Файл: Шмыголь С.С. Определение и прогнозирование движения центра масс летательного аппарата по результатам траекторных измерений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 61

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

63

На рис.34 показан пример линейной аппроксимации. Как вид­ но в этом случае прямая pH(t ) на всем интервале осреднения до­ статочно хорошо примыкает к опытным точкам. Однако и в этом случае желательно выбирать интервал осреднения достаточно ма­ лым, чтобы не сильно сказывалась нелинейность зависимости

Если в качестве ап­

 

проксимирующей зависи­

 

мости испрльзуют поли­

 

ном второй степени (127>

 

то сумму

(126) следует

 

разбивать на три группы.

 

В заключение следу­

 

ет заметить, что резуль­

 

таты применения метода

 

средних

существенно за­

Рис.34. Сглаживание с помощью полино­

висят от

способа груп­

пировки уклонений, т .е .

ма первой степени

 

от способа разбиения суммы (126).

Практика показывает, что наиболее целесообразно разбивать упорядоченные данные на равные группы в порядке последователь­ ности их номеров [У].

1 Метод наименьших квадратов

Наибольшее распространение в практике обработки результа­ тов измерения, как известно, получил метод наименьших квадра­ тов.

В этом случае в качестве аппроксимирующей функции целесо­ образно выбрать полином степени т х ^:

р , =

а + а t + а ,£ 2-к ..+ а t m

,

(isi)

где t . - момент выполнения измерения, для которого

определено

значение параметра р к . .

 

 

 

Коэффициенты полинома (131) выбираются из условия миниму­ ма суммы квадратов уклонений аппроксимирующих значений пара­ метров движения р и. от их опытных значений р . (невязок):

Аппроксимирующая функция может быть выбрана любой, на­ пример из класса тригонометрических полиномов.

64

f = ,D (Д а -Я J

•

<I32>

Условия минимума функции уклонения (132) можно записать в виде:

 

l O L - o

А±L _ 0

(133)

д а о

да.

~ и ' • ■' ’

да-т

"°-

 

Подставляя полином

(131) в

выражение

для уклонения (132)

ивыполняя дифференцирование в соответствии с условиями (133)

получим уравнения для определения коэффициентов а

........

а

/77

a

п

 

, т

-

 

 

0 7

 

 

Ф W

 

 

 

 

 

 

 

; + ■• ■+

‘Г - Я « ) - 0 >

 

 

 

т ^ - = 2 Ё ( о + а

f. + . .. +а_ t m - p H. ) t . = 0 ,

 

 

 

да,

ы ' °

f i

"I [

r«t /

£-

»

 

(134)

 

 

 

 

 

 

 

 

4^- = 2 2 (а + а

t. + .. ,+ а

£m-,o .)

 

= О

 

 

 

0Gm

t «' 0

I i

m i

r m l

l

 

 

 

 

Это система

алгебраических

уравнений линейных относительно

неизвестных

коэффициентов

 

aQ , а

,

ат .

Ее можно представить

в

виде:

 

 

 

■n a o + d, a l + dz a z + ■■

•+ d-m ат = bп ,

 

 

т т 0 ’

йЛ * йг а, + « , Ч * "

+

и

 

+

d2a0 + d3a, + d« a2 + -- ■+ dm+2 йт ^2 ’

(135)

где

Ь1 “ w ft.i* ; ’

(135')

п

65

 

 

 

2

Л

^

т

 

 

 

 

 

 

 

t.(

PkL^L »

 

 

 

d

= 2

t. ,

 

 

“>=К

......

(135 )

'

;=/

<•

 

 

 

m

•-

■ ’

’

 

dzm = l

C

.

 

 

zm

t

 

 

 

l=t

 

 

 

 

 

 

 

 

Уожно доказать,

что

если

среди

точек

рк .

нет совпадающих

по времени и значению и степень полинойа не превышает количе­ ства экспериментальных точек m ? n , то определитель систе­ мы (135) отличен от нуля и, следовательно, эта система имеет единственное решение, а полином (131) с найденными отсюда ко­

эффициентами

а 0

, . . . ,

а.т

обладает

минимальным квадратичным

отклонением ij)min

* • • *

 

 

можно вычислить

 

Коэффициенты

ад

 

 

 

а

=

^2.

 

_

А,

-

1 •

• •

’

-

_

A.

(136)

 

°

Д

а 1"

Д

a m

Д

определитель

системы,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

*2

•

•

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д =

d,

d2

 

^

 

•

•

 

^77)+/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

d

 

,

•

•

d zm

 

 

 

 

 

 

m+r

 

 

m+Z

 

 

а Д0, Д , . . . , Д^- определители, полученные из определителя системы путем замены столбца коэффициентов при соответствую­ щем неизвестном коэффициенте столбцом правых частей системы уравнений (135).. В качестве примера ниже приведено выражение

для

:

d,

d z

..

 

 

 

b,

•

dm

 

d,

dz

.

•

d ,

 

t

2

3

 

 

m+r

 

Ао=

 

 

 

 

 

 

 

ь

d

тн

d

 

•

cL

 

m

 

m + 2

 

 

2/7)

66

Если

т -

п

, то аппроксимирующий полином

(131) совпада­

ет с интерполяционным полиномом Лагранжа для той же системы

точек

рк1

, р

,

р нп

,

причем

= 0. Последнее означа­

 

 

 

 

 

 

 

ет, что кривая, опре­

 

 

 

 

 

 

 

деляемая полиномом Лаг­

 

 

 

 

 

 

 

ранжа,

пройдет через

 

 

 

 

 

 

 

все

экспериментальные

 

 

 

 

 

 

 

точки р

(рис,35),

 

 

 

 

 

 

 

Если же количество из­

 

 

 

 

 

 

 

мерений больше, чем

 

 

 

 

 

 

 

степень

аппроксимирую­

 

 

 

 

 

 

 

щего полинома л=*я7 ,

 

 

 

 

 

 

 

то график этого поли-

 

 

 

 

 

 

 

нома пройдет относи­

Рис.35 .Зависимость вида аппроксимирую­

тельно

эксперименталь­

ных точек так, что сум­

щей зависимости от соотношения между

степенью полинома и количеством исход­

ма квадратов уклонений

 

 

 

ных точек

 

 

ш.

будет минималь-

 

 

 

 

 

 

 

вой,

во,

вообще

говоря,

отличной от

нуля.

 

Так как аппроксимирующий полином«коэффициенты которого вы­

числены по формулам (136),

-

непрерывный, то

он пригоден для

вычисления сглаженных (уточненных) значений параметров движе­ ния не только в моменты времени, для которых имеются экспери­

ментальные

данные ( £ . ) , но и в любые другие моменты

времени

t из интервала аппроксимации

, и поэтому

его можно

записать в

виде

 

 

 

 

,

(137)

С целью получения выражений для составляющих скорости за­ висимости сглаженных (уточненных) координат pH ( t ) необходимо продифференцировать по времени:

pH ( t ) ^ a ! + 2 a z t + . . . + rnam t mrl.

(138)

Составляющие ускорений движения ЛА можно определять по форму­

лам, полученным путем дифференцирования выражений (138) для скорости.

67

p ( t ) = 2 a z + - • ■+ r n ( m - l ) a m t m' \

(139)

Следует -заметить, что если составляющие векторов скорости и ускорения определены непосредственно по формулам (97), (98), или (100), (101), (104), (107), то в данном случае их следует принимать за исходные материалы для аппроксимирования и сгла­ живать 1ф формулам, подобным формуле (137).

Использование измерений с постоянным шагом

Опыт расчетов показывает, что чаще всего используются ре­ зультаты измерений с постоянным шагом ( / 7 = c o n s t ) , а степени аппроксимирующих полиномов редко превышают т = 3.

С учетом всего сказанного можно существенно упростить ал­ горитм уточнения параметров движения методом наименьших квад­ ратов и получить удобные формулы, для определения параметров

движения

по опытным избыточным данным.

 

 

Для

этого введем новый отсчет времени так, что

 

где i s -

начальный момент времени, для

которого

0.

Если

i s выбрать в середине участка

аппроксимации,

что яв­

ляется наиболее выгодным с точки зрения точности, а шаг опытных

данных обозначить через

h

и считать его

постоянным на интер­

вале

 

 

, то

«с-

можно представить

в виде

 

 

 

 

 

% l

= i h ,

(1«>

где

1 =

± ( 1 , 2 , . . . ,

с ) -

индексы опытных точек, отсчитываемых

от точки

t

, для которой

*ts а ^ = Oj

с “ количество то­

чек,

включенных в интервал аппроксимаций с

одной стороны от

середины, без учета последней.

 

 

Общее число точек,

взятых для обработки в данном интервале,

 

1

 

 

 

 

 

П - 1 с + 1.

(М 2)

Заметим,

что с учетом принятых допущений ( t - t s

, *С.= L h

)

уравнения

(131), (134),

(135) формально изменятся

только в

том,

Смотрите также файлы