ + q + q 2 + qs+ ...)~[■-■*] = P [( \+ q + qiJrq3+ . . . ) ( lJr q b q 2 +

Данная формула выведена для случаев: во-первых, когда р для всех ракет есть постоянное число, и, во-вторых, когда после поражения цели стрельба прекращается. Следователь­ но, данная формула непригодна для вычисления среднего расхода ракет при серийных пусках. Однако и в этом случае, если серию пусков будем считать как один обобщенный пуск, т, е. если число ракет в серийном пуске заменим одной услов­

ной или эквивалентной ракетой, то средний расход М(Х) эк­ вивалентных ракет до поражения цели можно найти но фор­ муле

'(1.21)

где

n - l - ( l - p ) 11,

52

1.5. Биномиальное распределение при изменении вероятности события от выстрела к выстрелу

Ряд распределения при изменении вероятности события можно записать, как произведение

N

Если X — случайная величина числа попаданий, то пер­ вый член данного разложения есть вероятность ровно нуля попаданий. Второй член является вероятностью ровно одного попадания. Четвертый член — вероятностью ровно трех по­ паданий или вероятностью комбинации из N—3 промахов и 3 попаданий и т. д.

Для определения вероятности заданной комбинации (за­ данного числа попаданий) удобнее бином представить в виде

где Z— производящая функция.

После перемножения всех биномов получим ряд возраста­ ющей степени буквы Z такого вида

54

N

Ответ.

з

Y \ ^ h + Pi Z ) = q i q 2 q 3 Z 0+ [ q ] q2 p.i + q 1q.! p 2 \q . 2 q3 p i } Z 1 -j-

i-1

■I - [ 4i Pi Pa r q-i Pi Pa q-зPi Pi } Z2-|"Pi Pi Pa & 1■

Задача 1.35. Вероятность попадания при первом выстре­ ле равна 0,4; при втором — 0,5 и при третьем — 0,6. Найти ряд распределения числа попаданий.

Ответ.

Задача 1.36. Первая цель поражается с вероятностью 0,5; вторая — с вероятностью 0,6; третья — с вероятностью 0,7. Найти вероятность поражения ровно двух целей.

Ответ. Р = 0,44.

Задача 1.37. В условиях предыдущей задачи найти вероят­ ность поражения хотя бы двух целей.

Ответ. Я = 0,65.

55

Задача 1.38. Обстреливается поток из 3 целей. Вероятно­ сти поражения целей имеют значения: />i = 0,4; р2 = 0,5 и />з= 0,6. Для стрельбы наугад выбираются две цели. Найти математическое ожидание числа пораженных целей.

Ответ. М(Х) = 1 цель.

Задача 1.39. Та же,, что и задача 1.38. Найти математиче­ ское ожидание числа пораженных целей, если для обстрела наугад выбирается одна цель.

Ответ. М (Х )=0,5 цели.

Задача 1.40. В подразделении имеется пять готовых к пус­ ку ракет. Ракеты способны поразить цели с вероятностью Pi = p2 = 0,6; р3 = р4 = 0,5 и />5 = 0,7. По воздушной цели наугад производится один выстрел. Найти вероятность поражения цели.

Ответ. Р = 0,58.

Задача 1.41. В подразделении имеется шесть готовых к пуску ракет. Вероятности поражения цели этими ракетами имеют значения: /> 1 = /> 2 = />з= 0,4; />4 = Рг> = 0,5; />6 = 0,6. Цель об­ стреливается двумя ракетами, выбранными наугад. Найти ве­ роятность поражения цели.

Ответ,. Р = 0,717.

Задача 1.42. Цель поражается тремя ракетами с вероят­ ностью 0,86. Определить вероятность поражения цели 2-й и

3-й ракетами, если />2 = 2/>3 и /> 1 = 0,5.

Ответ. /> 2 = 0,6; />3 = 0,3.

Задача 1.43. Математическое ожидание числа поражен­ ных целей при обстреле двух целей равно 1,92. Определить вероятность поражения одной цели одной ракетой, если каж­ дая цель обстреливается двумя ракетами. Ракеты поражают цель с равной вероятностью.

Ответ. Р — 0,8.

56

Задача 1.44. Два подразделения независимо друг от друга обстреливают по две цели. Первое подразделение поражает цели с вероятностями р х= 0,2 и р2 = 0,5, второе — с вероятно­ стями pi = 0,5 и р2 — 0,8. Найти вероятность того, что первое подразделение уничтожит больше целей.

Ответ. Я = 0,11.

Задача 1.45. Та же, что и задача 1.44. Найти вероятность того, что второе подразделение уничтожит больше целей по сравнению с первым.

Ответ. Я = 0,56.

Задача 1.46. Та же, что и задача 1.44. Необходимо опре­ делить вероятность того, что оба подразделения уничтожат одинаковое число целей.

Ответ. Я = 0,33.

Задача 1.47. Для поражения самолета достаточно трех попаданий. ,По нему производится три одиночных выстрела. При одном попадании самолет поражается с вероятностью 0,2, при двух попаданиях — с вероятностью 0,5. Найти вероят­ ность поражения самолета, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6.

Ответ. Я = 0,4896.

Задача 1.48. Вероятность поражения цели при одном вы­ стреле равна 0.9. В случае применения противником пассив­ ных помех вероятность поражения цели снижается в 1,5 ра­ за, а при применении активных помех — в 3 раза. Вероят­ ность применения пассивных помех равна 0,4, а активных — 0,8. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле.

Ответ. Я = 0,364.

' Задача 1.49. Самолет может применять два противострельбовых маневра: 1) разворот по курсу с вероятностью 0,7; 2) понижение высоты с вероятностью 0.5. Найти ряд рас­ пределения возможных маневров.

57

Ответ.

Задача 1.50. Самолет может применить три вида помех: заградительные помехи 3, прицельные помехи П и ответно импульсные помехи О. Вероятности постановки этих помех следующие: Рз =0,5; Рц =0,6 и Ро = 0,8. Найти ряд распреде­ ления типа помех.

Ответ.

невров: изменение курса Qt, изменение высоты # t и измене­

ние скорости Vt. Эти события имеют вероятности: Рп ' = 0,4;

Оt

я н - = 0 ,5 и Ру’ =0,6. Эффективность стрельбы при этом пони-

' t Vt

жается следующим образом: ДГq = 2; К и= 1,5 и /(v = 1,2. Най­

ти ряд распределения коэффициента понижения эффективно­ сти стрельбы.

Ответ.

58