Файл: Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 104
Скачиваний: 0
Задача 1.52. По цели производится 5 независимых выстре лов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,5. Составить ряд распределения для следующих значений веро ятностей:
Р (Х = лу); P ( X < Xi); Р (Х <х ,),
если Л' — случайная величина числа попаданий.
Ответ.
Х\ |
|
—1 |
0 |
1 |
! |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
P ( X = Xi) |
|
0 |
0,03125 |
0,15625 |
|
0,31250 |
0,31250 |
P(X<Xi) |
|
0 |
0 |
0,03125 |
|
0,18750 |
0,50000 |
P ( X < Xi) |
|
0 |
0,03125 |
0,18750 |
|
0,50000 |
0,81250 |
Xi |
|
4 |
5 |
6 |
|
7 |
|
P (A- .v:) |
J1 |
0,15625 |
0,03125 |
0 |
|
0 |
j |
P { X < Xi) |
0,81250 |
0,96875 |
1,00000 |
|
1,00000 |
|
|
P ( X < Xi) |
|
0,96875 |
1,00000 |
1,00000 |
|
1,00000 |
|
1.6. Теорема гипотез
Теорема гипотез является дальнейшим развитием теоре мы о полной вероятности. Известно, что полная вероятность
подсчитывается, как сумма парных произведений вероятно сти гипотезы (предположения) или вероятности появления определенных условий на вероятность события, которое осу ществляется при данной гипотезе. Если 'обозначим полную вероятность через П, вероятности гипотез — Р 1 и вероятно сти события при этих гипотезах— Ри то формула полной ве роятности для дискретных случайных величин запишется в виде
П = V P lPv |
(1.27) |
Как видно из этой формулы, П есть средняя вероятность, или просто математическое ожидание вероятностей.
Мы уже решали несколько задач на полную вероятность. Решим еще одну и внимательно проследим за ходом ее ре шения.
Задача 1.53. Подразделение готово выполнить зачетные стрельбы и имеет 4 ракеты с вероятностями поражения ми
шени, |
равными 0,5; 5 ракет — с вероятностями |
поражения |
0,6 и |
одну ракету с вероятностью поражения 0,8. |
Зачетная |
стрельба осуществляется одной ракетой, которую назначает инспектирующий. Найти вероятность получения положитель ной оценки, т. е. вероятность выполнения задачи.
Р е ш е н и е Эта задача решается по формуле (1.27), в которой
ПП
V |
Pi = К а ^ р х может быть любым числом. Решение за- |
i=l |
ТЛ |
дачи удобно осуществлять по следующей схеме:
60
|
|
Вероятнос |
Вероятности |
Вероятности |
сложного |
||
Гипотезы |
ти гипотез |
событии |
при |
события, что осуществи |
|||
лась i -я гипотеза и при этом |
|||||||
|
|
Pi |
данном гипо |
имело место интересующее |
|||
|
|
|
тезе р\ |
|
нас событие |
||
Ракета |
|
|
|
|
|
|
|
выбрана |
0,4 |
0.5 |
|
|
0,20 |
|
|
из первой |
|
|
|
||||
группы |
|
|
|
|
|
|
|
Ракета |
|
|
|
|
|
|
|
выбрана из |
0,5 |
0,6 |
|
|
0,30 |
|
|
второй |
|
|
|
||||
группы |
|
|
|
|
|
|
|
Ракета |
|
|
|
|
|
|
|
выбрана |
0,1 |
0,8 |
|
|
0,08 |
|
|
из третьей |
|
|
|
||||
группы |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, средняя вероятность |
поражения мишени |
||||||
равна |
0,58. |
|
|
|
|
|
|
В |
этой |
схеме вероятности |
|
=(0,4; 0,5; 0,1) есть вероят |
|||
ности |
гипотез, вычисленные |
до |
опыта. |
После |
проведения |
||
опыта вероятности гипотез изменяются, становятся другими. Покажем это на простом примере. Пусть имеются два патро на: один обыкновенный, а другой с трассирующей пулей. Ве
роятность выбора обоих патронов до опыта равна 0,5. Осу ществим опыт. Выстрелим один из них. Допустим, что при этом появилась трасса. После опыта стало ясно, что был выбран второй патрон, т. е. вероятность выбора первого пат рона стала равной нулю, а второго — единице.
Задача теоремы гипотез как раз и заключается в том, что бы определить, как перераспределяются вероятности после опыта.
Применительно к нашей задаче вопрос можно поставить так: после выстрела мишень была поражена, какой же груп пе ракет принадлежит выбранная ракета?
Приступим к решению этого вопроса. Прежде всего
.вспомним теорему умножения вероятностей зависимых собы тий, которая формулируется так: вероятность сложного собы тия, состоящего из нескольких простых зависимых событий Ай А2; А3,.., /4„, равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго события, вычислен ную в предположении, что первое событие произошло, на ве роятность третьего события, вычисленную в предположении, что первые два события произошли, и так далее, т. е.
/> 0 М а Л а .. А ) =
-Я И,) Р (-VA) Я(4/А A t)... P {AJA, A 2... An-i).
Для двух зависимых событий эта формула |
перепишется |
так: |
(1.28) |
Р{А\А2) = Р ( А 1) Р (А 2/Р \) . |
|
Вероятности зависимых событий обладают |
свойством |
переместимости. Действительно, пусть появлению события А\ благоприятствует число случаев от, а появлению события А2—
число случаев п. При этом пусть т |
п --N будет |
числом все |
|
возможных случаев. |
Тогда |
|
|
т |
т |
|
п |
P (A t): |
N ’ Р И Д ) |
( т — 1) + п |
ТГ- т |
т + п |
|||
или
п т
Р { А ,) Р ( А 2/А,)
N(N— \)
Аналогично
п |
п |
т |
т |
Р (Л 2) |
N |
и Р(Д,/Л2) = - |
Л /1 ? |
tnAr'i |
т ( 0 —1) |
6 ?
т. е.
rnn
P(A2)P{Al/At) =
/V(A/— 1)'
Следовательно,
P(Ai) P ( A 2/Al) = P ( A 2)P(A1/A2). |
(1.29) |
Запомним это и вернемся к нашему вопросу о теореме ги потез. Событие (поражение мишени) обозначим А, а гипо
тезы (выбор ракеты) — Nlt N2 |
Nn. |
Вероятность того, что |
событие Л осуществится при гипотезах |
Д',, W2!..., Na, запи |
|
шется |
|
|
Р ( ^ ) Р ( Л / , У {).
Для нашего примера
Р(Л/,) Р(Л/Лу) = (0,4-0,5; 0,5 -0,6; 0.1.0,8).
Сдругой стороны, вероятность того, что появилось собы
тие А (вероятность события Л.определена безразлично к кон-
II |
|
кретной гипотезе, в нашем примере Р (Л )— "V |
Р ^ 0,58) |
i ! |
|
и при этом имеет место i -я гипотеза, запишется, |
как |
P(A)Q(Nl),
где Q(Ni) — вероятность гипотезы после испытания. По су ти дела Q(/Vj)- Р (Д0/Л)— вероятность появления г-й гипотезы при условии, что событие Л уже произошло. Вероятность совместного появления событий Л и f -й гипотезы можно за писать в виде
Р(Л/Дб)-Р(Л)Р(ДуЛ).
63
Или, согласно (1.28), будем иметь
P ( A ) P ( N 1/A) = P ( N l) P ( A / N l)
Откуда
Р(ЛУЛ) = |
р ( д д |
р м / . у р |
(1.30) |
|
|
Р(А)
т. е.
Р(ЛуЛ)=--: ^ ( д/0 P W N y) = |
^ [ P i — _ ( j.31) |
S P i N J P i A I N , ) |
V PiA |
.A n d |
4швяш |
i-1 |
i 1 |
Задача 1.54. Та же, что и задача 1.53. Найти вероятности гипотез после испытания (мишень поражена).
Ответ.
N{ P(Ni) P(A/Ni) P(A'i)P(/l .Vi) P(NuA)
1 |
0:4 |
0,5 |
0,20 |
0,20 |
Ш |
|
|
0T a I |
29 =0;345 |
||||||
|
|
|
|
||||
2 |
0,5 |
0,6 |
0,30 |
0,30 |
15 |
л |
|
(Оба |
29 |
°'"llT |
|||||
|
|
|
|
||||
3 |
|
0,8 |
0,08 |
0.08 |
4 |
|
|
0,1 |
0,58 |
= 29 ^ |
° ' 138 |
||||
|
11 |
tl |
|
И |
|
|
|
|
AVm,iJ P (Ай)—! |
V |
P(Ni)P(A/Ni)= |
V |
P(Nj/A)-—1. |
||
|
1=1 |
i=l |
|
i= l |
|
|
|
|
|
|
=- 0,58 |
|
|
|
|
Ц.
